三角学多选题

答案： (a) 1/√3

解释： 在这里，我们可以应用公式 -

cot A. cot B = 1 (当 A + B = 90⁰ 时)

= (cot 20⁰ . cot 70⁰) x (cot 10⁰ . cot 80⁰) x cot 60⁰

= 1 x 1 x 1/√3

= 1/√3

因此，cot 10⁰.cot 20⁰.cot 60⁰.cot 70⁰.cot 80⁰ 的正确值为 1/√3

答案： (b) 4³

解释： 已知 a sin 45⁰ = b cosec 30⁰

所以，a/b = cosec 30⁰/ sin 45⁰

a/b = 2/( 1/√2)

a/b = 2√2/1

a⁴/b⁴ = (2√2/1)⁴

a⁴/b⁴ = 64/1

或者，

a⁴/b⁴ = 4³

答案： (c) 2

解释： 已知 tan θ + cot θ = 2

将 θ = 45⁰ 代入，上述方程将得到满足，因为，

1 + 1 = 2

所以，θ = 45⁰，

= tan¹⁰⁰ 45⁰ + cot¹⁰⁰ 45⁰

= 1¹⁰⁰ + 1¹⁰⁰

= 2

答案： (c) 1 : √3

解释： 已知 α + β = 90⁰，且 α : β = 2 : 1

所以，我们可以说 2x + x = 90⁰

3x = 90⁰，由此得出

x = 30⁰

所以，α = 2x = 60

β = x = 30

cos α / cos β = cos 60⁰ / cos 30⁰

=> (1/2) / (√3/2)

或者，1/2 * 2/√3

= 1/√3

或者，cos α : cos β 的比为 1 : √3

答案： (c) 1/√3

解释： 已知 7 sin² θ + 3 cos² θ = 4

=> 7 sin² θ + 3 (1 - sin² θ) = 4

=> 7 sin² θ + 3 - 3sin² θ = 4

那么，4sin² θ = 1

或者，sin θ = 1/2

所以，θ = 30⁰

现在，将 θ = 30⁰ 代入 tan θ，我们将得到，

tan θ = 1/√3

备选方法

我们可以直接通过代入 θ 的值来验证方程。让我们代入 θ = 30⁰

7 sin² 30⁰ + 3 cos² 30⁰= 4

那么，7 * 1/4 + 3 * 3/4 = 4

所以，7/4 + 9/4 = 4

16/4 = 4

或者，4 = 4 (所以，它满足条件)

现在，tan 30⁰ = 1/√3

答案： (b) √2

解释： 已知 tan θ - cot θ = 0

让我们代入 θ = 45⁰ 以满足上述方程

tan 45⁰ - cot 45⁰ = 0

1 - 1 = 0 (方程用 θ = 45⁰ 满足)

现在，将 θ = 45⁰ 代入 sin θ + cos θ，我们将得到

= sin 45⁰ + cos 45⁰

= 1/√2 + 1/√2

= √2

答案： (a) 1

解释： 已知 4 cos² θ - 1 = 0

4 cos² θ = 1

cos² θ = 1/4

cos θ = 1/2

或者，θ = 60⁰

所以，tan (θ - 15⁰) = ?

=> tan (60⁰ - 15⁰)

= tan 45⁰

= 1

答案： (c) √3/2

解释： 已知 θ + φ = π/2

它可以写成 θ + φ = 90⁰ (因为 π = 180⁰) ……..(i)

sin θ = 1/2

或者，θ = 30⁰

将 θ = 30⁰ 代入方程 (i)，我们将得到，

30⁰ + φ = 90⁰

所以，φ = 60⁰

然后，sin φ = sin 60⁰ = √3/2

答案： (d) 2/3

解释： 已知 cos⁴ θ - sin⁴ θ = 2/3

现在，这里我们可以应用公式 -

a⁴ - b⁴ = (a² - b²) (a² + b²)

