图论中的圈图

如果图中存在相同的起点和终点顶点，并且不应有重复的边，则可以将该图称为环图。环图只能包含一个环。换句话说，环图可以描述为一系列顶点，可以从某个顶点开始，然后遍历所有顶点而不重复任何边，最后回到起始顶点。在环的情况下，可能存在重复的顶点，但不能有重复的边。

环图还有一个名字，即圆图。如果我们想找到环的秩，则需要计算环中访问过的边的数量。如果我们有一个图，其中我们遍历了 n 条边，则这种图的秩为 n。我们也可以将这种图称为 n-环。有一个例子，其中我们有一个秩为 8 的环，那么我们可以将这种图称为 8-环。

可以通过一些顶点来形成环图，并且这些顶点必须以闭合链的形式连接。如果我们有一个环图 C，其中有 n 个顶点，那么这种图可以用符号 Cn 来表示。如果图中存在环，那么图中边的数量和顶点的数量必须相同。众所周知，在环图中，每个顶点都有两条连接边，因此每个顶点的度都为 2。如果是一个环图，那么它的长度必须大于 2。

不同长度的环图

在这里，我们通过一些例子来展示具有不同长度或不同数量顶点的环图，具体如下：

1 个顶点的环

在这个图中，只有 1 个顶点和 1 条边。顶点标记为 A，它连接到同一个顶点 A。我们了解到，要创建环需要最少 3 条边的长度，但这个图的长度是 1，因为这个图只有一个顶点。所以，这个图中不存在环。我们可以用符号 C1 来表示这个环，其中 1 用于表示顶点的数量。我们也可以将这个图称为 1-环，但这个图不能称为环图。

2 个顶点的环

在这个图中，有 2 个顶点和 1 条边。顶点标记为 A 和 B，它们通过 2 条边相互连接。我们了解到，要创建环需要最少 3 条边的长度，但这个图的长度是 2，因为这个图有两个顶点。所以，这个图中不存在环。我们可以用符号 C2 来表示这个环，其中 2 用于表示顶点的数量。我们也可以将这个图称为 2-环，但这个图不能称为环图。

具有 3 个顶点的环图。

在这个图中，有 3 个顶点和 3 条边。顶点标记为 A、B 和 C，它们相互连接。这个图的长度是 3，因为这个图有三个顶点。所以，这个图中可能存在环。在这个图中，我们有一系列顶点“ABCA”。这个序列具有相同的起始和结束顶点。所以，这个图包含一个环。我们可以用符号 C3 来表示这个环，其中 3 用于表示顶点的数量。我们也可以将这个图称为 3-环图。

具有 6 个顶点的环图

在这个图中，有 6 个顶点和 6 条边。顶点标记为 A、B、C、D、E 和 F，它们相互连接。在这个图中，我们有一系列顶点“ABCA”。这个序列具有相同的起始和结束顶点。我们可以用符号 C6 来表示这个环，其中 6 用于表示顶点的数量。我们也可以将这个图称为 6-环图。

环的类型

在图论领域，环可以是简单的，也可以不是简单的。如果图中只有一个环，并且有相同的起始和结束顶点，那么这种环就是简单环。如果图中存在多个环，并且有相同的起始和结束顶点，那么这种环就不是简单环。这里有一个例子可以帮助理解简单环和非简单环的概念，具体如下：

示例：此图包含一个图，我们需要确定它是简单环还是非简单环。

解答：众所周知，如果一个图只有一个环且具有相同的起始和结束顶点，则该图包含一个简单环。在这个图中，我们从顶点 B 开始，然后遍历顶点 D、F、G、E、D、C 和 B。所以，我们得到序列 {B, D, F, G, E, D, C, B}。在这个序列中，没有重复的边，有一个重复的顶点，即顶点 D，并且有相同的起始和结束顶点。但在这个图中，存在多个环，例如 BCDB、DCED、DFGED 等。所以，这个图不是一个简单环图。该图的环显示如下：

环 = B → D → F → G → E → D → C → B

检测环的不同方法

在图论领域，可以通过两种方法在任何图中找到环。两种方法如下所示：

• 无向图中的环
• 有向图中的环

现在，我们通过以下方式解释这两个主题：

检测无向图中的环

如果图中的边没有方向，则称该图为无向图。对于无向图，我们可以朝任何方向移动，因为我们不必遵循方向。有一些例子可以帮助理解无向图中的环的概念。这些例子如下：

示例 1

此图包含一个无向图，我们需要确定它是否包含环。

解答：众所周知，如果一个图包含一个具有相同起始顶点和结束顶点的顶点序列，则该图包含环。在这个图中，我们从顶点 1 开始，然后遍历顶点 2、3、4 和 1。所以，我们得到序列 {1, 2, 3, 4, 1}。在这个序列中，我们有相同的起始和结束顶点（1）。因此，在这个图中，无向环的所有属性都已满足。因此，这个图中存在一个环，如下所示：

