候选键

候选键是一个超键，它的任何真子集都不是超键。也就是说，如果 ABC 是一个候选键，那么 A、B、C 或它们的任何组合都不能是超键。因此，我们可以说候选键是 R（关系模式）的一个最小属性集，它能够唯一地标识表中的一个元组。

或

主键的候选者是一个候选键，例如，手机号、身份证号、学号都可以作为主键的候选者，因此它们都是候选键。

如何确定候选键

给定关系模式 R(X, Y, Z, W)，在以下问题中确定超键和候选键。

示例 1：给定 R( X Y Z W) 和函数依赖 FD= { XYZ → W, XY → ZW and X → YZW

步骤 1：让我们计算 XYZ+ 的闭包 = XYZW（根据我们之前学过的方法）

由于 XYZ 的闭包确定了表的所有属性，因此它是超键。

步骤 2：让我们计算 XY+ 的闭包 = XYZW（根据我们之前学过的方法）

由于 XY 的闭包确定了表的所有属性，因此它是超键。

步骤 3：让我们计算 X+ 的闭包 = XYZW（根据我们之前学过的方法）

由于 X 的闭包确定了表的所有属性，因此它是超键。

正如我们在上一步中讨论的，只讨论了超键，而没有讨论候选键。

让我们再次回顾候选键的定义（候选键是一个超键，它的任何真子集都不是超键）。

根据上述定义，XYZ 不是候选键，因为在步骤 2 和 3 中，我们发现 XY 和 X 也是超键（即 XYZ 的子集也是超键，这违反了定义）。

XY 不是候选键，因为在步骤 3 中，我们发现 X 也是超键（即 XY 的子集也是超键，这违反了定义）。

X 是候选键：因为 X 不能再细分，或者 X 不能有任何子集。

因此，XYZ、XY 和 X 都是超键，而只有 X 是候选键。

示例 2：给定 R( X Y Z W) 和函数依赖 FD= { XY → Z, Z → YW, and W → X }

步骤 1：让我们计算 XY+ 的闭包 = XYZW（根据我们之前学过的方法）

由于 XY 的闭包确定了表的所有属性，因此它是超键。

步骤 2：让我们计算 Z+ 的闭包 = ZYWX（根据我们之前学过的方法）

由于 Z 的闭包确定了表的所有属性，因此它是超键。

步骤 3：让我们计算 W+ 的闭包 = WX（根据我们之前学过的方法）

由于 X 的闭包没有确定表的所有属性，因此它不是超键，因为它不是超键，所以它永远不会是候选键。

正如我们在上一步中讨论的，只讨论了超键，而没有讨论候选键。

让我们再次回顾候选键的定义（候选键是一个超键，它的任何真子集都不是超键）。

根据上述定义，XY 是候选键，因为在步骤 2 和 3 中，XY 的任何子集（即 X 或 Y）都不是超键。

Z 是候选键：因为 Z 不能再细分，或者 Z 不能有任何子集。

因此，XY 和 Z 是超键，XY 和 Z 也是候选键。

示例 2：给定 R( X Y Z W) 和函数依赖 FD= { Y → XZW, XZW → Y }

步骤 1：让我们计算 Y+ 的闭包 = XYZW（根据我们之前学过的方法）

由于 Y 的闭包确定了表的所有属性，因此它是超键。

步骤 2：让我们计算 XZW+ 的闭包 = XZWY（根据我们之前学过的方法）

由于闭包确定了表的所有属性，因此它是超键。

正如我们在上一步中讨论的，只讨论了超键，而没有讨论候选键。

让我们再次回顾候选键的定义（候选键是一个超键，它的任何真子集都不是超键）。

根据上述定义，Y 是候选键，因为 Y 不能再细分，或者 Y 不能有任何子集。

XZW 是候选键：因为 XZW 的任何真子集都不是超键。

因此，Y 和 XZW 是超键，Y 和 XZW 也是候选键。

确定候选键的快捷方法

示例 1：给定 R(X, Y, Z, W) 和函数依赖集 FD = { X → Y, Y → Z, Z → X}。问题是使用给定的 FD 集计算上述关系 R 中的候选键和候选键的数量。

让我们使用 FD 在 R 上构建一个箭头图。

从上面的 R 箭头图可以看出，属性 W 没有被任何给定的 FD 确定，因此 W 将是候选键的组成部分，即无论候选键是什么，有多少个候选键，但所有候选键都必须包含 W。

让我们计算 W 的闭包。

W + = W（根据我们之前学过的方法）

由于 W 的闭包只包含 W，因此它不是候选键。

让我们检查 W 的组合，即 WX、WY、WZ。

a) W X + = W X Y Z（根据我们之前学过的方法）

由于 WX 的闭包包含 R 的所有属性，因此WX 是候选键。

b) W Y + = W Y Z X（根据我们之前学过的方法）

由于 WX 的闭包包含 R 的所有属性，因此WY 是候选键。

c) W Z + = W Z X Y（根据我们之前学过的方法）

由于 WX 的闭包包含 R 的所有属性，因此WZ 是候选键。

根据候选键的定义（候选键是一个超键，它的任何真子集都不是超键）。

我们可以说，WX、WY、WZ 的任何进一步组合，即 WXY、WXYZ、WYZ、WZX，都将是超键，但不是候选键。

因此，有三个候选键：WX、WY、WZ。

示例 2：给定 R(X, Y, Z, W) 和函数依赖集 FD = { XY → ZW, W → X}。问题是使用给定的 FD 集计算上述关系 R 中的候选键和候选键的数量。

