使用统计方法进行时间序列预测

引言

基于历史记录中随时间累积的因子，对时间序列进行预测的统计方法称为时间序列预测。理解历史数据中的模式和发展趋势对于在经济、金融、气候预测和商业规划等众多领域做出明智的决策至关重要。一系列在固定时间间隔收集或记录的数据点，例如每日股票价格、月度销售数据或年度降雨量测量，被称为时间序列。

时间序列预测的目标是对数据中的潜在模式和相关性进行建模，包括趋势（长期增加或减少）、季节性（特定时间段内的规律性模式）和周期（长期振荡）。这些因素指导预测模型的开发，以描绘时间序列的行为。

对于时间序列预测，通常会采用指数平滑、状态空间模型和ARIMA（自回归积分滑动平均模型）等统计方法。这些方法的有效性要求数据是平稳的，即其统计特征在时间上保持不变。为了实现平稳性，经常使用对数变换和差分等数据转换技术。

时间序列数据类型包括

• 时间序列：单变量 vs. 多变量

单变量时间序列由一个变量随时间变化的观测值组成，例如每日天气、月度收入或年度降雨量。分析的主要目标是理解和预测该单一变量的行为。然而，多变量时间序列在同一时间记录了多个变量，例如每日的湿度、温度和风速。多变量模型考虑了不同因素之间的潜在相互作用，由于它们显示了一个变量如何影响另一个变量，因此通常会带来更准确的预测。

• 时间序列：平稳 vs. 非平稳

如果一个时间序列的统计特征，如均值、方差和自相关，不随时间变化，则称其为平稳的。平稳序列更容易建模，因为平稳性对于许多预测方法（包括ARIMA）产生可靠预测至关重要。当时间序列是非平稳的，其特征会随时间变化，通常是由于长期周期、趋势或季节性。为了处理非平稳数据，可以使用趋势消除或差分等技术将序列转换为平稳的、适合建模的序列。

• 时间序列：季节性 vs. 非季节性

季节性时间序列在每日、每月或每年都有规律性地重复出现的稳定、可靠的模式。例如，节假日期间零售额的增加或气温的季节性变化。对于这类序列，通常使用能够考虑季节性的模型，例如SARIMA或Holt-Winters指数平滑。然而，非季节性时间序列没有重复出现的季节性模式。这些变化不遵循固定的、可预测的周期，因此尽管它们可能仍会显示出模式或周期，但对其进行建模可能需要不同的技术。

• 周期性 vs. 趋势时间序列

时间序列中数据长期向上或向下的运动，无论是线性的还是非线性的，都称为趋势。根据使用的预测方法，趋势可能需要被识别并有时被消除，因为它们有可能影响序列的长期行为。周期性时间序列，通常与商业或经济周期相关，显示出在较长、非固定时期内的变化。这些周期更难解释，因为与季节性模式相比，它们的持续时间是不可预测的。

时间序列预测的统计技术

• 自回归积分滑动平均模型（ARIMA）

ARIMA是时间序列预测中最常用的技术之一。自回归（AR）、差分（I代表“积分”）和滑动平均（MA）是其三个组成部分。AR部分对观测值及其先前值进行建模，而MA部分则对观测值和先前的误差项进行建模。差分用于使非平稳序列平稳。当处理非季节性时间序列数据时，ARIMA效果很好；为了考虑季节性，会采用SARIMA等扩展。自相关（ACF）和偏自相关（PACF）函数通常用于模型识别。

• 指数平滑技术

指数平滑是另一种广受欢迎的时间序列预测方法，它对历史观测值赋予指数递减的权重。简单指数平滑（SES）是最基本的形式，适用于没有季节性或趋势的数据。Holt的线性趋势模型在SES的基础上进行了扩展，以考虑趋势，而Holt-Winters方法则同时考虑了趋势和季节性因素，使其适用于季节性时间序列。指数平滑技术因其易用性和有效性而闻名，尤其适用于短期预测。

• 状态空间模型

状态空间模型提供了一个灵活的时间序列预测框架，它允许对测量值和潜在变量（代表系统的潜在状态）之间的复杂关系进行建模。卡尔曼滤波器是状态空间建模中一个受欢迎的方法，对于处理缺失数据在实时应用中特别有用。这些模型可以扩展以处理多变量时间序列数据，并且对于线性和非线性时间序列都效果良好。

• 广义自回归条件异方差（GARCH）和自回归条件异方差（ARCH）

ARCH和GARCH模型可用于对时间序列数据中方差随时间变化的模式进行建模，例如金融领域的股票收益。这些模型的主要目标是捕捉波动性聚集现象，即高波动性之后是高方差，低波动性之后是低方差。GARCH通过包含滞后方差来扩展ARCH，提供了更全面的模拟时间变化波动性的方法。

• 向量误差修正模型（VECM）和向量自回归（VAR）

在多变量时间序列预测中，当多个时间序列相互影响时，会使用VAR模型。VAR模型有助于理解单个因素对其他因素的动态影响，并捕捉多个变量之间的线性关系。VECM作为VAR的扩展，允许在考虑非平稳时间序列数据中的长期均衡关系的同时，捕捉短期动态。

• 时间序列季节性分解（STL）

STL方法可以将时间序列分解为趋势、季节性和残差分量。它是使用更复杂的统计模型之前的一个基本步骤。通过分离这些分量，STL允许发现数据中的模式，从而有助于准确建模和预测。当时间序列显示出清晰且随时间变化的季节性模式时，它非常有用。