所以，(cos² θ - sin² θ) (cos² θ + sin² θ) = 2/3

所以，1 x (cos² θ - sin² θ) = 2/3 (因为 cos² θ + sin² θ = 1)

=> cos² θ - (1 - cos² θ) = 2/3 (因为 sin² θ = 1 - cos² θ)

所以，2cos² θ - 1 = 2/3

答案： (d) 2/3

解释： 已知 cos⁴ θ - sin⁴ θ = 2/3

现在，这里我们可以应用公式 -

a⁴ - b⁴ = (a² - b²) (a² + b²)

所以，(cos² θ - sin² θ) (cos² θ + sin² θ) = 2/3

所以，1 x (cos² θ - sin² θ) = 2/3 (因为 cos² θ + sin² θ = 1)

=> (1 - sin² θ) - sin² θ = 2/3

所以，1 - 2sin² θ = 2/3

答案： (a) tan θ + cot θ + 1

解释： tan θ/(1 - (1/tan θ) + (1/tan θ)/(1 - tan θ)

= tan² θ/ (tan θ - 1) - 1/tan θ(tan θ - 1)

= tan³ θ - 1/tan θ(tan θ - 1)

应用公式，a³- b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

= (tan θ - 1) (tan² θ + tan θ + 1) / tan θ(tan θ - 1)

= (tan² θ + tan θ + 1) / tan θ

从分子中提取 tan θ 作为公因数，我们将得到，

= tan θ + cot θ + 1

答案： (a) 2cosec θ

解释： 已知，sin θ/(1 + cos θ) + sin θ/(1 - cos θ)

= [sin θ (1 - cos θ) + sin θ (1 + cos θ)] / [(1 - cos θ) (1 + cos θ)]

= [sin θ - sin θ cos θ + sin θ + sin θ cos θ] / [1 - cos² θ]

= 2 sin θ / sin² θ

= 2 cosec θ

答案：(a) 2

解释： 已知，r sinθ = 1，和 r cosθ = √3

r sinθ / r cosθ = 1/√3

tanθ = 1/√3

或者 √3 tanθ = 1

所以，√3 tanθ + 1 = 1 + 1

= 2

答案： (b) -1

解释： (tan² θ - sec² θ)

= sin² θ/cos² θ - 1/cos² θ

= (sin² θ - 1) / cos² θ

= - cos² θ/cos² θ

= -1

答案： (a) √0.51

解释： 已知 sin θ = 0.7

我们知道，sin² θ + cos ² θ = 1

所以，(0.7)² + cos ² θ = 1

那么，0.49 + cos ² θ = 1

=> cos² θ = 1 - 0.49

cos θ = √0.51

答案： (b) 1/√3

解释： 已知 tan7θ.tan2θ = 1

我们知道，如果 tanA . tanB = 1，则 A + B = 90⁰

所以，7θ + 3θ = 90⁰

=> 9θ = 90⁰

或者，θ = 10⁰

现在，我们需要找到 tan3θ

所以，将 θ = 10⁰ 代入 tan3θ，我们将得到

tan 30⁰ = 1/√3

答案： (c) 5

解释： 3cos80⁰.cosec10⁰ + 2cos59⁰.cosec31⁰ = ?

根据恒等式，[如果 A + B = 90⁰，则 cosA.cosecB = 1]

所以，3cos80⁰.(1/sin10⁰) + 2cos59⁰.(1/sin31⁰)

= 3cos80⁰.(1/sin(90⁰ - 80⁰)) + 2cos59⁰.(1/sin(90⁰ - 59⁰))

=> 3cos80⁰/cos 80⁰) + 2cos59⁰/cos 59⁰ (因为 sin (90⁰ - θ) = cos θ)

= 3 + 2

= 5

答案： (b) 1/2

解释： 已知 sin (θ + 18⁰) = cos 60⁰

sin (θ + 18⁰) = cos (90⁰ - 30⁰)

