图论中的欧拉公式

要学习欧拉公式，我们首先需要了解平面图以及图的面。之后，我们才能理解欧拉图。

平面图

平面图是一种特殊的图，它与任何能在平坦纸上绘制的图一样，但图中的任意两条边都不应该相互交叉。平面图也称为平面嵌入图。平面图之所以有趣，是因为有些图看起来不是平面的，但可以重新绘制而不交叉边。这种结构在很多情况下都会出现。这些情况可以用于设计网络，以便我们能够通过网格来模拟移动，或者绘制城镇街道图。

我们可以通过一个例子来理解这一点，左侧的图像是一个道路地图，右侧的图像是转换为平面图。我们在右侧图像中将交叉点的顶点和连接交叉点的长路边进行替换。

如果道路（边）相互交叉，则该图称为非平面图。在上图中，我们可以看到道路只在交叉点处相遇。在这种情况下，该图称为平面图。

平面图的例子

平面图有很多例子，其中一些如下所示

示例 1

在这里，我们绘制了一个包含4个顶点和6条边的平面图。

解决方案

在上图中，我们以一种任何两条边都不交叉的方式绘制了一个包含4个顶点和6条边的图。因此，上图是平面图。

示例 2

这个例子包含一个图，我们需要检查它是否是平面图。

解答：在上图中，我们有一个包含8个顶点和12条边的图，它们的排列方式是任意两条边都不相互交叉。因此，该图是平面图。

示例 3

这个例子包含一个图，我们需要检查它是否是平面图。

解答：在上图中，我们有一个包含6个顶点和9条边的图，但图的边相互交叉。我们无法将其绘制成边不交叉的方式。因此，该图不是平面图。

示例 4

这个例子包含一个图，我们需要检查它是否是平面图。

解答：这个图看起来不像平面图，因为它的边相互交叉，但这个图可以是平面图。有可能将这个图绘制成边不相互交叉的方式。该图的平面表示可以在下图显示

该图的排列方式是边不相互交叉。因此，该图是平面图。

示例 5

这个例子包含两个图，我们需要检查它们是否是平面图。

解答：这里我们有两个图。我们假设左边的图是G1，右边的图是G2。图G1不包含任何相互交叉的边。所以，这个图是平面图。但在图G2中，边相互交叉，并且无法使其成为平面图。因此，这个图不是平面图。所以，G1是平面图，G2不是平面图。

图的面

如果我们有一个平面图，那么该图的顶点和边会将平面分成若干个区域，这些区域可以称为面。图的每个面都包含内面和外面。平面图必须有一个外面和任意数量的内面。外面可以描述为平面图之外的无界区域。我们可以通过下图来理解外面和内面。

图的每个面都有一个度，我们有几种方法来找到它，如下所述：

• 可以通过找到包围该面的边数来计算内面的度。
• 可以通过找到暴露于该面的边数来计算外面的度。

我们可以通过一个例子来理解这一点，在这个例子中，我们有一个显示平面图面的块的类似物，如下所示：

上图的面清晰地标有a到i，其中包含内面和外面。内面是严格在内部的面，从面a到面h表示。外面用于包含图之外的其余平面，由面i表示。

面的例子

面有很多例子，其中一些如下所示：

示例 1

这个例子包含一个图的平面表示，该图包含2个区域或面。在这里，我们需要找到每个区域的度。

解答：上述平面图可以分为两个区域，即R1和R2。我们可以通过以下方式找到两个区域的度：

Deg(R1) = 4

Deg(R2) = 4

示例 2

这个例子包含一个图的平面表示，该图包含6个区域。在这里，我们需要找到每个区域的度。

解答：上述平面图可以分为六个区域，即R1、R2、R3、R4、R5和R6。我们可以通过以下方式找到两个区域的度：

Deg(R1) = 3

Deg(R2) = 3

Deg(R3) = 3

Deg(R4) = 3

Deg(R5) = 3

Deg(R6) = 7

示例 3

这个例子包含一个图的平面表示，该图包含4个区域。在这里，我们需要找到每个区域的度。

解答：上述平面图可以分为四个区域，即R1、R2、R3和R4。我们可以通过以下方式找到两个区域的度：

Deg(R1) = 4

Deg(R2) = 4

Deg(R3) = 3

Deg(R4) = 3

示例 4

这个例子包含两个图的平面表示。在这里，我们需要找到图中面的数量。

解答：在上面的图中，我们有两个图的平面绘图。在图G1中，我们共有5个区域（4个有界区域和1个无界区域）。在图G2中，我们共有4个区域（3个有界区域和1个无界区域）。

欧拉定理

瑞士伟大的数学家和医生莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在许多领域都提出了许多开创性的思想和理论。其中最受欢迎和最有用的领域是图论。欧拉是图论之父，该定理以他的名字命名。

欧拉创造了一个与平面图的顶点、面和边相关的公式。根据这个公式，当我们加顶点和面并减去边时，在任何平面图中总是得到2。换句话说，欧拉定理用于表示图的边数、顶点数和面数之间的关系，如下所示：

v - e + f = 2

这里，e表示边的数量，v表示顶点的数量，f表示面的数量。

上述关系总是成立的。无论我们如何绘制平面图，只要图的两条边不相互交叉，就可以移动图的边或顶点。我们只能在是平面图的情况下使用欧拉公式。我们可以通过下面的例子来理解它：

