运动方程推导

引言

在讨论运动方程之前，我们需要理解“运动”一词的含义。运动是物体位置随时间变化的现象。简单来说，它指的是物体从一个地方移动到另一个地方。

运动可以有多种形式，例如直线运动、圆周运动、周期运动或随机运动，具体取决于物体所经过的路径以及作用在其上的力。我们每天每时每刻都在见证和参与运动。伸手拿起某物、拿起某物并将其放置到其他地方、从一个地方走到另一个地方、开车或乘坐其他交通工具，这些都是我们每天都能见证到的各种运动的例子。

运动普遍存在于宇宙中，从行星和恒星等天体的运动，到亚原子层面的原子和粒子的运动。观察和理解运动对于许多科学领域、工程学以及日常生活应用至关重要。它是理解我们周围世界动力学的重要概念，并在各种科学理论和技术进步的发展中发挥了核心作用。

运动的研究使我们能够了解物体在力的作用下如何运动，从而根据初始条件和施加的力来预测它们的未来位置和速度。

牛顿运动定律

牛顿运动定律是奠定经典力学基础并彻底改变我们对物体如何运动的理解的三个基本原理。这些定律是由艾萨克·牛顿爵士于 1687 年出版的著作中提出的。由于运动方程基于牛顿定律，因此首先掌握这些定律的含义很重要。

牛顿第一运动定律

第一定律，也称为惯性定律，规定：

静止的物体将保持静止，运动的物体将以恒定速度沿直线继续运动，除非受到外力作用。

简单来说，除非受到外力作用，否则物体将保持其运动状态（无论是静止还是以恒定速度沿直线运动）。该定律意味着物体的自然倾向是抵抗其运动的变化，这通常被称为惯性。

牛顿第二运动定律

第二定律规定：

物体的加速度与其所受净外力成正比，与其质量成反比。

数学上，牛顿第二定律表示为 F = m*a，其中

• F 是作用在物体上的净外力，
• m 是物体的质量，以及
• a 是物体的加速度。

这一定律告诉我们，作用在物体上的力是改变其运动状态的原因。更大的力会产生更大的加速度，而质量更大的物体需要更大的力才能产生相同的加速度。

牛顿第三运动定律

第三运动定律规定：

每一个作用都有一个相等且相反的反作用。

该定律规定，当两个物体相互作用时，一个物体施加到另一个物体的力与第二个物体施加到第一个物体的相等但相反的力相匹配。换句话说，如果物体 A 对物体 B 施加力，则物体 B 同时对物体 A 施加一个大小相等但方向相反的力。

牛顿运动定律对物理学的发展产生了深远影响，并成为经典力学的重要基石。它们对于理解和预测物体的运动至关重要，从简单的日常情况到天体力和工程应用中的复杂相互作用。这些定律继续在各种科学领域中被传授和应用，并且对于我们理解物理世界仍然至关重要。

第一个运动方程

运动方程是经典力学中的重要原理，用于描述粒子对外部力的响应。在一维情况下，这些方程建立了粒子位置、速度和加速度与时间的关系。第一个方程指出，粒子的速度是其位置的时间导数，表示粒子位置随时间变化的速率。

推导

让我们考虑一个初始速度为“u”的物体。在时间“t”之后，其速度加速到最终速度“v”。加速度为“a”。

根据加速度的定义

加速度 (a) = 速度变化/所用时间 (t)

现在，速度变化 = 最终速度 (v) - 初始速度 (u)

这意味着

a = (v - u) / t

将 t 和 a 交叉相乘，我们得到

a*t = v - u

重新排列上述方程后，我们得到

v = u + a*t

这就是第一个运动方程。

第二个运动方程

第二个运动方程描述了在粒子受到恒定加速度时，粒子位置随时间变化的函数。该方程也称为“位置-时间”方程，是经典力学中的一个重要方程。该方程描述了粒子在恒定加速度运动时位置随时间的变化情况。该方程假设粒子经历的加速度在整个运动过程中保持恒定。这意味着加速度不随时间变化，在任何给定瞬间都相同。

数学上，它表示为

x = u * t + (1/2) * a * t 2

推导

让我们考虑一个初始速度为“u”的物体。在时间“t”之后，其速度加速到最终速度“v”，并移动了“x”距离。加速度为“a”。

该物体的平均速度将是：(u + v)/2

现在，我们知道行驶的距离是平均速度乘以所用的时间

x = [(u + v)/2]*t

从第一个运动方程，我们知道

v = u + a*t

使用这个，我们的方程变为

x = [(u + u + a*t)/2]*t

x= (2u*t + a*t2)/2

x = u*t + ½(a*t2)

这就是第二个运动方程，是经典力学中的一个重要工具，在理解恒定加速度下粒子的运动方面发挥着重要作用。它被广泛应用于各种物理和工程领域，例如分析抛射物的运动、研究车辆的运动以及描述天体的动力学。

第三个运动方程

第三个运动方程显示了当粒子受到恒定加速度时，粒子的最终速度 (v) 如何与其初始速度 (u) 相关。最终速度是通过将初始速度平方，加上加速度与位移乘积的两倍，然后取平方根来获得的。它也称为“速度-时间”方程。与第一个和第二个运动方程类似，第三个方程假设粒子经历的加速度在整个运动过程中保持恒定。

数学上，它表示为

v2 - u2 = 2a*x

推导

使用第一个方程

v = u + a*t

v - u = a*t

t = (v-u)/a

现在，将 t 的值代入第二个运动方程：x = u*t + ½(a*t2)

x = u*(v-u)/a +½ [a*(v-u)2]/a2

x = (v*u - u2)/a + (v2 - 2*v*u + u2)/2a

x = (2*u*v - 2*u2 + v2 - 2*u*v + u2)/2a

2ax= v2 - u2

或

v2 - u2 = 2ax

这就是第三个运动方程。第三个运动方程补充了前两个方程，提供了一种在给定初始条件（速度和位移）的情况下计算恒定加速度下物体的最终速度的方法。该方程对于理解运动物体的动力学很有价值，并用于各种物理和工程应用，例如计算车辆在一定距离行驶后的最终速度或预测抛射运动问题中抛射物的速度。

结论

运动方程是从牛顿第二运动定律推导出来的，速度可以通过对加速度进行积分来计算，位置可以通过对速度进行积分来计算。这些方程提供了对粒子在外力作用下运动的数学描述。这些方程以及将力和加速度联系起来的牛顿第二定律，为理解和预测各种情况下的物体运动提供了一个强大的框架，从简单的直线运动到涉及多维和相互作用的更复杂的动力学。