所以，sin (θ + 18⁰) = sin30⁰

那么，θ = 30⁰ - 18⁰

θ = 12⁰

所以，cos5θ = cos 5 x 12⁰

= cos 60⁰

= 1/2

答案： (d) √5/2

解释： 根据三角恒等式，

1 + tan² A = sec² A

我们知道，sec A = 1/cos A

所以，sec A = 1/(2/3) = 3/2

那么，1 + tan² A = (3/2)² = 9/4

=> tan² A = 9/4 - 1

=> tan² A = 5/4

所以，tan A = √5/2

答案： (b) 1

解释： 问题是 (a + b)² 的形式

所以，应用恒等式，并展开给定方程后，我们将得到 -

=> sec² A sec² B + tan² A tan² B + 2 sec A sec B tan A tan B - sec² A tan² B - tan² A sec² B - 2 sec A tan B tan A sec B

=> 那么，sec² A [sec² B - tan² B] - tan² A [sec² B - tan² B]

所以，它将被写成 [sec² A - tan² A] [sec² B - tan² B]

= 1 x 1

= 1.

答案： (b) 1

解释： 问题是 (a - b)² 的形式

(a - b)² = a² + b² - 2ab

所以，应用恒等式，并展开给定方程后，我们将得到 -

=> cosec² A + sin² A - 2 cosec A sin A + sec² A + cos² A - 2 sec A cos A - cot² A - tan² A + 2 cot A tan A

使用三角恒等式求解后，我们将得到 -

=> (cosec² A - cot² A) + (sin² A + cos² A) + (sec² A - tan² A) -2

= 1 + 1 + 1 - 2

= 3 - 2

= 1

备选方法

(cosec A - sin A)² + (sec A - cos A)² - (cot A - tan A)²

我们可以通过代入 θ = 45⁰ 来直接求解

= (cosec 45⁰ - sin 45⁰)² + (sec 45⁰ - cos 45⁰)² - (cot 45⁰ - tan 45⁰)²

= (√2 - 1/√2)² + (√2 - 1/√2)² - (1 - 1)²

= 1/2 + 1/2 - 0

= 1

答案： (b) 7/12

解释： 已知 sec² θ + tan² θ = 7/12

现在，这里我们可以应用公式 -

a⁴ - b⁴ = (a² - b²) (a² + b²)

sec⁴ θ - tan⁴ θ = (sec² θ - tan² θ) (sec² θ + tan² θ)

= 1 x (sec² θ + tan² θ) {因为 1 + tan² θ = sec² θ}

= 1 x 7/12

= 7/12

答案： (c) 1

解释： cos² 20⁰ + cos² 70⁰

我们可以将 cos² 20⁰ 写成 cos² (90⁰ - 70⁰)

所以，cos² (90⁰ - 70⁰) + cos² 70⁰

= sin² 70⁰ + cos² 70⁰

= 1

答案： (a) 4/√3

解释： 已知 r cosθ = √3，且 r sinθ = 1

r cosθ / r sinθ = 1/√3

tanθ = tan 30⁰

或者，θ = 30⁰

代入 θ = 30⁰，我们将得到，

r sin 30⁰ = 1

r x ½ = 1

或者 r =2

现在，r² tanθ = ?

= (2)² tan 30⁰

= 4 x 1/√3

= 4/√3

答案： (c) -2

解释： 我们可以通过代入 θ = 45⁰ 来求解

代入 θ = 45⁰，我们将得到 -

= tan² 45⁰ + cot² 45⁰ - sec² 45⁰ cosec² 45⁰

= 1 + 1 - (√2)² x (√2)²

= 2 - 4

= -2

答案： (b) 1

解释： 已知，tan² θ + tan⁴ θ = 1 …… (i)

从方程 (i) 得出，

tan² θ ( 1 + tan² θ ) = 1

tan² θ ( sec² θ ) = 1 [根据三角恒等式，sec² θ - tan² θ = 1]

tan² θ = 1/ sec² θ

tan² θ = cos² θ ……(ii)

现在，cos² θ + cos⁴ θ = ?

