Java 程序：计算到达 N 级台阶所需的最小操作次数

从一个特定的数字开始，通过一系列操作达到某个指定的数字 N，这在编程中是一个常见的问题。这类问题能够锻炼解决问题的能力并增强算法推理能力。组合搜索问题是**在给定的一系列操作下，找出从一个给定数字开始，经过多少步操作可以精确地达到目标数字 N。**

问题定义

假设起点是 1，终点是 N。你可以执行以下任何操作：

1. 将当前数字乘以 2。
2. 给当前数字加 1。

示例

要达到 N=10，你可以执行以下步骤：

1. 从 1 开始。
2. 将 1 乘以 2 → 2。
3. 将 2 乘以 2 → 4。
4. 将 4 乘以 2 → 8。
5. 给 8 加 1 → 9。
6. 给 9 加 1 → 10。

所需的最少操作次数是 6。

解决问题的方法

为了找出最多需要多少次操作，我们采用广度优先搜索（BFS）算法。BFS 对于需要寻找最短路径或最少操作次数的问题非常有用，因为它逐层搜索解决方案。

为什么选择 BFS？

BFS 确实可以保证在无权图中找到最短路径。它还会检查从当前状态可以派生的所有可能的状态（数字）。它会在找到目标 整数 N 时停止，从而确保了最少的操作次数。

初始化 BFS

由于你只需要检索和更新两个信息：当前数字以及当前操作的执行次数，因此可以使用队列来存储它们。

让我们先从 1 和 0 操作数开始。

遍历状态

1. 在每一步，执行两个操作：
   
   • 将数字翻倍
   • 给数字加 1。
2. 对于每个新状态，将其与 N 进行比较。如果相等，则返回操作计数。

避免重复处理

可以使用 HashSet 来记录已访问的数字，以防止重复访问。

提前终止

应该以最少的操作次数完成，因此遍历应该在达到 N 时停止。

文件名：MinimumOperations.java

输出

 
Minimum operations to reach 10: 4   

说明

代码工作原理如下：它使用 BFS 算法，从起始状态 1 和 0 操作次数开始，尝试所有可达的状态。它声明一个队列来存储待处理的状态，并声明一个 HashSet 来避免重复数字，从而防止无限循环或重复计算的可能性。

在 BFS 探索过程中，每个数字会经历两个操作：需要注意的是，员工的奖金增长是通过乘以 2 和加 1 实现的。生成的新状态只有在之前未见过的情况下才会被放入队列。

算法在找到一个操作数等于目标 N 时停止，以最小化操作次数。这保证了效率，因为 BFS 会以层层递进的方式尝试所有到达 N 的可能性。

复杂度分析

时间复杂度

BFS 每个状态只探索一次，每个状态可以生成两个新状态。因此，时间复杂度为 O(N)，其中 N 是目标数字。

空间复杂度

BFS 使用队列和集合来存储状态，空间复杂度为 O(N)。

结论

当应用于确定达到 N 所需的最少操作次数时，BFS 证明了该算法在最短路径场景中的重要性。还提供了一个高效的 Java 代码实现，该实现使用 BFS 和哈希集来最小化操作并避免预计算。

最后，通过掌握此类问题，程序员可以更深入地了解图遍历所使用的算法及其相应的应用。