有限元方法

有限元法 (FEM) 是一种用于数值求解工程和数学建模中出现的微分方程的常用技术。结构分析、传热、流体流动、质量传输和电位等常规主题是典型的关注问题领域。

FEM 是一种通用的数值方法，用于求解具有两个或三个空间变量的偏微分方程的边值问题。FEM 将一个复杂系统分解为更小、更易于管理的部分，称为有限元，以解决问题。

通过在空间维度上进行特定的空间离散化来创建对象的网格，从而实现具有有限个点的解的数值域。最终，通过有限元方法形成边值问题会得到一组代数方程。

该技术对整个区域进行未知函数的近似。然后将描述这些有限元的小型方程组与其他方程组合起来，以模拟整个问题。FEM 利用变分法来最小化相关的误差函数，然后近似求解。

基本概念

• 精确表示复杂几何形状
• 包含不相关的材料属性
• 整体解决方案的简单说明
• 记录局部影响。

该方法的一个典型应用包括

• 将问题域分割成几个较小的子域，每个子域由一组基本方程表示主要问题
• 通过系统地重新组合每个组件方程集来创建全局方程组以进行计算。

可以通过原始问题的初始值来构建全局方程组，然后对其进行计算以得出数值结果。

第一阶段的单元方程是简单的方程，它们充当底层复杂方程（通常是偏微分方程 (PDE)）的局部近似。

FEM 通常被视为 Galerkin 方法的一个特例，用于解释此过程中的近似。

从数学上讲，该过程包括从权重函数和残差函数的内积中创建一个积分，并将积分设置为零。本质上，这是一种通过将试验函数拟合到 PDE 来最小化近似误差的方法。

权重函数是多项式逼近函数，用于投影残差，残差是由试验函数引起的误差。

• 该过程剥离了 PDE 的所有空间导数，并在局部上进行近似
• 稳态问题的代数方程组，以及瞬态问题的常微分方程组。

这些方程组构成了基本方程。如果底层 PDE 是线性的，它们就是线性的，反之亦然。

虽然瞬态问题中出现的常微分方程组通过欧拉法或龙格-库塔法等数值积分方法求解，但稳态问题中出现的代数方程组则使用数值线性代数方法求解。

根据上述步骤 (2)，通过将坐标从子域的局部节点变换到域的全局节点，从单元方程创建全局方程组。

关于参考坐标系，这种空间变换包括必要的方向校正。FEM 软件通常使用从子域生成的坐标数据来执行操作。

有限元分析 (FEA) 是实际应用 FEM 的术语。在此背景下，FEA 可用于计算工程分析。它使用编程有 FEM 算法以及网格生成技术的软件，将复杂问题分解为可管理的块。

在使用 FEA 时，复杂问题通常指具有由 Navier-Stokes 方程、热方程或 Euler-Bernoulli 梁方程表示的底层物理学的物理系统，这些方程分别表示为积分方程或 PDE。复杂问题分解的较小单元对应于物理系统的不同区域。

当域发生变化时，例如在具有移动边界的固态响应期间，当整个域所需的精度不同时，或者当解不平滑时，可以使用 FEA 来分析问题。复杂域的例子包括汽车和石油管道。FEA 模拟是宝贵的工具，因为它们消除了在各种高保真情况下进行大量硬原型制作和测试迭代的需要。[需要参考文献]

例如，可以在“重要”区域（例如汽车的前部）提高预测精度，并在其后部降低精度（从而降低模拟成本）。另一个例子是数值天气预报，对于发展高度非线性现象（如水中的涡流或大气中的热带气旋）需要精确的预报，而对于相对平静的区域则不需要。

历史

有限元方法是为了解决土木和航空工程中的复杂弹性和结构分析问题而开发的，尽管其构思的确切日期很难确定。A. Hrennikoff 和 R. Courant 在 20 世纪 40 年代初的工作标志着其开端。

先驱 Ioannis Argyris 也是如此。在苏联，Leonard Oganesyan 的名字通常与该方法实际应用的引入有关。基于水坝建设的计算，它在中国由冯康在 20 世纪 50 年代末和 60 年代初独立发现，当时被称为基于变分原理的有限差分法。

尽管这些先驱使用的方法各不相同，但它们有一个共同点：将连续域进行网格离散化为一组离散子域，有时称为单元。

虽然 Courant 的方法将域划分为有限的三角形子区域以求解由 Rayleigh、Ritz 和 Galerkin 产生的柱体扭转问题中的二阶椭圆偏微分方程，但 Hrennikoff 的方法通过使用晶格类比离散化域。

Courant 对 PDE 进行了演进式贡献，他建立在 Rayleigh、Ritz 和 Galerkin 之前大量成果的基础上。

有限元方法的发展实际上是在 20 世纪 60 年代和 70 年代由斯图加特大学的 J. H. Argyris 及其同事、加州大学伯克利分校的 R. W. Clough 及其同事、O. C. 的工作所引发的。

斯旺西大学的 Zienkiewicz 及其同事、巴黎第六大学的 Philippe G. Ciarlet 及其同事以及康奈尔大学的 Richard Gallagher 及其同事。这些年见证了开源有限元程序的开发，为该领域增添了动力。

UC Berkeley 公开了有限元程序 SAP IV，而 NASTRAN 的原始版本由 NASA 资助。Sesam 于 1969 年由挪威的船级社 Norske Veritas（现为 DNV GL）创建，用于船舶分析。

