什么是几何深度学习

引言

通过将最先进的深度学习技术与数学结构相结合，几何深度学习 (GDL) 使机器能够理解和分析具有内在空间或拓扑特征的复杂数据。传统的深度学习模型在欧几里得数据（如文本、图像和序列）上表现良好，但对于非欧几里得数据（包括图、曲面和流形）则效果不佳。这类数据在一些真实世界的应用中很常见，包括社交网络、分子结构和三维形状。

GDL 旨在通过创建能够有效处理非欧几里得空间的算法和结构来弥合这一差距。它借鉴了图论、微分几何和拓扑学的技术，来构建能够推断数据基本几何模式的神经网络。通过将几何先验知识融入学习过程，GDL 模型可以识别并利用数据中存在的空间关系、对称性和不变性。

GDL 具有广泛的重要应用，从社交网络分析和化学性质预测，到三维物体识别和结构分析。随着该领域的不断发展，研究人员正在探索新颖的方法，例如基于图的神经网络、几何嵌入数据和多视图学习技术，以增强 GDL 模型的性能。

理解几何结构

• 拓扑学：关注的是在恒定变形（如拉伸或弯曲）下不会撕裂或粘连的空间部分。描述数据的全局连通性，尤其是在基于图的表示中，需要仔细考虑拓扑性质。
• 微分几何：涵盖了光滑曲面和曲线的分析，引入了测地线、切空间和曲率等概念。微分几何对于分析曲面和形状至关重要，因为它提供了理解几何数据局部特性的工具。
• 图论：专注于研究由连接顶点的边组成的图。图是灵活的结构，可用于模拟复杂的系统，如社交网络、化学结构和推理系统，因为它们可以用来表示数据片段之间的交互和关系。
• 多视图学习：包括在低维复形上组织的高维数据的求解技术，该复形是周围空间的一部分。多视图学习技术通过揭示底层复形结构，为复杂的表征学习和降维提供了有效的途径。
• 对称性和不变性：通过利用几何结构通常显示的对称性和不变性，可以在 GDL 中创建不变性架构。理解对称性有助于构建能够承受各种变换（包括缩放、平移和旋转）的模型。

深度学习在几何数据分析中的地位

• 通过表征学习：深度学习算法能够通过学习数据的分层表征，自动识别几何数据中复杂的模式和结构。这项技能对于从复杂的几何域（如图、曲面和点云）中提取有意义的特征至关重要。
• 特征提取：在几何数据分析应用中，深度神经网络通过有效地从原始数据中提取区分性特征，提供高效的特征表征。通过学习分层特征表征，机器学习算法可以捕获全局和局部的几何属性。这使得模型能够更轻松地执行诸如物体识别、形状分类和结构预测等任务。
• 建模预测：得益于深度学习，可以创建能够利用几何数据中固有的空间相关性和模式的预测算法。研究人员可以通过使用带有标签的几何数据集重新训练深度神经网络，来构建能够准确预测各种领域（包括人工智能、计算生物学和材料科学）中的分类、回归和分割任务的模型。
• 灵活性和可扩展性：由于深度学习框架具有灵活性和可扩展性，研究人员可以有效地将几何数据分析方法应用于大规模数据集。由于分布式计算和硬件加速器（如 GPU 和 TPU）的发展，基于深度学习的模型可以处理大量的几何数据。这使得它们适用于面临大数据挑战的实际应用。
• 结合传统技术：在几何数据分析中，深度学习技术是对传统方法的有益补充。它们提供了解决复杂问题的新工具，并提高了现有算法的可解释性和泛化能力。

几何深度学习应用

• 计算机视觉：GDL 广泛应用于计算机视觉应用，包括姿态估计、形状分析和三维物体识别。通过利用网格、点云和图等几何表征，GDL 模型能够精确分析和理解图像或三维场景中物体的空间排列。
• 生物医学成像：GDL 简化了医学图像处理和器官分割、疾病诊断等任务。通过将几何先验知识整合到深度学习模型中，研究人员可以提高诊断系统的准确性和理解能力，从而改善患者护理和诊断。
• 网络和图分析：GDL 在分析和建模复杂网络（包括社交、生物和交通网络）方面至关重要。由于它们能够捕获图和节点属性的底层结构，图神经网络使得节点分类、链接预测和社群发现等任务成为可能。
• 自然语言处理 (NLP)：在自然语言处理 (NLP) 活动（包括情感分析、语义角色标注和解析）中，利用 GDL 方法来生成和评估结构化数据。通过将文本表示为图或分层结构，GDL 模型可以捕获文本中的语法和语义关系。这使得创建更可靠和可理解的语言模型成为可能。
• 机器人和自动驾驶系统：在机器人应用中，例如机器人推理、控制和导航，GDL 是基本要素。当几何推理被整合到机器人系统中（GDL）时，机器人可以更熟练地理解其周围环境、规划路径并与物体进行交互。这导致更安全、更自主的操作。
• 化学和材料科学：在材料科学中，GDL 用于药物发现、分子结构分析和材料性质预测。通过将蛋白质建模为图或三维 (3D) 结构，GDL 模型可以预测化学性质，发现新材料，并加速药物开发过程。

