带示例理解非线性回归

非线性回归是一种回归分析形式，其中观测统计量通过一个可能由模型参数的非线性组合构成的函数进行建模，该函数依赖于一个或多个自变量。与线性回归不同，线性回归将建立的变量和独立变量之间的关系建模为一条直线，而非线性回归可以模拟更复杂的关系。

什么是?非线性回归?

当观察结果表明自变量（预测变量）和因变量（响应变量）之间存在曲线关系时，使用非线性回归。模型由非线性函数 f(x, θ) 表示，其中 θ 代表参数。

构建非线性模型

在非线性回归中，模型通常采用以下形式：

其中

• y 是因变量。
• x 是自变量。
• θ 是参数向量。
• ϵ 是误差项。

优点

• 灵活性：可以模拟线性模型无法捕捉的变量之间复杂的关系。
• 准确性：通常能更好地拟合遵循非线性模式的数据，从而实现更准确的预测。
• 多样化应用：可用于生物学、医学、经济学和工程学等各个领域，用于模拟增长、衰减和其他非线性过程。
• 增强的洞察力：可以揭示线性模型无法显现的潜在模式和动态。
• 可定制模型：允许创建针对特定现象或数据特征量身定制的模型。

缺点

• 复杂性：与线性模型相比，更难理解和解释。
• 计算密集度：参数估计需要更多的计算能力和时间。
• 收敛问题：拟合过程可能不会收敛到解，尤其是在初始参数为负值时。
• 过拟合：尤其是在使用复杂模型和有限数据时，过拟合的风险较高。
• 参数敏感性：估计值可能对初始值和数据中的微小变化非常敏感。
• 不唯一性：多个模型可能都能很好地拟合数据，使得难以确定哪个是最佳模型。
• 验证难度：更难验证和论证所选模型及其假设。

应用

• 生物学：酶动力学、种群增长。
• 医学：剂量-反应曲线、药代动力学。
• 经济学：市场饱和模型、增长曲线。
• 工程学：材料疲劳、应力-应变关系。

示例

指数增长模型

指数增长模型描述了一种增长率与当前值成正比的过程。这种类型的增长在种群、放射性衰变和某些经济模型中很常见。

其中，

• β₀：初始值或缩放因子。
• β₁：增长率。

Michaelis-Menten 动力学

Michaelis-Menten 模型解释了酶促反应的速率。它模拟了底物浓度与反应速率之间的关系。

其中，

• V_max：最大反应速率。
• K_m：Michaelis 常数，反应速率为 V_max 一半时的底物浓度。

逻辑斯蒂增长模型

逻辑斯蒂增长模型用于描述种群增长，该增长开始时呈指数增长，但随着种群达到环境的承载能力而减慢。

其中，

• K：承载能力，即最大种群数量。
• x₀：S 形曲线中点的 xxx 值。
• γ：增长率。

Gompertz 模型

Gompertz 模型将增长描述为 S 形曲线。它常用于模拟肿瘤生长、种群动态和商业增长。

其中，

• a：上限渐近线。
• b：沿 x 轴的位移。
• c：增长率。

双曲线模型

双曲线模型描述了响应变量随预测变量呈双曲线变化的现象。它通常用于经济学中描述学习曲线或边际收益递减。

其中，

• a：分子参数。
• b：影响衰减率的分母参数。

幂律模型

幂律模型描述了响应变量随预测变量幂次变化的现象。它在物理学、生物学和经济学中很常见。

其中，

• α：缩放因子。
• β：幂次或指数，表示关系类型。

Weibull 模型

Weibull 模型用于可靠性评估和生存分析，以描述产品或系统发生故障的时间。

其中，

• α：形状参数。
• β：尺度参数。

Richards 曲线

Richards 曲线是一种广义逻辑斯蒂函数，用于描述可以表现出饱和和延迟阶段的增长。

其中，

• K：承载能力。
• b：增长率。
• m：曲线的中点。
• ν：影响曲线不对称性。

实际示例：拟合逻辑斯蒂增长模型

输出