=> cos² θ + (cos²)² θ

=> tan² θ + (tan²)² θ

=> tan² θ + tan⁴ θ

= 1 {从方程 (i) 得出}

答案：(b) 0

解释： 已知，4 sin² θ = 3

或者，sin² θ = 3/4

或者，sin θ = √3/2

所以，θ = 60⁰

现在，tan θ - cot θ/2 = ?

代入 θ = 60⁰

= tan 60⁰ - cot 60⁰/2

= tan 60⁰ - cot 30⁰

= √3 - √3

= 0

答案： (c) 2

解释： 已知 sin A + cosec A = 2 ……(i)

代入 A = 90⁰，则上述条件将得到满足

sin 90⁰ + cosec 90⁰ = 2

或者，1 + 1 = 2 (由于方程得到满足，因此 A = 90⁰)

现在，sin⁷ A + cosec⁷ A = ?

=> sin⁷ 90⁰ + cosec⁷ 90⁰

=> 1⁷ + 1⁷

= 2

答案： (c) sin 60⁰

解释： tan 30⁰ = 1/√3

(2tan 30⁰) / (1 + tan² 30⁰) = ?

= (2 x 1/√3) / (1 + (1/√3)²)

= (2/√3) / (4/3)

= 6/4√3

= 或者 √3/2，它等于选项 C，即 sin60⁰。

答案： (c) 1 + √3

解释： 让我们看看这些值 -

sin 30⁰ = 1/2

cos 60⁰ = 1/2

sin 60⁰ = √3/2

cos 30⁰ = √3/2

所以，(1/2 + 1/2) - (√3/2 + √3/2)

= 1 - 2√3/2

或者，1 - √3

答案： (a) 1

解释： 已知，1 + cos² θ = 3 cos θ.sin θ

两边除以 sin² θ，我们将得到

1+cos² θ / sin² θ = 3 cos θ.sin θ/sin² θ

cosec² θ + cot² θ = 3 cot θ

=> 1 + cot² θ + cot² θ = 3 cot θ [因为 1 + cot² θ = cosec² θ]

=> 1 + 2cot² θ = 3 cot θ

=> 2 cot² θ = 3 cot θ - 1

让我们尝试代入 θ = 45⁰

=> 2cot² 45⁰ - 3 cot 45⁰ + 1 = 0

=> 2 -3 + 1 = 0

=> 0 = 0 (满足)

所以，θ = 45⁰

cot θ = cot 45⁰

= 1

答案： (d) 3

解释： 已知，tan θ = 4/3

=> sin θ / cos θ = 4/3

所以 sin θ = 4，cos θ = 3

现在，将 sin θ 和 cos θ 的值代入 (3 sin θ + 2 cos θ) / (3 sin θ - 2 cos θ)，我们将得到 -

= 3x4 + 2x3/ 3x4 - 2x3

= 18/6

= 3

答案： (a) 14

解释： tan 15⁰ cot 75⁰ + tan 75⁰ cot 15⁰ = ?

tan 15⁰ cot (90⁰ - 15⁰) + tan (90⁰ - 15⁰) cot 15⁰ [因为 cot (90⁰ - θ) = tan θ，且 tan (90⁰ - θ) = cot θ]

= tan² 15⁰ + cot² 15⁰ ……..(i)

cot 15⁰ = 1/tan 15⁰

= 1 / 2-√3

= (1 / 2-√3) x (2+√3 / 2+√3)

所以，cot 15⁰ = 2 + √3

所以，将 cot 15⁰ 和 tan 15⁰ 的值代入方程 (i)，我们将得到

= (2 - √3)² + (2 + √3)²

= 4 + 3 - 2√3 + 4 + 3 + 2√3

= 14

答案： (d) 2A = B

解释： 已知 A = tan 11⁰ . tan 29⁰，且 B = 2 cot 61⁰ . cot 79⁰

A / B = tan 11⁰ . tan 29⁰ / 2 cot 61⁰ . cot 79⁰

= [tan 11⁰ . tan 29⁰] / [2 cot (90⁰ - 29⁰) . cot (90⁰ - 11⁰)]