让我们使用 FD 在 R 上构建一个箭头图。

从上面的 R 箭头图可以看出，属性 Y 没有被任何给定的 FD 确定，因此 Y 将是候选键的组成部分，即无论候选键是什么，有多少个候选键，但所有候选键都必须包含 Y。

让我们计算 Y 的闭包。

Y+ = Y（根据我们之前学过的方法）

由于 Y 的闭包只包含 Y，因此它不是候选键。

让我们检查 Y 的组合，即 YX、YW、YZ。

d) Y X + = Y X Z W（根据我们之前学过的方法）

由于 YX 的闭包包含 R 的所有属性，因此YX 是候选键。

e) Y W + = Y W X W（根据我们之前学过的方法）

由于 YW 的闭包包含 R 的所有属性，因此YW 是候选键。

f) Y Z + = Y Z（根据我们之前学过的方法）

由于 Y Z 的闭包只包含 Y Z，因此YZ 不是候选键。

根据候选键的定义（候选键是一个超键，它的任何真子集都不是超键）。

我们可以说，YX、YW 的任何进一步组合都将是超键，但不是候选键。

由于 Y Z 仍然不是候选键，让我们尝试它的组合。

Y Z W（不允许，因为 Y W 已经是候选键）

Y Z X（不允许，因为 YX 已经是候选键）

因此，YZ 的任何组合都不允许。

因此，有两个候选键：YX、YW。

示例 3：给定 R( P, Q, R, S, T, U) 和函数依赖集 FD = { PQ → R, R → S, Q → PT}。问题是使用给定的 FD 集计算上述关系 R 中的候选键和候选键的数量。

让我们使用 FD 在 R 上构建一个箭头图。

从上面的 R 箭头图可以看出，属性 QU 没有被任何给定的 FD 确定，因此 QU 将是候选键的组成部分，即无论候选键是什么，有多少个候选键，但所有候选键都必须包含 QU。

让我们使用 FD = { PQ → R, R → S, Q → PT} 计算 QU 的闭包。

QU+ = QUPTRS（根据我们之前学过的方法）

由于 QU 的闭包包含 R 的所有属性，因此它是QU 候选键。

根据候选键的定义（候选键是一个超键，它的任何真子集都不是超键）。

我们可以说，QU 的任何进一步组合，即 QUP、QUR、QUS、QUT 等。

将是超键，但不是候选键。

因此，只有一个候选键：QU。

示例 4：给定 R(A, B, C, D) 和函数依赖集 FD = { AB → CD, C → A, D → B}。问题是使用给定的 FD 集计算上述关系 R 中的候选键和候选键的数量。

让我们使用 FD 在 R 上构建一个箭头图。

从上面的 R 箭头图可以看出，R 中没有未确定的属性，即 R 中的所有属性都由其中一个 FD 确定。现在存在混淆，因为这个例子与前面三个例子完全不同。

因此，对于这类问题，我们首先检查所有属性的闭包，然后检查它们的组合，同时牢记候选键的定义。

让我们使用 FD = { AB → CD, C → A, D → B} 计算 A、B、C、D 的闭包。

1. A + = A（根据我们之前学过的方法）
   由于 A 的闭包只包含 A，因此它不是候选键。
2. B + = B（根据我们之前学过的方法）
   由于 B 的闭包只包含 B，因此它不是候选键。
3. C + = C A（根据我们之前学过的方法）
   由于 C 的闭包只包含 CA，因此它不是候选键。
4. D + = D B（根据我们之前学过的方法）
   由于 D 的闭包只包含 DB，因此它不是候选键。

由于以上都不是候选键，因此我们尝试 A、B、C 和 D 的组合，即（AB、AC、AD、BC、BD、CD）。

让我们使用 FD = { AB → CD, C → A, D → B} 计算 AB、AC、AD、BC、BD、CD 的闭包。

1. A B + = A B C D（根据我们之前学过的方法）
   由于 AB 的闭包只包含 R 的所有属性，因此 AB 是候选键。
2. A C + = A C（根据我们之前学过的方法）
   由于 AC 的闭包只包含 AC，因此它不是候选键。
3. A D+ = A D B C（根据我们之前学过的方法）
   由于 AD 的闭包只包含 R 的所有属性，因此 AD 是候选键。
4. B C + = B C A D（根据我们之前学过的方法）
   由于 BC 的闭包只包含 R 的所有属性，因此 BC 是候选键。
5. B D + = B D（根据我们之前学过的方法）
   由于 BD 的闭包只包含 BD，因此它不是候选键。
6. C D + = C D A B
   由于 CD 的闭包只包含 R 的所有属性，因此 CD 是候选键。

由于 AC 和 BD 是两个不能构成候选键的组合，因此让我们尝试它们的组合，同时记住，根据候选键的定义，该组合的任何真子集都不应是候选键。

AC 和 BD 的组合是 ACB、ACD、BDA 和 BDC，但不幸的是，所有组合的子集已经是候选键，因此任何组合（ACB、ACD、BDA 和 BDC）都不符合候选键的资格。

因此，有四个候选键：AB、AD、BC 和 CD。