图论中的欧拉图

2025年7月12日 | 阅读18分钟

要理解欧拉图，我们首先需要了解图，然后才能轻松学习欧拉图。我们还应该学习欧拉路径、欧拉回路和半欧拉图。

Graph

图是由非空边集和顶点集组成的。图也可以表示为点和线的图形表示。图的两条线通过点连接。图的顶点用点表示，图的边用线表示。两个顶点通过边连接。在图中，至少使用一条边连接两个顶点。

图可以表示为 G = (V, E)，其中顶点集由 V 表示，边集由 E 表示。边用于连接图的两个顶点。

欧拉图

如果一个图是连通图，并且其中所有顶点的度数都是偶数，那么这个图就称为欧拉图。换句话说，如果连通图中有欧拉回路，那么这个图就是欧拉图。对于欧拉图，每条边必须只访问一次。我们可以通过下面的例子来理解欧拉图

示例 1

这个图包含一个图，我们需要找到这个图的欧拉图。

解答：众所周知，如果一个图的所有顶点的度数都是偶数，那么它就是一个欧拉图。图中共包含7个顶点。顶点 A、B、C、D、E 和 F 的度数都是 2，因为共有 2 条边连接到顶点 A、B、C、D、E 和 F，而顶点 G 的度数是 4。因此，在这个图中，所有顶点的度数都是偶数。所以，这个图满足欧拉图的性质。因此，它有一个欧拉图。

还有另一种方法可以显示给定的图是否为欧拉图。

众所周知，如果图的所有边都只访问一次，并且起点和终点相同，那么这个图就包含欧拉图。为了验证这一点，我们从顶点“A”开始，然后依次前往顶点 G、C、B、G、E、D、F 和 A。因此，该图满足欧拉图的性质。因此，该图是欧拉图，如下所示

欧拉图 = AGCBGEDFA

示例 2

这个图包含一个图，我们需要找到这个图的欧拉图。

解答：此示例包含一个连通图。顶点 A 和 B 的度数是 3，顶点 C 和 E 的度数是 2，顶点 D 的度数是 4。因此，并非所有顶点的度数都是偶数。我们还将通过另一种方式进行检查，即图必须包含欧拉回路。

该图不包含欧拉图，因为我们只能覆盖路径 ACDABDEB。在此路径中，起点和终点不相同。因此，该图不满足欧拉图的性质。因此，该图不是欧拉图。

示例 3

这个图包含一个图，我们需要找到这个图的欧拉图。

解答：此示例包含一个连通图。顶点 A、B、C、D、H 和 G 的度数是 2，顶点 E 和 F 的度数是 4。该图还包含欧拉回路，即 AEDCFGEHFBA。因此，该图满足欧拉图的性质。因此，该图是欧拉图，如下所示

欧拉图：AEDCFGEHFBA

欧拉通路

欧拉路径也可以称为其他不同的名称，即欧拉迹或欧拉行走。我们可以通过多种方式理解欧拉路径，如下所示

如果一个图是连通图，并且存在一条只访问图的所有**边**一次的**迹**，则该图称为**欧拉迹**。在欧拉路径的情况下，起点和终点必须不相同。
如果一个图是连通图，并且存在一条只访问图的所有**边**一次的**行走**，则该图称为**欧拉行走**。在欧拉行走的情况下，顶点可以重复。

可以通过以下三点来理解欧拉路径，如下所示

欧拉路径的所有边都只访问一次。
欧拉路径的起点和终点必须不相同。
顶点可以重复，也可以不重复。

注意：如果一个图最多有两个奇度顶点，则称该图为欧拉路径。

欧拉路径示例

欧拉路径包含许多示例，其中一些示例描述如下

示例 1

这个图包含一个图，我们需要找到这个图的欧拉路径。

解答：众所周知，如果一个图的所有边都只访问一次，并且顶点可以重复也可以不重复，那么它就包含欧拉路径。为了验证这一点，我们从顶点“A”开始，然后前往顶点 B、E、C、D、A 和 E。在此路径中，所有边都被访问过，并且没有重复的边。因此，该图满足欧拉路径的性质。因此，该图有一个欧拉路径，如下所示