这是一个立方体，包含8个顶点，12条边和6个面。当我们从上述图中减去顶点数和边数并加上面数时，我们得到立方体的值如下：

V = 8

E = 12

F = 6

现在我们将所有这些值代入欧拉公式并按如下方式检查此公式：

V - E + F = 8 - 12 + 6 = 2

所以，这个值等于2，满足欧拉公式。

多面体的欧拉公式

多面体可以描述为三维实心形状，具有平面表面和直线边缘。欧拉公式的例子包括棱锥、长方体、立方体和棱柱。如果我们有一个不自相交的多面体，那么顶点、边和面的数量之间就存在一种特定的关系。

对于多面体，欧拉公式用于表示边、顶点和面之间的关系。根据该公式，面数和顶点数之和比边数多2，如下所示：

F + V = 2 + E 或 F + V - E = 2

证明

如果我们画点和线，就可以创建一个图。如果我们有一个图，其中没有任何线和边交叉，那么这种图就是平面图。如果我们想以平面图的形式表示一个立方体，那么我们需要将边和顶点绘制在平面上。因此，基于欧拉公式，我们可以说，点数 - 线数 + 平面被分割成的区域数等于2。

公用设施问题的解决方案

我们可以通过公用设施问题来证明欧拉公式。共有三个房屋（H1、H2和H3），需要为3种公用设施（即水（W）、燃气（G）和电力（E））连接。所有这些房屋和公用设施都必须以任何管道不得交叉其他管道的方式连接。

如果我们想在平面图中得到一个完整的循环，并且不发生任何交叉，那么我们就必须移除一条边，以便创建一个树。因此，面和边会减少一个，并产生一个关系，即顶点 - 边 + 面 = 常数。

这个移除过程会一直重复，直到剩余的图变成一棵树。最后，我们将得到一个关系，即顶点 + 面 - 边 = 2，这就是欧拉公式。我们可以通过下面的公用设施图并像这样对该图应用欧拉公式来理解这一点：

我们可以证明，使用欧拉公式对上述图进行验证，无法以边不相互交叉的方式表示该图。该图有9条边和6个顶点。现在，我们通过验证欧拉公式来计算该图的面数，如下所示：

F + V - E = 2

F + 6 - 9 = 2

F = 5

所以，该图的面数为5。

现在我们绘制一个图，其中每个面都有4条边将其包围，如下所示：

在上图中，我们注意到需要10条边，但在公用设施图中，我们只有9条边。由于这种收缩，我们得到了欧拉公式的证明。当我们把这个二维平面图膨胀成一个实心体时，图就变成了一个八面体。在八面体中，我们有12条边，8个面和6个顶点。

所以，所需的顶点数是10，我们拥有的顶点数是12。因此，通过使用欧拉连接，我们证明了无法实现公用设施连接。

面 + 顶点 - 边 = 8 + 6 - 12 = 2

欧拉公式的用途

F + V - E 的值可以等于2或1，也可以包含其他值。因此，我们也可以将该公式写成更通用的形式，即F + V - E = X，其中X用于表示欧拉示性数。欧拉公式不仅用于研究多面体，还可用于了解任何三维空间。

通过该公式，共有5种正多面体。该公式可用于验证我们是否拥有一个具有17个顶点和10个面的简单多面体。如果一个棱柱以八边形为底，它将有10个面，但有16个顶点。

验证固体欧拉公式

复杂的正多面体和实心形状是欧拉公式的例子。在这里，我们将使用一些简单的多面体（例如三角棱柱和方棱柱）来尝试验证此公式。

如果有一个正四棱锥，那么它必须有5个顶点，8条边和5个面。所以，

F + V - E = 5 + 5 - 8 = 2

如果有一个三角棱柱，那么它必须有6个顶点，9条边和5个面。所以，

F + V - E = 5 + 6 - 9 = 2

欧拉公式的解释

可以证明欧拉公式适用于5种柏拉图立体：四面体、十二面体、立方体、八面体和二十面体。它们也称为欧拉公式的例子。现在，我们用欧拉公式来验证所有这些复杂的立体。

如果有一个立方体，那么它包含8个顶点，12条边和6个面。所以，

F + V - E = 6 + 8 - 12 = 2

如果有一个四面体，那么它包含4个顶点，6条边和4个面。所以，

F + V - E = 4 + 4 - 6 = 2

如果有一个八面体，那么它必须有6个顶点，12条边和8个面。所以，

F + V - E = 8 + 6 - 12 = 2

如果有一个十二面体，那么它必须有20个顶点，30条边和12个面。所以，

F + V - E = 12 + 20 - 30 = 2

如果有一个二十面体，那么它必须有12个顶点，30条边和20个面。所以，

F + V - E = 20 + 12 - 30 = 2

我们也可以以表格形式显示，如下所示：

欧拉定理的例子

欧拉定理有很多例子，其中一些如下所示：

示例 1

假设有一个图，其中我们有10个顶点和40条边。在这里，我们需要找到图中面的数量。

解答：我们可以用欧拉公式找到面的数量，如下所示：

V + F - E = 2

10 + F - 40 = 2

F - 30 = 2

F = 32

因此，该图的面数为32。

示例 2

这个例子包含一个五棱柱，我们必须检查它是否满足欧拉公式。

解答：在上面的五棱柱中，我们有10个顶点，15条边和7个面。所以，

V = 10

E = 15

F = 7

现在我们将所有这些值代入欧拉公式并按如下方式检查此公式：

V - E + F = 10 - 15 + 7 = 2

所以，五棱柱 = 2。

示例 3

假设有一个图，其中我们有6个顶点和5个面。在这里，我们需要找到图中边的数量。

解答：我们可以用欧拉公式找到边的数量，如下所示：

V + F - E = 2

6 + 5 - E = 2

11 - E = 2

E = 9

因此，该图的边数为9。