关于第三范式的问题

要解决 3NF 的问题，我们必须理解它的两个定义。

定义 1： 如果一个关系模式 R 首先在 2NF，并且没有非主属性传递依赖于表的键，则称 R 为 3NF。

如果存在 X → Y 和 Y → Z，则 X → Z 也存在，这是一个传递依赖，不应该成立。

定义 2： 首先，它应该在 2NF，并且如果两个属性集 X 和 Y 之间存在非平凡依赖，使得 X → Y（即 Y 不是 X 的子集），那么

1. X 是超键
2. 或者 Y 是主属性。

问题 1： 给定一个关系 R( X, Y, Z) 和函数依赖集 FD = { X → Y and Y → Z }，判断给定的 R 是否为 3NF？如果不是，则将其转换为 3 NF。

解：让我们使用FD在R上构建一个箭头图来计算候选键。

从上面 R 的箭头图可以看出，属性 X 不被任何给定的 FD 确定，因此 X 将是候选键的组成部分，即无论候选键是什么，有多少个候选键，它们都必然包含 X 属性。

我们计算 X 的闭包

X + = XYZ（根据我们之前学过的闭包方法）

由于 X 的闭包包含 R 的所有属性，因此 X 是候选键。

根据候选键的定义（候选键是超键，其任何真子集都不是超键）

由于所有键都将 X 作为组成部分，并且我们已经证明 X 是候选键，因此 X 的任何超集都将是超键，但不是候选键。

因此，只有 一个候选键 X。

3NF 定义： 如果一个关系模式 R 首先在 2NF，并且没有非主属性传递依赖于表的键，则称 R 为 3NF。

如果存在 X → Y 和 Y → Z，则 X → Z 也存在，这是一个传递依赖，不应该成立。

由于 R 有 3 个属性：X、Y、Z，候选键是 X。因此，主属性（候选键的一部分）是 X，而非主属性是 Y 和 Z。

给定的 FD 是 X → Y 和 Y → Z。

所以，我们可以写成 X → Z（这是一个传递依赖）。

在上面的 FD X → Z 中，非主属性 (Z) 传递依赖于表的键 (X)，因此根据 3NF 的定义，它不是 3 NF，因为非主属性不应该传递依赖于表的键。

现在检查上面的表是否在 2 NF。

1. FD: X → Y 在 2NF 中（因为键没有被破坏，并且它完全函数依赖）。
2. FD: Y → Z 也在 2NF 中（因为它不违反 2NF 的定义）。

因此，上面的表 R( X, Y, Z ) 是 2NF，但不是 3NF。

我们也可以从定义 2 来证明：首先，它应该在 2NF，并且如果存在非平凡依赖，使得 X → Y（即 Y 不是 X 的子集），那么

1. X 是超键
2. 或者 Y 是主属性。

由于我们刚刚证明了上面的表 R 是 2 NF。让我们使用定义 2 来检查它是否是 3NF。

1. FD: X → Y 在 3NF 中（因为 X 是超键）。
2. FD: Y → Z 不在 3NF 中（因为 Y 不是键，Z 也不是主属性）。

因此，由于 Y → Z，根据 3NF 的定义 2，我们可以说上面的表 R 不是 3NF。

将表 R( X, Y, Z) 转换为 3NF。

由于 FD: Y → Z，我们的表不是 3NF，让我们分解表。

FD: Y → Z 出现了问题，因此一个表 R1(Y, Z)。

为键 X 创建一个表，R2(X, Y)，因为 X → Y。

因此，分解后的表是 3NF：

R1(X, Y)

R2(Y, Z)

问题 2：给定一个关系 R( X, Y, Z, W, P) 和函数依赖集 FD = { X → Y, Y → P, and Z → W }，判断给定的 R 是否为 3NF？如果不是，则将其转换为 3 NF。

解：让我们使用FD在R上构建一个箭头图来计算候选键。

从上面 R 的箭头图可以看出，属性 XZ 不被任何给定的 FD 确定，因此 XZ 将是候选键的组成部分，即无论候选键是什么，有多少个候选键，它们都必然包含 XZ 属性。

我们计算 XZ 的闭包。

XZ + = XZYPW（根据我们之前学过的闭包方法）。

由于 XZ 的闭包包含 R 的所有属性，因此 XZ 是候选键。

根据候选键的定义（候选键是超键，它的任何真子集都不是超键）。

由于所有键都将 XZ 作为组成部分，并且我们已经证明 XZ 是候选键，因此 XZ 的任何超集都将是超键，但不是候选键。

因此，只有 一个候选键 XZ。

3NF 定义： 首先，它应该在 2NF，并且如果存在两个属性集 X 和 Y 之间的非平凡依赖，使得 X → Y（即 Y 不是 X 的子集），那么

1. X 是超键
2. 或者 Y 是主属性。

由于 R 有 5 个属性：X、Y、Z、W、P，候选键是 XZ。因此，主属性（候选键的一部分）是 X 和 Z，而非主属性是 Y、W 和 P。

给定的 FD 是 X → Y、Y → P 和 Z → W，超键/候选键是 XZ。

1. FD: X → Y 不满足 3NF 的定义，因为 X 不是超键，Y 也不是主属性。
2. FD: Y → P 不满足 3NF 的定义，因为 Y 不是超键，P 也不是主属性。
3. FD: Z → W 满足 3NF 的定义，因为 Z 不是超键，W 也不是主属性。