欧拉路径：ABECDAE

现在，我们还检查最多两个顶点具有奇数度。顶点 B、C 和 D 的度数是 2，顶点 A 和 E 的度数是 3。因此，该图最多包含 2 个奇度顶点，这满足了欧拉路径的性质。因此，该图有一个欧拉路径。

示例 2

这个图包含一个图，我们需要找到这个图的欧拉路径。

解答：众所周知，如果一个图的所有边都只访问一次，那么它就包含欧拉路径。这里我们有一个连通图。为了验证这一点，我们从顶点“A”开始，然后前往顶点 D、E、A、B、C、E、F 和 C。在此路径中，所有边都被访问过，并且没有重复的边。因此，该图满足欧拉路径的性质。因此，该图有一个欧拉路径，如下所示

欧拉路径：ADEABCEFC

现在，我们还检查最多两个顶点具有奇数度。顶点 B、D 和 F 的度数是 2，顶点 E 的度数是 4，顶点 A 和 C 的度数是 3。因此，该图最多包含 2 个奇度顶点，这满足了欧拉路径的性质。因此，该图有一个欧拉路径。

示例 3

这个图包含一个图，我们需要找到这个图的欧拉路径。

解答：众所周知，如果一个图的所有边都只访问一次，那么它就包含欧拉路径。为了验证这一点，我们从顶点“A”开始，然后前往顶点 D 和 B。在此序列中，并非所有边都已被访问。边 DC 仍然存在。因此，该图不满足欧拉路径的性质。

现在，我们还检查最多两个顶点具有奇数度。顶点 A、B 和 C 的度数是 1，顶点 D 的度数是 3。因此，所有四个顶点都具有奇数度，这违反了欧拉路径的性质。因此，该图没有欧拉路径。

示例 4

这个图包含一个图，我们需要找到这个图的欧拉路径。

解答：众所周知，如果一个图的所有边都只访问一次，那么它就包含欧拉路径。这里我们有一个连通图。为了验证这一点，我们从顶点“A”开始，然后前往顶点 B、E、D、A、C 和 B。在此路径中，并非所有边都已被访问。边 DF 仍然存在。因此，该图不满足欧拉路径的性质。因此，该图没有欧拉路径。

现在，我们还检查最多两个顶点具有奇数度。顶点 C 和 E 的度数是 2，顶点 F 的度数是 1，顶点 A、B 和 D 的度数是 3。因此，一个以上的顶点具有奇数度，这违反了欧拉路径的性质。因此，该图没有欧拉路径。

示例 5

这个图包含一个图，我们需要找到这个图的欧拉路径。

解答：众所周知，如果一个图的所有边都只访问一次，并且顶点可以重复也可以不重复，那么它就包含欧拉路径。为了验证这一点，我们从顶点“A”开始，然后前往顶点 C、D、E、B、D、A 和 B。在此路径中，所有边都被访问过，并且没有重复的边。因此，该图满足欧拉路径的性质。因此，该图有一个欧拉路径，如下所示

欧拉路径：ACDEBDAB

现在，我们还检查最多两个顶点具有奇数度。顶点 A 和 B 的度数是 3，顶点 C 和 E 的度数是 2，顶点 D 的度数是 4。因此，该图最多包含 2 个奇度顶点，这满足了欧拉路径的性质。因此，该图有一个欧拉路径。

欧拉回路

欧拉路径也可以称为其他不同的名称，即欧拉迹或欧拉行走。欧拉回路有多种定义，描述如下

如果一个图是连通图，并且包含一条访问了**所有边**的**回路**，那么这个图就称为**欧拉回路**。
如果一个图是连通图，并且包含一条只访问**所有边**一次的**行走**，并且这条行走的**起点和终点相同**，那么这个图就称为**欧拉回路**。在欧拉回路的情况下，顶点可以重复。
如果一个图包含一条从同一顶点开始和结束的欧拉迹，则称该图为**欧拉回路**。换句话说，如果存在封闭的欧拉迹，则称为欧拉回路。