= tan 11⁰ . tan 29⁰ / 2 tan 11⁰ . tan 29⁰

= 1/2

所以，A/B = 1/2

或者，2A = B

答案： (a) 0

解释： 已知 sin θ x cos θ = 1/2

两边乘以 2，我们将得到 -

2 sin θ x cos θ = 1

sin 2θ = 1 (因为 sin 2θ = 2 sinθ cosθ)

所以，2θ = 90⁰

=> θ = 45⁰

因此，sin θ - cos θ = ?

=> sin 45⁰ - cos 45⁰

= 1/√2 - 1/√2

= 0

答案： (a) 3/4

解释： 已知 sin (θ + 30⁰) = 3/√12

它可以写成 sin (θ + 30⁰) = 3/2√3

或者，sin (θ + 30⁰) = √3/2

=> sin (θ + 30⁰) = sin 60⁰

=> θ + 30⁰ = 60⁰

=> θ = 30⁰

将 θ = 30⁰ 代入 cos² θ，我们将得到

cos² 30⁰ = (√3/2)²

= 3/4

答案： (b) 300

解释： 在这个例子中，我们可以通过代入选项中给出的值来找到 θ 的值。这是试错法。满足给定方程的值将被视为 θ 的值。

已知 4 cos²θ - 4√3 cos θ + 3 = 0

所以，在选项 A 中给出 θ = 60⁰，让我们代入看看方程是否满足 -

4 cos²60⁰ - 4√3 cos 60⁰ + 3 = 0

4 x (1/2)² - 4√3 x 1/2 + 3 = 0

=> 4/4 - 4/2√3 + 3 = 0

=> 4 - 4/2√3 = 0

=> 4(1 - 1/2√3) = 0 (不满足方程)

所以，在选项 B 中给出 θ = 30⁰，让我们代入看看方程是否满足 -

4 cos²30⁰ - 4√3 cos 30⁰ + 3 = 0

4 x (√3 /2)² - 4√3 x √3/2 + 3 = 0

=> 3 - 6 + 3 = 0

=> 6 - 6 = 0

=> 0 = 0 (方程满足)

所以，选项 B 是正确的，θ 的值为 30⁰。

答案： (c) 2

解释： cos² 55⁰ + cos² 35⁰ + sin² 65⁰ + sin² 25⁰

=> cos² (90⁰ - 35⁰) + cos² 35⁰ + sin² 65⁰ + sin² (90⁰ - 65⁰)

=> (sin² 35⁰ + cos² 35⁰) + (sin² 65⁰ + cos² 65⁰)

=> 1 + 1

= 2

答案： (c) q²/p²

解释： sec² 81⁰/ 1 + cot² 81⁰

= sec² 81⁰/ cosec² 81⁰

= (1/cos² 81⁰) / (1/sin² 81⁰)

= sin² 81⁰ / cos² 81⁰

= tan² 81⁰

= tan² (90⁰ - 9⁰)

= cot² 9⁰

= q² / p²

答案： (a) 4

解释： 已知 cot 45⁰.sec 60⁰ = A tan 30⁰.sin 60⁰

所以，1 x 2 = A 1/√3 x √3/2

=> 2 = A/2

所以，A = 4

答案： (c) 60⁰

解释： 已知 sec² θ + tan² θ = 7

=> 1 + tan² θ + tan² θ = 7

=> 2tan² θ + 1 = 7

=> 2tan² θ = 6

=> tan² θ = 3

=> tan θ = √3

或者 θ = 60⁰

我们也可以使用试错法来解决这个问题。我们可以直接检查选项中给出的 θ 值。满足给定条件的值将是 θ 的值。

答案： (a) 3

解释： (3 / 1+tan² θ) + 2 sin² θ + (1 / 1+cot² θ) = ?