将表 R( X, Y, Z, W, P) 转换为 3NF。

由于所有 FD = { X → Y, Y → P, and Z → W } 都不在 3NF 中，让我们将 R 转换为 3NF。

R1(X, Y) {使用 FD X → Y}

R2(Y, P) {使用 FD Y → P}

R3(Z, W) {使用 FD Z → W}

并创建一个用于候选键 XZ 的表。

R4( X, Z) { 使用候选键 XZ }

所有分解后的表 R1、R2、R3 和 R4 都在 2NF（因为没有部分依赖）并且也在 3NF 中。

因此，分解后的表是：

R1(X, Y), R2(Y, P), R3( Z, W), 和 R4( X, Z)

问题 3：给定一个关系 R( P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y) 和函数依赖集 FD = { PQ → R, P → ST, Q → U, U → VW, and S → XY }，判断给定的 R 是否为 3NF？如果不是，则将其转换为 3 NF。

解：让我们使用FD在R上构建一个箭头图来计算候选键。

从上面 R 的箭头图可以看出，属性 PQ 不被任何给定的 FD 确定，因此 PQ 将是候选键的组成部分，即无论候选键是什么，有多少个候选键，它们都必然包含 PQ 属性。

我们计算 PQ 的闭包。

PQ + = P Q R S T U X Y V W（根据我们之前学过的闭包方法）。

由于 XZ 的闭包包含 R 的所有属性，因此 PQ 是候选键。

根据候选键的定义（候选键是超键，其任何真子集都不是超键）

由于所有键都将 PQ 作为组成部分，并且我们已经证明 XZ 是候选键，因此 PQ 的任何超集都将是超键，但不是候选键。

因此，只有 一个候选键 PQ。

3NF 定义： 首先，它应该在 2NF，并且如果存在两个属性集 X 和 Y 之间的非平凡依赖，使得 X → Y（即 Y 不是 X 的子集），那么

c) X 是超键

d) 或者 Y 是主属性。

由于 R 有 10 个属性：P、Q、R、S、T、U、V、W、X、Y、V、W，候选键是 PQ。因此，主属性（候选键的一部分）是 P 和 Q，而非主属性是 R S T U V W X Y V W。

给定的 FD 是 {PQ → R, P → ST, Q → U, U → VW and S → XY}，超键/候选键是 PQ。

1. FD: PQ → R 满足 3NF 的定义，因为 PQ 是超键。
2. FD: P → ST 不满足 3NF 的定义，因为 P 不是超键，ST 也不是主属性。
3. FD: Q → U 不满足 3NF 的定义，因为 Q 不是超键，U 也不是主属性。
4. FD: U → VW 不满足 3NF 的定义，因为 U 不是超键，VW 也不是主属性。
5. FD: S → XY 不满足 3NF 的定义，因为 S 不是超键，XY 也不是主属性。

将表 R( X, Y, Z, W, P) 转换为 3NF。

由于所有 FD = { P → ST, Q → U, U → VW, and S → XY } 都不在 3NF 中，让我们将 R 转换为 3NF。

R1(P, S, T) {使用 FD P → ST }

R2(Q, U) {使用 FD Q → U }

R3( U, V, W) { 使用 FD U → VW }

R4( S, X, Y) { 使用 FD S → XY }

R5( P, Q, R) { 使用 FD PQ → R，以及候选键 PQ }

所有分解后的表 R1、R2、R3、R4 和 R5 都在 2NF（因为没有部分依赖）并且也在 3NF 中。

因此，分解后的表是：

R1(P, S, T), R2(Q, U), R3(U, V, W), R4( S, X, Y), 和 R5( P, Q, R)

结论：从以上三个例子，我们可以得出以下步骤来检查给定的关系模式 R 是否为 3 NF？如果不是，如何将其分解为 3 NF。

步骤 1： 使用箭头图计算给定 R 的候选键，然后使用 R 上属性的闭包，以便从计算出的候选键中，我们可以区分主属性和非主属性。

步骤 2： 使用3NF 定义验证每个 FD（首先，它应该在 2NF，并且如果存在两个属性集 X 和 Y 之间的非平凡依赖，使得 X → Y（即 Y 不是 X 的子集），那么 X 是超键或 Y 是主属性）。

步骤 3： 制作一个不满足 3NF 的 FD 集合，即所有那些 FD，其 FD 左侧的属性不是超键，或者右侧的属性不是主属性。

步骤 4： 通过分解 R 将表 R 转换为 3NF，使得每次基于 FD 的分解都满足 3NF 的定义。

步骤 5： 完成基于 FD 的分解后，为候选键中的属性创建一个单独的表。

步骤 6： 从步骤 4 和步骤 5 获得的所有分解的 R 构成了所需的分解，其中每个分解都属于 3NF。