二进制数系统中算术加法中的溢出

为了解释算术加法溢出，我们主要使用二进制补码系统，这是一种在计算机体系结构中广泛使用的数制。

• 如果二进制补码系统有N位，它可以表示从 -2^n-1 到 2^n-1-1 的数字。
• 如果二进制补码系统有4位，它将表示从 (-8 到 7) 的数字。
• 如果二进制补码系统有5位，它将表示从 (-16 到 15) 的数字。

当我们尝试添加两个N位二进制补码数，并且生成的输出太大以至于无法放入该N位组时，在这种情况下，就会发生加法溢出。系统或计算机中通常有N位固定寄存器。当我们添加两个N位数字时，它将生成最大N+1位数字的输出。在进位标志的帮助下，这个额外的位被存储。问题是进位并不总是用于表示溢出。

例如：在此示例中，我们将借助二进制补码来添加7和1。

解决方案：二进制数7(0001)和7(0111)的加法描述如下

正如我们所看到的，用4位表示7 + 1等于8。但是我们不能用4位二进制补码数表示8，因为数字8超出范围。当我们添加两个正数时，我们却得到一个负数（-8）。在此示例中，0也是进位。通常，与溢出相关的问题留给程序员处理。

溢出检测

在显示算术运算结果时，如果位数不足以表示二进制数，就会发生溢出。计算机算术在除法、减法、乘法和减法方面是封闭的；因此会发生溢出。如果操作数的符号不同（或相同），在这种情况下，溢出将不会发生。

溢出发生有两种情况，描述如下：

1. 当我们尝试添加两个负数，而结果是一个正数时。
2. 当我们尝试添加两个正数，而结果是一个负数时。

例如

当两个正数相加，结果是正数；当两个负数相加，结果是负数时，不会发生溢出，描述如下：

如果我们有 N 位数字表示，那么我们需要 N + 1 位来检测和补偿溢出。例如：假设我们有 32 位算术，我们可以借助 33 位来检测和补偿溢出。我们可以利用符号位中产生的进位（借位）来实现加法中的这一点。为了更深入地解释，我们将借助数字 7 和 6 的四位二进制表示来提供四种不同的符号组合。

我们可以使用2位比较器而不是3位比较器来检测溢出。我们还可以通过检查两个数字的MSB及其结果来检测溢出。为此，我们只需检查最高有效位的进位（C-in）和出位（C-out）。假设我们将执行N位二进制补码数的加法，描述如下：

当C-in和C-out彼此相等时，将发生溢出。借助以下分析，我们可以解释上述溢出表达式。

在第一张图片中，0表示两个数字的最高有效位，表示它们是正数。如果我们得到1作为进位，最高有效位的结果也将是1，这意味着结果是负数（溢出）。在这种情况下，出位也将是0。这证明进位和出位不相等，因此发生溢出。

在第二张图片中，1表示两个数字的最高有效位，表示它们是负数。如果我们得到0作为进位，最高有效位的结果也将是0，这意味着结果是正数（溢出）。在这种情况下，出位也将是1。这证明进位和出位不相等，因此发生溢出。

根据上述解释，我们可以说溢出可以通过MSB（最高有效位）的C-in和C-out来检测，描述如下：

借助上述异或门，我们可以轻松检测溢出。

溢出条件

溢出有多种条件，描述如下：

• 算术运算有可能发生溢出条件。
• 溢出取决于容纳结果的数据类型的大小。
• 如果结果的数据类型过小或过大，无法放入原始数据类型中，则会发生溢出。
• 当我们尝试添加两个有符号的2的补码数字时，如果两个数字都是正数且生成的结果为负数，或者两个数字都是负数且生成的结果为正数，则会发生溢出。
• 当我们尝试添加两个无符号数时，如果最左边的位包含进位输出，则会发生溢出。

无符号数相加的例子

在这个例子中，我们使用一位量来检测一位量是否包含溢出。

在这个例子中，我们可以看到最后一行包含一个进位输出。这意味着我们无法用一位量来容纳（1 + 1）。如果我们要成功完成{1 + 1}，我们需要更大的数据类型。当我们尝试添加多位无符号数时，当且仅当最左边的有效位包含进位输出时才会发生溢出。

有符号数相加的例子

在此示例中，我们使用一位有符号量，并检测该一位量是否包含溢出。

解决方案：这里，一位用于表示符号，另一位用于表示数据。因此，我们需要两位有符号数据类型，描述如下：

假设我们有两个符号相反的数字。如果我们将这些数字相加，它们的和永远不会溢出，如下所示：

但是如果两个数字的符号相同，它们的和可能会溢出，如下所示：

因此，输出 {2, -4, -3} 无法适应两位有符号数据类型。