环 = 1 → 2 → 3 → 4 → 1

示例 2

此图包含一个无向图，我们需要确定它是否包含环。

解答：众所周知，如果一个图包含一个具有相同起始顶点和结束顶点的顶点序列，则该图包含环。在这个图中，我们从顶点 2 开始，然后遍历顶点 1、4、5、6 和 7。所以，我们得到序列 {1, 4, 5, 6, 7}。在这个序列中，我们没有相同的起始和结束顶点。因此，在这个图中，无向环的所有属性都未得到满足。因此，这个图中不存在环。

检测有向图中的环

如果图中的边有方向，则称该图为有向图。对于有向图，我们不能朝任何方向移动，因为该图具有方向。有一个特定的方向，我们需要遵循边的方向才能到达任何顶点。顶点序列应通过遵循这些边的方向来构成。有一些例子可以帮助理解有向图中的环的概念。这些例子如下：

示例 1

此图包含一个有向图，我们需要确定它是否包含环。

解决方案众所周知，如果一个图包含一个具有相同起始顶点和结束顶点的顶点序列，则该图包含环。在这个图中，我们从顶点 1 开始，然后遍历顶点 3、4、0 和 1。所以，我们得到序列 {1, 3, 4, 0, 1}。在这个序列中，我们有相同的起始和结束顶点（1）。因此，在这个图中，无向环的所有属性都已得到满足。因此，这个图中存在一个环，如下所示：

环 = 1 → 3 → 4 → 0 → 1

示例 2

此图包含一个有向图，我们需要确定它是否包含环。

解答：众所周知，如果一个图包含一个具有相同起始顶点和结束顶点的顶点序列，则该图包含环。在这个图中，我们从顶点 0 开始，然后遍历顶点 1、2 和 3。所以，我们得到序列 {0, 1, 2, 3}。在这个序列中，我们没有相同的起始和结束顶点。因此，在这个图中，有向环的所有属性都未得到满足。因此，这个图中不存在环。

环图的性质

环可以包含许多性质，其中一些性质描述如下：

• 如果一个连通图存在，那么这种图必须包含环。这意味着环图也是一个连通图。
• 环图只能包含一个环。在一个环图中不可能存在多个环。如果一个图有多个环，那么这种图不是一个简单环图。
• 如果在一个环图中，我们有偶数个顶点，那么这种图是 2-顶点可着色或 2-边可着色。
• 如果在一个环图中，我们有奇数个顶点，那么这种图是 3-顶点可着色或 3-边可着色。
• 如果在环图中，我们需要计算每个顶点的度，那么结果总是 2。
• 如果我们想计算环图的度，那么它可以计算为 2 乘以顶点的数量。这是因为每条边都包含入边和出边，因此它被计算了两次。

环图的例子

在环图的情况下有各种各样的例子，其中一些例子描述如下：

示例 1

此图包含一个图，我们需要确定它是否包含环。

解答：众所周知，如果一个图包含一个具有相同起始顶点和结束顶点的顶点序列，则该图包含环。在这个图中，我们从顶点 2 开始，然后遍历顶点 0、1、5 和 4。所以，我们得到序列 {2, 0, 1, 5, 4}。在这个序列中，我们没有相同的起始和结束顶点。因此，在这个图中，环图的所有属性都未得到满足。因此，这个图中不存在环。

示例 2

此图包含一个图，我们需要确定它是否包含环。如果此图中存在环，那么我们还需要计算此环图的度，并且还需要解释。

解答：众所周知，如果一个图包含一个具有相同起始顶点和结束顶点的顶点序列，则该图包含环。在这个图中，我们从顶点 A 开始，然后遍历顶点 C、D、B 和 A。所以，我们得到序列 {A, C, D, B, A}。在这个序列中，我们有相同的起始和结束顶点（A）。因此，在这个图中，环图的所有属性都已得到满足。因此，这个图中存在一个环。现在，我们还需要计算这个环的度，可以通过以下方式计算：

此环中的顶点数 = 4

众所周知，顶点数与图的度之间存在关系，如下所示：

环图的度 = 2*顶点数

环图的度 = 2*4

环图的度 = 8

解释：在上图中，我们有 4 个顶点，并且在环图中，每个顶点都有两条连接边，因此每个顶点的度都为 2。正如我们所了解到的，有 4 个顶点，所以这个环图的度是 8。

示例 3

假设有一个环图，其中有 5 个顶点。在这里，我们需要使用该图的顶点数来计算此图的边数和度。

解答：我们可以通过以下方式计算图的度数和边数：

顶点数 = 5

正如我们所了解到的，边数和顶点数之间存在关系。根据这一点，在环图中，图中边的数量和顶点的数量必须相同。所以，

此图的边数 = 5

同样，我们也有顶点数和环图度数之间的关系，如下所示：

环图的度 = 2*顶点数

环图的度 = 2*5

环的度 = 10

因此，上述环图包含 5 个顶点，5 条边和 10 的度。