可以通过以下三点来理解欧拉回路，如下所示

欧拉回路的所有边都只访问一次。
欧拉回路的起点和终点必须相同。
顶点可以重复，也可以不重复。

注意：如果一个图的所有顶点的度数都是偶数，则称该图为欧拉回路。

欧拉回路示例

欧拉回路包含许多示例，其中一些示例描述如下

示例 1

这个图包含一个图，我们需要找到这个图的欧拉回路。

解答：众所周知，如果一个图的所有顶点的度数都是偶数，那么它就包含欧拉回路。顶点 A、B、E 和 D 的度数是 2，顶点 C 的度数是 4。因此，所有顶点的度数都是偶数，这满足了欧拉回路的性质。

现在，我们还检查所有边是否都只访问了一次。为此，我们从顶点“B”开始，然后前往顶点 A、C、E、D、C 和 B。在此路径中，所有边都被访问过，并且没有重复的边，并且起点和终点相同。因此，该图满足欧拉回路的性质。因此，该图有一个欧拉回路，如下所示

欧拉回路：BACEDCB

示例 2

这个图包含一个图，我们需要找到这个图的欧拉回路。

解答：众所周知，如果一个图的所有顶点的度数都是偶数，那么它就包含欧拉回路。顶点 A、B、D、E 和 H 的度数是 2，顶点 C、F 和 G 的度数是 4。因此，该图的所有顶点的度数都是偶数，这满足了欧拉回路的性质。

现在，我们还检查所有边是否都只访问了一次。为此，我们从顶点“A”开始，然后前往顶点 F、D、E、G、H、C、G、F、C、B 和 A。在此路径中，所有边都只访问了一次，并且起点和终点相同。因此，该图满足欧拉路径的性质。因此，该图有一个欧拉回路，如下所示

欧拉回路：AFDEGHCGFCBA

示例 3

这个图包含一个图，我们需要找到这个图的欧拉回路。

解答：众所周知，如果一个图的所有顶点的度数都是偶数，那么它就包含欧拉回路。顶点 B 和 D 的度数是 3，顶点 C 和 A 的度数是 2。因此，该图的所有顶点的度数都不是偶数，这违反了欧拉回路的性质。

现在，我们还检查所有边是否都只访问了一次。为此，我们从顶点“A”开始，然后前往顶点 B、C、D 和 B。在此路径中，有一条边未被覆盖，即 AD。因此，该图违反了欧拉路径的性质。因此，该图没有欧拉回路。

示例 4

这个图包含一个图，我们需要找到这个图的欧拉回路。

解答：众所周知，如果一个图的所有顶点的度数都是偶数，那么它就包含欧拉回路。顶点 A 和 D 的度数是 2，顶点 C 和 B 的度数是 3。因此，该图的所有顶点的度数都不是偶数，这违反了欧拉回路的性质。

现在，我们还检查所有边是否都只访问了一次。为此，我们从顶点“C”开始，然后前往顶点 D、B、C、A 和 B。在此路径中，所有边都只访问了一次，但起点和终点不相同。因此，该图违反了欧拉回路的性质。因此，该图没有欧拉回路。

示例 5

这个图包含一个图，我们需要找到这个图的欧拉回路。

解答：众所周知，如果一个图的所有顶点的度数都是偶数，那么它就包含欧拉回路。顶点 A、B、D、E 和 F 的度数是 2，顶点 C 的度数是 4。因此，该图的所有顶点的度数都是偶数，这满足了欧拉回路的性质。

现在，我们还检查所有边是否都只访问了一次。为此，我们从顶点“A”开始，然后前往顶点 B、C、E、F、C、D 和 A。在此路径中，所有边都只访问了一次，并且起点和终点相同。因此，该图满足欧拉回路的性质。因此，该图有一个欧拉回路，如下所示

