什么是连续介质力学？

连续介质力学是力学的一个分支，它研究那些被建模为连续质量而不是离散粒子的材料的变形和力的传递。法国数学家奥古斯丁-路易·柯西在19世纪首次开发了这类模型。

连续介质模型假定物体的材料完全填充其存在的空间。虽然该模型忽略了物质由原子组成的观念，但它对远大于原子间距离尺度上的物质描述仍然足够准确。

通过使用描述这类物质根据质量守恒、动量守恒和能量守恒等物理定律行为的微分方程，连续介质的概念使得对宏观物质进行直观的分析成为可能。

本构关系表达了特定材料的特定

连续介质力学独立于观察者所使用的特定坐标系，来处理固体和液体的物理特性。

张量是具有不依赖于坐标系这一显著特性的数学对象，它们被用来表示这些性质。

这使得我们可以用有用的连续数学函数来指定连续体内任何一点的物理属性。连续介质力学的原理构成了弹性力学、塑性力学和流体力学理论的基础。

连续介质假说

分析材料中宏观力和变形的数学基础是建立在连续介质假说上的。

尽管材料由分立的原子和分子组成，它们之间有真空、微观裂缝和晶体缺陷，但通常通过考虑弥散在一定空间区域中的物质来对物理过程进行建模。

连续介质是一种可以被连续地分成微小部分的物体，在任何给定位置都具有局部指定的物理特性。因此，可以用连续函数来表征宏观材料的性质，并可以用微积分来研究这些性质如何随时间变化。

在连续介质力学的研究中，除了连续性假说之外，通常还使用两个独立的假设：各向同性（假设矢量性质与方向无关）和均匀性（假设在所有位置上性质相同）。

为了简化分析，即使某些辅助假设不能全局适用，信息也可以被划分为适当的区域。在更复杂的情况下，可以放弃一个或两个假设。

在这种情况下，描述材料性质演变的微分方程通常使用计算方法求解。

模型发展

在连续介质力学模型中，首先为待建模的材料体 β 分配一个三维欧几里得空间中的区域。这些点被称为粒子或物质点。

不同的形体排列或状态对应于欧几里得空间中的不同位置。Kt(β) 表示对应于物体在时间 t 的构型所对应的区域。

X = Kt(X)

为了使模型具有物理意义，该函数必须具有一些特性。

为了能够构建描述运动的微分方程，数学模型还假设 Kt(.) 是两次连续可微的。

基于连续介质的力

与刚体不同，连续介质力学关注的是可变形体。固体是具有剪切强度的可变形体；剪切力是平行于固体所组成的材料表面的力。另一方面，流体不能承受剪切力。

根据牛顿和欧拉的经典动力学，材料体的运动是由外加力的作用产生的，这些力被假定为两种类型：表面力 Fc 和体力 Fb。因此，施加在物体或物体一部分上的总力 F 可以表示为

F = Fc + Fb

表面张力

根据欧拉-柯西应力原理，由于与其他物体的机械接触，或者由于物体两侧部分之间的机械相互作用，表面力（也称为接触力）作用在物体的边界表面上，或者作用在包围物体部分的假想内表面上。

根据牛顿第三定律，动量守恒和角动量守恒（对于连续体，这些定律被称为欧拉运动方程），内部接触力从体内一点传递到另一点，以平衡外接触力的作用。

通过本构方程，内部接触力与物体的变形相关联。无论物体的材料成分如何，内部接触力都可以通过它们与物体运动的关系来量化。

在连续介质力学中，如果作用在物体上的力只有维持其结合和形状所需的力，而没有所有外部影响（包括引力，离子、金属和范德华力），则该物体被认为是无应力的。在计算物体中的应力时，也会忽略在制造物体以达到特定构型时产生的应变。

因此，连续介质力学只考虑由物体变形引起的应力，而不考虑应力的绝对变化或相对变化。

体力

作用在物体体积（或质量）上的外力称为体力。说物体的力来自外部来源，意味着物体的内力——其各个部分之间的相互作用——只能通过接触力来体现。

这些力源于物体与力场（如引力场或电磁场）的相互作用，或者源于物体在运动时经历的惯性力。据认为，来自连续体质量的任何力都像质量一样，是连续分布的。

因此，体力由作用在物体每个点上的矢量场描述，并且在物体的整个体积上是连续的。体力由一个称为体力密度或 b(x,t)（每单位质量）的无框不变量矢量场表示。

对于引力，力的强度以每单位质量的力（bi）或每单位体积的力（pi）来表示，并且它取决于或与材料的质量密度 p(x,t) 成正比。

公式 pbi = pi 将这两个标准与材料密度联系起来。电磁场的强度（电荷）决定了电磁力的大小。

运动学中的运动和畸变

当连续介质的构型发生变化时，就会发生位移。刚体位移和变形构成了物体的位移。刚体的平移和旋转同时发生而不改变其尺寸或形状，这构成刚体位移。

当说一个物体发生变形时，意味着它已经从其初始或未变形的构型 Ko(B) 变化到其当前或变形的构型 kt(B)。

连续介质在一段时间内以一系列连续的位移运动。因此，材料体在不同时间会呈现出不同的形状，导致粒子占据空间中的一系列位置，这些位置定义了轨迹线。连续介质在运动或改变形状时会经历以下连续性：

