图论中的握手引理

要理解握手定理，我们首先需要了解图论和图。只有这样，我们才能理解握手定理。

图论

图论可以被描述为数学的一个基本分支，它展示了对象之间的关系。图是由非空集合的边和顶点组成的集合。图也可以表示为点和线的图形表示。图的两条线通过点连接。图的顶点用点表示，图的边用线表示。

图可以表示为 G = (V, E)，其中顶点集用 V 表示，边集用 E 表示。图可以用来解决各种现实世界的问题。图论领域存在各种类型的图，即有向图、无向图、加权图、无权图等。但对于握手定理，我们只使用简单无向图。

在本节中，我们将学习握手定理、握手定理的证明、握手定理的应用、握手定理的变体、握手定理的例子等等。

握手引理

握手定理是图论中的一个基本原理。根据握手定理，如果一个无向图存在，那么所有顶点的度数之和等于图中边数的两倍。如果一个无向图有 E 条边和 n 个顶点，那么我们有一个公式可以用来表示握手定理。

此处，

• Deg(v) 表示顶点 v 的度数。
• E 表示与顶点关联的边数。
• '∑(deg(v))' 表示所有顶点的度数之和。

握手定理不仅用于为图论奠定坚实的基础，还可以用于解决许多图论主题。

握手定理的证明

上面我们学习了关于图的边数与图的顶点度数之和之间关系的公式，要证明握手定理，我们就需要证明这个公式。在这里，我们将以以下方式证明这个定理。

步骤 1：为此，我们假设一个具有一些顶点和边的无向图。这里，边用 E 表示，顶点用 n 表示。这里，我们也假设一些符号来表示图的顶点度数。因此，我们假设它们为 deg(v1), deg(v2), deg(v3), ..., deg(vn)。

步骤 2：在任何图中，每条边都有两个端点。因此，图中的每条边都包含两个顶点的度数。因此，图中的每条边对度数之和的贡献为两次。

步骤 3：在上式中，左侧的部分表示所有顶点的度数之和。我们可以用数学方式表示如下。

步骤 4：根据上述步骤，我们证明了度数之和是边数的两倍。因此，我们可以用以下方式替换 2*E 为 ∑(deg(v))。

步骤 5：通过上述公式，很容易看出无向图中所有顶点的度数之和与边数的两倍是相似的。因此，最后，表示边与顶点度数之和之间关系的公式如下所示。

因此，通过上述步骤，我们证明了握手定理。

握手定理的应用

握手定理有很多例子，其中一些例子如下所示。

1. 图分析：借助握手定理，可以轻松分析图。它可以用于深入了解图的结构，从而了解边和顶点的连接方式。如果我们计算度数之和，那么这些度数可以用来查找图的复杂性和关系。我们可以将图分析应用于许多现实世界的挑战，例如优化交通系统中的路线或查找社交网络中的模式。
2. 验证图的属性：借助握手定理，可以轻松验证图的基本属性。它用于显示图结构的连贯性。通过比较图的边数和顶点度数之和，可以发现分析中的错误或差异。
3. 欧拉公式：它可以被描述为图论的基石，它基于握手定理。借助握手定理的原理，可以应用欧拉公式来分析平面图。该公式主要用于平面图中，以显示图的顶点数、面数和边数之间的关系。
4. 算法设计：在计算机科学领域，算法设计是一个关键方面。借助握手定理，可以轻松设计算法。如果存在用于优化、图遍历或网络分析的算法，那么可以使用该引理来确保效率和正确性。

握手定理用于揭示图中边和顶点之间关系的根本见解。握手定理可用于指导各种任务的开发，例如生成树构建、查找最短路径和网络流优化。由于握手定理的这些特性，因此可以解决算法挑战。

握手定理的变体

在上述讨论中，我们证明了握手定理。因此，我们可以进一步学习握手定理的一些变体和扩展，如下所述。

1. 有向图：如上所述，握手定理只能用于无向图，但它有一个对应的有向图版本。如果我们有一个有向图，边必须包含两个度数，即入度和出度。我们可以通过计算进入顶点的边数来计算入度，通过计算离开顶点的边数来计算出度。

有向握手定理：如果我们有一个有向图，那么我们有一个公式可以用来表示有向握手定理，如下所示。

此处，

• Σ(in-degree(v)) 表示入度之和。
• Σ(out-degree(v)) 表示出度之和。
• E 表示图中的边数。

用途：如果我们处理边有特定方向的图的情况，我们应该理解握手定理是至关重要的。这些情况包括社交网络分析、网络或流问题。

2. 多重图

在图中有时可能存在同一对顶点之间有多条边的情况。这些类型的图称为多重图。因此，在多重图的情况下，该定理可以扩展到顶点之间的多条边。

多重图握手定理：如果我们有一个多重图，那么根据握手定理，所有顶点的度数之和是边数的两倍（这里我们也包括边的重数）。

用途：如果我们处理同一对实体之间有多个交互或关系的情况，那么这种扩展就很有用。

3. 加权图

如果图的每条边都关联着数值，那么这种图称为加权图。在现实世界中存在各种使用加权图的场景。加权图的值或边表示成本、距离或任何其他相关指标。

加权握手定理：如果我们有一个加权图，那么根据握手定理，所有顶点的度数之和是边数的两倍，但图中的每条边都是加权的，并且度数之和是根据这些权重计算的。

用途：如果我们处理需要分析具有加权连接的网络的情况，那么这种扩展就很有用，例如交通网络，其中边用于表示旅行时间或距离。

4. 二分图

二分图也可以称为一类特殊的图。二分图的顶点应划分为两个不相交的集合。在二分图中，一个集合中的每个顶点必须通过一条边连接到第二个集合中的任何一个顶点。同一集合中的顶点不能相互连接。因此，在该图中，可以将该定理扩展到两个集合中顶点的度数。

