Latex 偏导数

2025年3月17日 | 阅读 3 分钟

导数

数学中的导数表示变化率。偏导数定义为保持变量不变的方法。

\partial 命令用于在任何方程中书写偏导数。

有不同阶数的导数。

让我们使用 Latex 代码来编写导数的阶数。我们可以参考输出图像以更好地理解。

代码如下所示

\documentclass[12pt]{article} 
\usepackage{mathtools}
\usepackage{xfrac}
\begin{document}

\[
First \; order \; derivative = f'(x) % the \; command is used for spacing
\]
\[
Second \; order \; derivative = f''(x) % here, we have used separate environments to display the text in different lines
\]
\[
Third \; order \; derivative = f'''(x)
\]
\[
\vdots
\]
\[
Kth \; order \; derivative = f^{k}(x)
\]

\end{document}

输出

$Latex Partial Derivative$

让我们使用上述导数来写出方程。该方程也包含分数和极限部分。

此类示例的代码如下

\documentclass[12pt]{article} 
\usepackage{mathtools}
\usepackage{xfrac}
\begin{document}

\[
f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
\]

\end{document}

输出

$Latex Partial Derivative 1$

偏导数

也有不同阶数的偏导数。

让我们使用 Latex 代码来编写导数的阶数。我们可以参考输出图像以更好地理解。

代码如下所示

\documentclass[12pt]{article} 
\usepackage{mathtools}
\usepackage{xfrac}
\begin{document}

\[
First \; order \; partial \; derivative = \frac{\partial f}{\partial x} % the \; command is used for spacing
\]
\[
Second \; order \; partial \; derivative = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} % here, we have used separate environments to display the text in different lines
\]
\[
Third \; order \; partial \; derivative = \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}
\]
\[
\vdots
\]
\[
Kth \; order \; partial \; derivative = \frac{\partial^k f}{\partial x^k}
\]

\end{document}

输出

$Latex Partial Derivative 2$

让我们考虑一个例子，使用偏导数来写出方程。

此类示例的代码如下

\documentclass[12pt]{article} 
\usepackage{mathtools}
\usepackage{xfrac}
\begin{document}

\[
\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
\]

\end{document}

输出

$Latex Partial Derivative 3$

混合偏导数

我们也可以在单个方程中插入混合偏导数。

让我们通过一个例子来理解。

此类示例的代码如下

\documentclass[12pt]{article} 
\usepackage{mathtools}
\usepackage{xfrac}
\begin{document}

\[
F(x,y,z) = \frac{\partial^3 F}{\partial x \partial y \partial z} 
\]

\end{document}

输出

$Latex Partial Derivative 4$

我们可以根据需要修改方程和参数。

微分

\diff 命令用于显示微分符号。

要实现微分，我们需要使用 diffcoeff 包。

该包写为

让我们考虑几个微分的例子。

第一个例子是显示一阶微分方程。

代码如下所示

\documentclass[12pt]{article} 
\usepackage{mathtools}
\usepackage{diffcoeff}
\begin{document}

\[
\diff[1]yx 3x = 3
\]
\[
\diff{y}{x}2x = 2
\]
 % we can use any of the two methods to write the first-order differential equation
 
\end{document}

输出

$Latex Partial Derivative 5$

第二个例子是显示二阶微分方程。

代码如下所示

\documentclass[12pt]{article} 
\usepackage{mathtools}
\usepackage{diffcoeff}
\begin{document}

\[
\diff[2]yx 3x^2 = 6x
\]
 
\end{document}

输出

$Latex Partial Derivative 6$

第三个例子的代码如下所示

\documentclass[12pt]{article} 
\usepackage{mathtools}
\usepackage{diffcoeff}
\begin{document}

\[
\diff{\cos x}x = - \sin x
\]
\[
\diff[1]yx (2x^2 + 4x + 3) = 4x + 4
\]
 
\end{document}

输出

$Latex Partial Derivative 7$

带偏导数的微分

\diffp 命令用于显示带偏导数的微分符号。

让我们考虑几个带偏导数的微分的例子。

第一个例子是显示一阶微分偏导数方程。

代码如下所示

\documentclass[12pt]{article} 
\usepackage{mathtools}
\usepackage{diffcoeff}
\begin{document}

\[
\diffp{u}{t} = \diffp{u}{x} + \diffp{u}{y}
\]
 
\end{document}

输出

$Latex Partial Derivative 8$

第二个例子是显示二阶微分偏导数方程。

代码如下所示

\documentclass[12pt]{article} 
\usepackage{mathtools}
\usepackage{diffcoeff}
\begin{document}

\[
\diffp[2]ut = \diffp[2]ux + \diffp[2]uy
\]
 
\end{document}

输出

$Latex Partial Derivative 9$

第三个例子将显示保持常数值的偏导数。

它还将包括其他例子，这将阐明这个概念。

此类示例的代码如下

\documentclass[12pt]{article} 
\usepackage{mathtools}
\usepackage{diffcoeff}
\begin{document}

\[
\diffp {G(x,y)}x[(1,1)]
\]
\[
\diffp ST[D]
\]
\[
\diffp ut[]
\]
\[
\diffp[1,3]F{x,y,z}
\]
\[
\diffp[2,3,2]F{x,y,z} % the power of the numerator is the sum of the powers of variables of the denominator.
\]
 
\end{document}

输出