欧拉回路：ABCEFCDA

半欧拉图

如果一个连通图包含欧拉迹但不能包含欧拉回路，则称为**半欧拉图**。可以通过以下三点来理解半欧拉图，如下所示

必须是连通图
图中必须存在欧拉迹

注意：如果一个图的前两个顶点（此处原文可能误译，应为“所有顶点度数为偶数或恰有两个奇数度顶点”）具有奇数阶（度），则称该图为半欧拉图。更准确地说，如果一个连通图恰有两个奇度顶点，则它是半欧拉图。

半欧拉图示例

欧拉回路包含许多示例，其中一些示例描述如下

示例 1

这个图包含一个图，我们需要找到这个图的半欧拉图。

解答：众所周知，如果一个图的所有边都只访问一次，或者它包含欧拉迹，那么它就包含半欧拉图。这里我们有一个连通图。为了验证这一点，我们从顶点“B”开始，然后前往顶点 C、D、B、A 和 D。在此路径中，所有边都被访问过。因此，该图满足半欧拉图的性质。因此，该图是半欧拉图，如下所示

半欧拉图：BCDBAD

示例 2

这个图包含一个图，我们需要找到这个图的半欧拉图。

解答：众所周知，如果一个图的所有边都只访问一次，或者它包含欧拉迹，那么它就包含半欧拉图。这里我们有一个连通图。为了验证这一点，我们从顶点“B”开始，然后前往顶点 A、F、D、C、E、D、B、F 和 E。在此路径中，并非所有边都已被访问。边 BC 仍然存在。因此，该图不满足半欧拉图的性质。因此，该图没有半欧拉图。

示例 3

在这个例子中，我们有一个图，我们需要检查这个图是否是半欧拉图。

解答：众所周知，如果一个图的所有边都只访问一次，或者它包含欧拉迹但不是欧拉回路，那么它就包含半欧拉图。这里我们有一个连通图。为了验证这一点，我们从顶点“A”开始，然后前往顶点 B、E、D、F、A、C、F、B、D 和 C。在此路径中，所有边都被访问过。因此，该图满足半欧拉图的性质。因此，该图是半欧拉图，如下所示

半欧拉图：ABEDFACFBDC

结论

在学习了欧拉图之后，我们得出了一些有助于理解欧拉图概念的要点。这些要点如下所示

可以通过两种方式确定给定的图是否为**欧拉图**，这些方法如下所示
- 如果一个连通图包含欧拉回路，则该图是欧拉图。
- 如果一个图的所有顶点的度数都是偶数，则该图是欧拉图。
可以通过以下几点来确定给定的图是否为**欧拉回路**，这些要点如下所示
- 对于欧拉回路，给定图的所有顶点的度数都必须是偶数。
- 如果顶点的度数是偶数，则该图是欧拉图。如果度数不是偶数，则不是欧拉图。
可以通过以下几点来确定给定的图是否为**半欧拉图**，这些要点如下所示
- 对于半欧拉图，图必须是连通的并且包含欧拉迹。
- 如果图是连通的并且具有欧拉迹，那么它就是一个半欧拉图。如果它不具备这些性质，则不是半欧拉图。
可以通过以下几点来确定给定的图是否为**欧拉迹**，这些要点如下所示
- 对于欧拉迹，具有奇数度的顶点的数量不得超过 2。
- 如果具有奇数度的顶点最多为 2，则该图是欧拉迹。如果奇度顶点超过 2 个，则不是欧拉迹。
欧拉回路的一些要点
- 如果图中存在欧拉回路，那么它也必须存在欧拉迹。
- 如果图中存在欧拉迹，那么它可能存在欧拉回路，也可能不存在。
欧拉图的一些要点
- 如果一个图是欧拉图，那么它也必须包含一个半欧拉图。
- 如果一个图是半欧拉图，那么它可能包含欧拉图，也可能不包含。

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