二分图握手定理：假设有一个二分图，其中我们有两个集合 X 和 Y。根据握手定理，第一个集合 X 中顶点度数之和与第二个集合 Y 中顶点度数之和是相似的，并且两个集合（X 和 Y）都必须与图的边数相似。

用途：如果我们处理两个不同实体集合之间存在关系的情况，那么这种扩展就很有用，例如网络流分析和匹配问题。

实际应用

一些现实世界的问题无法通过上述握手定理及其变体来解决。这些类型的现实世界应用可以包括

1. 交通网络：很容易将交通系统建模为图。交通网络包含多种交通方式，如公共交通、道路网络和航空运输。在这里，我们可以使用该定理及其加权扩展，以便执行各种任务，如查找旅行时间、优化路线和规划高效交通系统。
2. 社交网络分析：借助握手定理，可以轻松分析社交网络中个体之间的连接和关系。这些信息可用于深入了解影响力、社区检测和信息流。
3. 计算机网络：图论是计算机网络的重要方面。它可以用于理解许多主题，例如设计高效的数据传输协议以及网络拓扑和路由算法等许多其他主题。在这里，我们可以使用握手定理来确保数据顺畅地流经互联设备。
4. 生物网络：很容易将生物系统建模为图。这些网络可以是各种类型，例如基因调控网络等。借助图论，我们可以理解这些复杂生物系统的功能和结构，这可进一步用于生物信息学和药物发现。

关于握手定理的重要注意事项

在学习握手定理时，我们应该注意一些要点。这些要点如下。

• 有一种数学方法可以显示握手定理，如下所述。
  度数之和 = 2 * 边数
• 握手定理只能用于无向图，因为如果我们有一个有向图，那么用于计算度数和边的结构是不同的。
• 如果我们学习了握手定理，那么我们就可以轻松地理解网络的结构。我们还可以使用它来查找各种属性，即网络流和连通性。
• 握手定理可以在各种领域的实际应用中使用，例如社会学、计算机科学和生物学。在所有领域，图都用于模拟实体之间的关系。
• 有一些证明需要用到握手定理的一个事实。根据这个事实，如果我们计算具有奇度数的顶点的数量，我们总是会得到一个偶数。

握手定理的例子

握手定理包含各种例子。下面描述了一些例子。

示例 1

这个例子包含一个图，我们需要展示这个图的握手定理。

解决方案：握手定理给出了图的一个公式，如下所示。

所有顶点的度数之和 = 2 * 总边数

现在，我们用以下方法找到上述图中每个顶点的度数。

Deg(A) = 3

Deg(B) = 2

Deg(C) = 3

Deg(D) = 2

Deg(E) = 4

Deg(F) = 2

现在我们计算这些顶点所有度数的总和，如下所示。

3 + 2 + 3 + 2 + 4 + 2 = 16

我们知道 |E| = 8

顶点度数之和 = 2* E

度数之和 = 2* 8 = 16

因此，顶点度数之和等于边数的两倍，这证明了握手定理。

示例 2

在这个例子中，我们假设有一个派对，有 6 个人参加。在这次派对中，可以有两种情况。第一种情况是，有三个人互相认识，第二种情况是，有三个人不认识其他任何两个人。

解决方案：如果我们想找到这个问题的解决方案，那么我们就必须画一个图。在这个图中，派对中的每个人都用一个顶点来表示。如果相应的人相互认识，则图中的两个顶点通过实线连接；如果相应的人不认识，则两个顶点通过虚线连接。当我们这样画图时，我们总是会得到一个虚三角形或实三角形。

假设这个图中的一个顶点是 v。因此，该图恰好有五条边与 v 相连，这些边可以由虚线或实线表示。因此，根据问题，在第一种情况下，总共有三个人互相认识，所以至少有三条边必须是相同的类型。在这里，我们将假设该图包含三条实边，如下所示。

在图中，有三种情况。在第一种情况下，如果某些人对应顶点 w 和 x 并相互认识，那么就可以用顶点 v、w 和 x 形成一个实三角形。在第二种情况下，如果某些人对应顶点 x 和 y 并相互认识，那么就可以用顶点 x、y 和 v 形成一个实三角形。

在第三种情况下，如果某些人对应顶点 w 和 y 并相互认识，那么就可以用顶点 w、y 和 v 形成一个实三角形。因此，有三种不同的情况可以形成一个三角形，我们可以在下图中分别看到它们。

最后，我们展示了这种情况：如果对应顶点 w、x 和 y 的两个人互相认识，那么很容易用顶点 w、x 和 y 形成一个虚三角形，我们可以在下图中看到这一点。