几何深度学习的挑战和限制

• 数据表示：GDL 需要能够忠实反映数据几何形状的适当数据表示。为各种几何数据格式（包括图、点云和曲面）创建有效的表示仍然很困难。
• 可扩展性：对于 GDL 模型，处理大规模几何数据会带来可扩展性问题。随着数据集越来越大和越来越复杂，使用深度学习训练模型在计算上变得非常昂贵，并且可能需要使用专用硬件和分布式计算基础设施。
• 泛化能力：GDL 模型经常难以适应新数据或几何结构的变化。在多个领域、数据集和场景中实现稳定的性能仍然具有挑战性，尤其是在处理有限数量的标记数据时。
• 一致性和对称性：为了确保鲁棒性和泛化能力，GDL 模型需要整合不变性和对称性特征。然而，创建能够有效捕获和利用几何对称性和不变性的架构仍然是一个研究问题。
• 可解释性：由于 GDL 模型，尤其是深度神经网络，有时被视为“黑箱”模型，因此可能很难解释它们的决策并理解底层的几何逻辑。提高 GDL 模型的可解释性对于建立信任和理解它们在实际场景中的行为至关重要。

几何深度学习方法和算法

• 图神经网络 (GNN)：一种被称为 GNN 的机器学习算法，专门为处理图结构数据而创建。通过聚合网络中邻近节点的信息，它们能够学习如何表示节点和边，从而执行节点分类、链接预测和图分类等任务。
• 图卷积神经网络 (GCN)：卷积神经网络，也称为 CNN，是 GCN 在此基础上扩展的概念，用于处理图结构输入。通过传播邻近节点的信息，它们在图上执行局部滤波操作，捕获所有局部和全局网络结构。
• 基于网格的几何深度学习：网格由顶点、边和面组成，用于描述复杂的曲面或三维物体。MeshCNN 和 MeshNet 等方法使用网格上的卷积神经网络操作来分析和处理三维数据，用于形状生成、分割和分类等任务。
• 处理点云：点云通常由深度摄像头或 LiDAR 等传感器生成，是一组无序的点，表示三维数据。PointNet 及其衍生物使用置换不变架构直接分析点云，从而促进物体分类、分割和重建等任务。
• 多视图学习方法：为了在保留底层流形结构的同时学习高维数据的低维嵌入，利用了诸如统一流形近似与投影 (UMAP) 和 t-分布随机邻域嵌入 (t-SNE) 等流形学习技术。这些方法便于可视化、分组和降低几何数据的维度。

几何深度学习的未来前景

• 分层表征：创建数据的分层表征，捕获几何关系和多尺度系统。通过分层模型，GDL 系统可以推理不同的抽象级别，这将使以可靠和可理解的方式分析复杂的几何数据更加容易。
• 学习几何先验：研究深度学习模型学习和包含几何先验的方法。通过存储有关空间关系、对称性和不变性的先验知识，GDL 模型可以在需要几何数据的任务上表现更好，并获得更高的泛化能力。
• 时序和动态图：将 GDL 方法扩展到处理时序和动态结构化的图数据。可以对动态社交网络、交通预测和时空分析进行建模，这些模型可以捕获图中的时间动态和不断变化的关系。
• 几何元学习：使用元学习技术来调整 GDL 模型以适应需要少量标记数据或新几何领域的任务。通过元学习方法，模型可以开发有效的学习方法和表征，这些表征在各种几何数据集上表现良好。
• 不确定性估计：开发 GDL 模型中的不确定性估计技术，以量化和传播预测不确定性。在自动驾驶汽车和医学诊断等安全关键领域，具有不确定性感知能力的 GDL 模型可以实现稳健的决策和提高应用可靠性。