根据三角恒等式，给定方程可以写成 -

= 3/sec² θ + 2 sin² θ + 1/cosec² θ

= 3cos² θ + 2 sin² θ + sin² θ

= 3cos² θ + 3sin² θ

= 3(cos² θ + sin² θ)

= 3

答案： (a) 0

解释： 已知 tan² A = 1 + 2tan² B

=> sec² A - 1 = 1 + 2 (sec² B - 1)

=> sec² A - 1 = 1 + 2 sec² B - 2

=> sec² A - 1 = 2 sec² B - 1

=> 1/cos² A = 2/cos² B

=> cos² B = 2cos² A

=> 或者，cos B = √2 cos A

=> 所以，√2 cos A - cos B = 0

答案： (a) 55/12

解释： 已知：(4 sec² 30⁰ + cos² 60⁰ - tan² 45⁰) / (sin² 30⁰ + cos² 30⁰)

我们需要代入数值，

= [4 (2/√3)² + (½)² - (1)²] / 1

=> sec² A - 1 = 1 + 2 (sec² B - 1)

=> sec² A - 1 = 1 + 2 sec² B - 2

=> sec² A - 1 = 2 sec² B - 1

=> 1/cos² A = 2/cos² B

=> cos² B = 2cos² A

=> 或者，cos B = √2 cos A

=> 所以，√2 cos A - cos B = 0

答案： (d) - 3/5

解释： 已知：tan A = 2

(cosec² A - sec² A) / (cosec² A + sec² A) = ?

将上述方程除以 cosec² A，我们将得到 -

= (1 - tan² A) / (1 + tan² A)

= (1 - 2²) / (1 + 2²) [因为 tan A = 2]

= - 3/5

答案： (c) 5

解释： (5 / sec² θ) + 3 sin² θ + (2 / 1+cot² θ) = ?

根据三角恒等式，给定方程可以写成 -

= 5cos² θ + 3 sin² θ + 2/cosec² θ

= 5cos² θ + 3 sin² θ + 2sin² θ

= 5cos² θ + 5sin² θ

= 5(cos² θ + sin² θ)

= 5

答案： (d) -4

解释： 5 tan² A - 5 sec² A + 1 = ?

= 5 (tan² A - sec² A) + 1

= 5 ((sin² A/cos² A) - (1/cos² A)) + 1

= 5((sin² A - 1) / cos² A) + 1

= 5(- cos² A / cos² A) + 1

= - 5 + 1

= - 4

答案： (c) 1

解释： tan 60⁰ = √3，cot 30⁰ = √3

所以，cot 30⁰/tan 60⁰ = √3 / √3

= 1

答案： (a) 2a/a² + 1

解释： 已知，tanP + secP = a ……(i)

我们知道三角恒等式，sec² P - tan² P = 1 {我们假设 θ = P}

所以，我们可以应用公式 a² - b² = (a - b) (a + b)

=> (sec P - tan P) (sec P + tan P) = 1

=> (sec P - tan P) x a = 1

=> sec P - tan P = 1/a ……..(ii)

所以，从方程 (i) 和 (ii) 中，我们将得到 -

2sec P = a + 1/a

sec P = a²+1 / 2a

所以，cos P = 2a / a²+1 [因为 sec P = 1/cosP]

答案： (b) √2 sin θ

解释： 已知，cos θ + sin θ = √2 cos θ ……..(i)

两边平方后，我们将得到，

(cos θ + sin θ)² = (√2 cos θ)²

=> cos² θ + sin² θ + 2 sin θ cos θ = 2 cos² θ

或者，2cos² θ - cos² θ - sin² θ = 2 sinθ cosθ

=> cos² θ - sin² θ = 2 sin θ cos θ

=> (cos θ + sin θ) (cos θ - sin θ) = 2 sin θ cos θ

=> (√2 cos θ) (cos θ - sin θ) = 2 sin θ cos θ [从方程 (i)]

=> (cos θ - sin θ) = 2 sinθ cosθ / √2 cos θ

= √2 sin θ