Strang 和 Fix 在 1973 年的文章为有限元方法提供了正式的数学基础。[11] 从那时起，该技术已被扩展到包括流体动力学、热传输和电磁学等广泛工程专业中的物理系统的数值建模。

讨论技术

有限元技术的设计

有限元方法由变分公式、离散化策略、一个或多个求解算法和后处理技术定义。

Galerkin 方法、不连续 Galerkin 方法、混合方法等是变分公式的例子。一个明确定义的步骤系列，包括（a）创建有限元网格，（b）在参考单元上定义基函数（也称为形状函数），以及（c）将参考单元映射到网格单元，被认为是离散化技术。x-FEM、等几何分析、h-版本、p-版本和 hp-版本是一些离散化技术的例子。

每种离散化方法都有其优点和缺点。为特定模型类别的最大集合的数学模型实现几乎最优的性能是选择离散化方法的合适标准。

直接求解器和迭代求解器是可用于对各种数值求解策略进行分组的两个大类。这些算法旨在利用矩阵的稀疏性，这取决于变分公式和离散化技术的选择。

可以通过后处理过程提取有限元解的相关数据。后处理器必须提供关于感兴趣量的后验误差估计，以满足解验证的要求。

当近似误差超过可接受水平时，必须改变离散化——由分析师手动更改，或通过自适应过程自动更改。通过一些非常有效的后处理器可以实现超收敛。

XFEM

一种称为扩展有限元法 (XFEM) 的数值方法，它基于单位分解法 (PUM) 和广义有限元法 (GFEM)。它通过扩展传统有限元方法的计算能力，增强了具有不连续函数的微分方程解的解空间。

通过增强近似空间，扩展有限元方法能够自然地再现感兴趣的问题的复杂特征，例如边界层、奇异点和不连续性。已经证明，对于某些问题，将问题的特征嵌入近似空间可以显着提高收敛速率和精度。

此外，使用 XFEM 处理与不连续性相关的问题消除了对不连续表面进行网格划分和重新网格划分的需要，从而减少了传统有限元方法相关的计算成本和投影误差，但将不连续性限制在网格边缘。

该方法在各种研究代码中使用，程度不同

• GetFEM++
• xfem++
• openxfem++

ASTER、Morfeo、Abaqus、Altair Radios 等代码也使用了 XFEM。随着一些插件和真实核心实现的可用（ANSYS、SAMCEF、OOFELIE 等），其他商业有限元软件也在逐步采用它。

SBFEM，或比例边界有限元法

Song 和 Wolf (1997) 是第一个引入比例边界有限元法 (SBFEM) 的作者。SBFEM 是裂缝力学问题数值分析领域最成功的贡献之一。

它是一种半解析的无基本解的方法，它结合了边界元离散化和有限元公式和过程的优点。与边界元方法相反，不需要基本微分解。

S-FEM

带平滑的有限元方法

用于模拟物理事件的特定类别数值模拟技术称为 S-FEM，或平滑有限元方法。它是通过结合有限元方法和无网格技术创建的。

晶体塑性有限元法 (CPFEM)

Franz Roters 创建了晶体塑性有限元法 (CPFEM)，这是一种复杂数值技术。金属可以被认为是晶体的聚集体，它们在变形过程中表现出各向异性，例如应力和应变的反常局部化。

为了在例程中考虑晶体各向异性，基于滑移（剪切应变率）的 CPFEM 可以计算位错、晶体取向和其他织构信息。它现在用于数值分析材料变形、表面粗糙度、裂缝和其他现象。

虚拟元法 (VEM)

虚拟元法 (VEM) 是传统有限元方法的推广，适用于任意单元几何形状，由 **Beiro da Veiga 等人** (2013) 开发，作为拟指标数差分 (MFD) 方法的扩展。

因此，接受高度不规则和非凸的任意多边形（或 3D 中的多面体）。“虚拟”一词指的是局部形式函数基的显式计算既不需要也不进行。

与梯度离散化技术的联系

一致、不一致和混合有限元方法类型是梯度离散化方法 (GDM) 的特定实例。

因此，对于这些特定的 FEM，GDM 为多个问题（线性和非线性椭圆问题、线性、非线性和退化抛物线问题）建立的收敛性质成立。

与有限差分法相比

另一种粗略估计 PDE 解的方法是有限差分法 (FDM)。以下是 FEM 和 FDM 之间的区别

• FEM 能够相对轻松地处理复杂几何形状（和边界）的能力也许是其最吸引人的特点。虽然在 FEM 中处理几何形状在理论上很简单，但 FDM 在最简单的形式中仅限于处理矩形形状及其简单的变体。
• FDM 更常用于矩形或块状模型，而不是具有不规则 CAD 几何形状的模型。
• 总的来说，FEM 允许比 FDM 更灵活的网格自适应。
• 有限差分的最佳卖点是其易用性。
• 有多种方法可以认为 FDM 是 FEM 策略的一个特例。例如，如果问题通过规则的矩形网格进行离散化，其中每个矩形被分成两个三角形，那么对于泊松方程，一阶 FEM 和 FDM 是等效的。
• 例如，由于 FDM 中网格点之间的近似质量较差，因此有许多理由认为有限元近似的数学基础更牢固。
• FEM 近似通常比相应的 FDM 技术质量更高，但这很大程度上取决于问题，并且有许多反例。