• 任何时候由相同物质点形成的闭合曲线，在任何给定时刻都会形成闭合曲线。
• 任何时候物质点形成一个封闭曲面，它们将来总是会形成封闭曲面，并且封闭曲面内的物质将始终保持在内部。

找到一个参考构型或初始条件，所有其他构型都可以与之比较，这是有用的。参考构型不必是物体将要占据的构型。

时间 t=0 时的构型通常被称为参考构型，或 kt(B)。相对于参考构型测量的粒子位置矢量 X 的分量 Xi 被称为物质坐标或参考坐标。

在分析固体运动或变形或流体流动时，表征构型随时间的发展或演变至关重要。术语“物质描述”或“拉格朗日描述”是指一种根据物质坐标或参考坐标来描述运动的方法。

拉格朗日描述

在拉格朗日描述中，粒子的位置和物理特性是根据物质坐标或参考坐标和时间来指定的。在这种情况下，t=0 时的构型是参考构型。

观察者站在参考系之外，可以看到物质体的物理特性和位置如何随时间变化，以及它如何在空间中移动。

初始时间和参考构型 ko(B) 的选择不影响结果。固体力学通常使用这种描述。

欧拉描述

由于连续性，可以确定在原始或参考构型 ko(B) 中的粒子 X 是在哪里。

这被称为空间描述或欧拉描述，因为在用空间坐标描述运动时，当前构型被用作参考构型。

欧拉描述由 d'Alembert 开发，它不关注粒子在空间和时间中的移动，而是关注当前构型 kt(B)，并注意在时间向前推进时，固定在空间中的位置上发生的情况。

这种方法很容易用于流体流动研究，因为变化率而不是参考时刻流体体的形状是运动学中最重要的属性。

控制方程

连续介质力学研究的是在特定长度和时间尺度上可以大致描述为连续的材料的行为。控制这些材料力学的方程包括质量、动量和能量的平衡定律。

控制方程组还必须包含运动学关系和本构方程。热力学第二定律必须始终成立，以对本构关系的形状施加物理限制。

如果满足克劳修斯-杜亥姆熵不等式的变体，则满足固体连续介质力学中的热力学第二定律。

平衡定律指出，对于一个量在体积（质量、动量或能量）中的变化率，必须有三个因素涉及：

1. 物理量本身通过体积的表面。
2. 体积表面存在物理量的源，或者，
3. 体积中存在物理量的源。

令偏斜 Ω 为其表面（Ω 的边界），令 Ω 为其体（欧几里得空间的开集）。

矛盾的克劳修斯-杜亥姆

矛盾的克劳修斯-杜亥姆

对于弹塑性材料，热力学第二定律可以用克劳修斯-杜亥姆不等式来表达。这种不平衡表明了自然过程的不可逆性，尤其是在涉及能量损失的情况下。

我们假设存在一个量的通量、一个量的源，以及每单位质量的内部量密度，就像前面章节中的平衡定律一样。

在这种情况下，熵是重要的量。因此，我们假定感兴趣的区域具有熵通量、熵源、内部质量密度 ρ 和内部比熵（即每单位质量的熵）η。

令 Ω 为这样的区域，令 ∂Ω 为其边界。因此，根据热力学第二定律，该区域中 η 的增长率大于或等于提供给它的（作为通量或来自内部源）以及由于材料流入和流出该区域而引起的内部熵密度 pn 的变化之和。

设流速为 Un，令 v 为内部粒子速度。令 n 为表面的外法线。令 ρ 为该区域的物质密度，q 为表面的熵通量，r 为每单位质量的熵源。

有效期

一项理论分析，要么确定某种明确的周期性，要么发现微观结构的统计均匀性和遍历性，都可以确认连续介质假说的有效性。

更具体地说，连续介质假说基于代表性基本体积和基于 Hill-Mandel 条件的尺度分离的原理。

该条件提供了一种空间和统计平均微观结构的方法，并提供了实验者和理论家对本构方程（线性和非线性弹性/非弹性或耦合场）的视角之间的联系。

当尺度分离不成立或需要生成比代表性基本体积（RVE）尺寸更精细分辨率的连续介质时，可以使用统计体积单元（SVE），它会生成随机的连续场。

后者随后为随机有限元（SFE）提供了微力学基础。连续介质力学和统计力学通过 SVE 和 RVE 层级连接。

当本构响应在空间上是均匀的时，RVE 才能通过实验评估。