关于 Boyce Codd 范式的问题

要解决 BCNF 相关问题，我们必须理解 BCNF 的定义

定义： 首先，它必须是 3NF。如果两个属性集 X 和 Y 之间存在非平凡依赖关系，即 X → Y (Y 不是 X 的子集)，那么

a) X 是超键

3NF 和 BCNF 之间的关系是

所有 BCNF 都是 3NF，但反之不一定成立。

问题： 给定关系 R(X, Y, Z) 和函数依赖集 FD = { XY → Z 和 Z → Y }，判断给定的 R 是否为 BCNF？如果不是，将其转换为 BCNF。

解决方案： 让我们使用 FD 在 R 上构建一个箭头图来计算候选键。

从 R 上的上述箭头图中，我们可以看到属性 X 不由任何给定的 FD 确定，因此 X 将是候选键的组成部分，即无论候选键是什么，有多少个候选键，所有候选键都将强制包含属性 X。

让我们计算 X 的闭包

X + = X（根据我们之前学过的闭包方法）

由于 X 的闭包只包含 X，因此它不是候选键。

让我们检查 Y 的组合，即 XY，XZ。

a) XY + = XYZ（根据我们之前学过的闭包方法）

由于 XY 的闭包包含 R 的所有属性，因此 XY 是候选键

b) XZ + = XZY（根据我们之前学过的闭包方法）

由于 XZ 的闭包包含 R 的所有属性，因此 XZ 是候选键

因此，有两个候选键 XY 和 XZ

由于 R 有 3 个属性：X、Y、Z，候选键是 XY 和 XZ，因此，主属性（候选键的一部分）是 X、Y 和 Z，而非主属性则没有。

使用 3NF 的定义来检查 R 是否为 3NF？： 首先，它应该是 2NF。如果两个属性集 X 和 Y 之间存在非平凡依赖关系，即 X → Y (Y 不是 X 的子集)，那么

a) X 是超键

b) 或者 Y 是主属性。

给定的 FD 是 XY → Z 和 Z → Y，超键/候选键是 XZ 和 XY

a) FD: XY → Z 满足 3NF 的定义，因为 XY 是超键，Z 也是主属性。

b) FD: Z → Y 满足 3NF 的定义，尽管 Z 不是超键，但 Y 是主属性。

由于 R 的两个 FD：XY → Z 和 Z → Y 都满足 3NF 的定义，因此 R 是 3NF。

使用 BCNF 的定义来检查 R 是否为 BCNF？： 首先，它应该是 3NF。如果两个属性集 X 和 Y 之间存在非平凡依赖关系，即 X → Y (Y 不是 X 的子集)，那么

a) X 是超键

给定的 FD 是 XY → Z 和 Z → Y，超键/候选键是 XZ 和 XY

b) FD: XY → Z 满足 BCNF 的定义，因为 XY 是超键。

c) FD: Z → Y 不满足 BCNF 的定义，因为 Z 不是超键。由于 R 的两个 FD：XY → Z 和 Z → Y 都满足 3NF 的定义，因此 R 是 3NF。

将表 R(X, Y, Z) 转换为 BCNF

由于 FD: Z → Y 导致我们的表不是 BCNF，让我们分解该表

FD: Z→ Y 造成了问题，因此创建一个表 R1(Z, Y)

为键 XY 创建表 R2(X, Y)，因为 XY 是候选键

为键 XZ 创建表 R2(X, Z)，因为 XZ 是候选键

注意：当我们有多个键（例如：XY 和 XZ）时，在分解时请记住将 R2 和 R3 与 R1 进行比较，以便在 R1 和 R2 或 R1 和 R3 之间至少有一个共同属性，并且该共同属性必须是任何一个表中的键。

考虑 R1(Z, Y) 和 R2(X, Y)，两个表有一个共同属性 Y，但 Y 不是 R1 和 R2 中任何一个表的键，因此我们舍弃 R2(X, Y)，即舍弃候选键 XY。

考虑 R1(Z, Y) 和 R3(X, Z)，两个表有一个共同属性 Z，并且 Z 是 R1 表的键，因此我们包含 R3(X, Z)，即包含候选键 XZ。

因此，分解后的表是 BCNF

R1(Z, Y)

R2(X, Z)

问题 2： 给定关系 R(X, Y, Z) 和函数依赖集 FD = { X → Y 和 Y → Z }，判断给定的 R 是否为 BCNF？如果不是，将其转换为 BCNF。

解：让我们使用FD在R上构建一个箭头图来计算候选键。

从 R 上的上述箭头图中，我们可以看到属性 X 不由任何给定的 FD 确定，因此 X 将是候选键的组成部分，即无论候选键是什么，有多少个候选键，所有候选键都将强制包含属性 X。

让我们计算 X 的闭包

X + = XYZ（根据我们之前学过的闭包方法）

由于 X 的闭包包含 R 的所有属性，因此 X 是候选键

根据候选键的定义（候选键是超键，其任何真子集都不是超键）

使用 BCNF 的定义来检查 R 是否为 BCNF？： 首先，它应该是 3NF。如果两个属性集 X 和 Y 之间存在非平凡依赖关系，即 X → Y (Y 不是 X 的子集)，那么

a) X 是超键

首先，我们检查表是否为 3NF？

使用 3NF 的定义来检查 R 是否为 3NF？： 如果两个属性集 X 和 Y 之间存在非平凡依赖关系，即 X → Y (Y 不是 X 的子集)，那么

a) X 是超键

b) 或者 Y 是主属性。

a) FD: X → Y 是 3NF (因为 X 是超键)

b) FD: Y → Z 不是 3NF (因为 Y 既不是键也不是 Z 的主属性)

因此，由于 Y → Z，根据 3NF 的定义 2，我们可以说上面的表 R 不是 3NF。

将表 R(X, Y, Z) 转换为 3NF

由于 FD: Y → Z 导致我们的表不是 3NF，让我们分解该表

FD: Y → Z 造成了问题，因此创建一个表 R1(Y, Z)

为键 X 创建一个表 R2(X, Y)，因为 X → Y

因此，分解后的表是 3NF

R1(X, Y)

R2(Y, Z)

R1(X, Y) 和 R2(Y, Z) 都是 BCNF

结论： 从以上三个例子我们可以得出结论，遵循以下步骤来检查给定的关系模式 R 是否为 3NF？如果不是，如何将其分解为 3NF。

步骤 1： 通过使用箭头图，然后使用属性在 R 上的闭包，计算给定 R 的候选键，以便从计算出的候选键中，我们可以分离出主属性和非主属性。

步骤 2： 验证每个 FD 是否符合 BCNF 的定义（首先它必须是 3NF。如果两个属性集 X 和 Y 之间存在非平凡依赖关系，即 X → Y (Y 不是 X 的子集)，那么 X 是超键）。

步骤 3： 形成一个不满足 BCNF 的 FD 集合，即所有那些 FD 的左侧属性不是超键。

步骤 4： 通过分解 R 将表 R 转换为 BCNF，使得每个基于 FD 的分解都满足 BCNF 的定义。

步骤 5： 完成基于 FD 的分解后，为候选键中的属性创建一个单独的表。

步骤 6： 从步骤 4 和步骤 5 获得的所有分解后的 R 构成所需的分解，其中每个分解都是 BCNF。