函数依赖的等价性

定义： 当一个函数依赖集P的右侧可以使用第二个函数依赖集Q来确定，并且第二个函数依赖集Q的右侧也可以使用第一个函数依赖集P来确定时，这两个或更多个函数依赖集被称为等价。

问题 1：给定一个关系模式 R( X, Y, Z, W, V ) 和函数依赖集 P 和 Q，其中

P = { X → Y, XY → Z, W → XZ, W → V} 和 Q = { X → YZ, W → XV }。使用函数依赖集 P 和 Q，以下哪个选项是正确的？

1. P 是 Q 的子集
2. Q 是 P 的子集
3. P = Q
4. P ≠ Q

→根据函数依赖集等价性的定义，让我们使用函数依赖集 Q 来确定函数依赖集 P 的右侧。

已知 P = { X → Y, XY → Z, W → XZ, W → V} 和 Q = { X → YZ, W → XV }

让我们使用函数依赖 Q 找到 P 中每个函数依赖左侧的闭包。

1. X+ = XYZ (使用 X → YZ)
2. XY+ = XYZ (使用 X → YZ)
3. W+ = WXVYZ (使用 W → XV 和 X → YZ)
4. W+ = WXVYZ (使用 W → XV 和 X → YZ)

现在将使用函数依赖 Q 计算的每个 X、XY、W 的闭包与函数依赖 P 的右侧进行比较。每个 X、XY、W 的闭包都包含函数依赖 P 中每个函数依赖右侧的所有属性。因此，我们可以说 P 是 Q 的子集----------1

→根据函数依赖集等价性的定义，让我们使用函数依赖集 P 来确定函数依赖集 Q 的右侧。

已知 P = { X → Y, XY → Z, W → XZ, W → V} 和 Q = { X → YZ, W → XV }

让我们使用函数依赖 P 找到 Q 中每个函数依赖左侧的闭包。

1. X+ = XYZ (使用 X → Y 和 XY → Z)
2. W+ = WXZVY (使用 W → XZ, W → V, 和 X → Y)

现在将使用函数依赖 P 计算的每个 X、W 的闭包与函数依赖 Q 的右侧进行比较。每个 X 和 W 的闭包都包含函数依赖 Q 中每个函数依赖右侧的所有属性。因此，我们可以说 Q 是 P 的子集-----------2

根据 1 和 2，我们可以说 P = Q，因此选项 C 是正确的。

问题 2：给定一个关系模式 R( A, B, C, D ) 和函数依赖集 P 和 Q，其中

P = { A → B, B → C, C → D } 和 Q = { A → BC, C → D }。使用函数依赖集 P 和 Q，以下哪个选项是正确的？

1. a) P 是 Q 的子集
2. b) Q 是 P 的子集
3. c) P = Q
4. d) P ≠ Q

→根据函数依赖集等价性的定义，让我们使用函数依赖集 Q 来确定函数依赖集 P 的右侧。

已知 P = { A → B, B → C, C → D } 和 Q = { A → BC, C → D }

让我们使用函数依赖 Q 找到 P 中每个函数依赖左侧的闭包。

1. A+ = ABCD (使用 A → BC, C → D)
2. B+ = B (Q 中没有哪个函数依赖的左侧是 B)
3. C+ = CD (使用 C → D)

现在将使用函数依赖 Q 计算的每个 A、B 和 C 的闭包与函数依赖 P 的右侧进行比较。B 的闭包是 B，而在函数依赖集 P 中，B → C (B 决定 C)，由于使用函数依赖 Q 确定的 B 的闭包中没有 C。因此，我们可以说 P 不是 Q 的子集----------1

→根据函数依赖集等价性的定义，让我们使用函数依赖集 P 来确定函数依赖集 Q 的右侧。

已知 P = { A → B, B → C, C → D } 和 Q = { A → BC, C → D }

让我们使用函数依赖 P 找到 Q 中每个函数依赖左侧的闭包。

1. A+ = ABCD (使用 A → B, B → C, C → D)
2. C+ = CD (使用 C → D)

现在将使用函数依赖 P 计算的每个 A 和 C 的闭包与函数依赖 Q 的右侧进行比较。每个 A 和 C 的闭包都包含函数依赖 Q 中每个函数依赖右侧的所有属性。因此，我们可以说 Q 是 P 的子集-----------2

根据 1 和 2，我们可以说只有 Q 是 P 的子集，因为条件 1 被违反，因此选项 B 是正确的。

问题 3：给定一个关系模式 R( X, Y, Z ) 和函数依赖集 P 和 Q，其中

P = { X → Y, Y → Z, Z → X } 和 Q = { X → YZ, Y → X, Z → X }。使用函数依赖集 P 和 Q，以下哪个选项是正确的？

1. P 是 Q 的子集
2. Q 是 P 的子集
3. P = Q
4. P ≠ Q

→根据函数依赖集等价性的定义，让我们使用函数依赖集 Q 来确定函数依赖集 P 的右侧。

已知 P = {X → Y, Y → Z, Z → X} 和 Q = {X → YZ, Y → X, Z → X}

让我们使用函数依赖 Q 找到 P 中每个函数依赖左侧的闭包。

1. X+ = XYZ (使用 X → YZ)
2. Y+ = YZX (使用 X → YZ, Y → X)
3. Z+ = ZXY (使用 X → YZ, Y → X, Z → X)

现在将使用函数依赖 Q 计算的每个 X、Y、Z 的闭包与函数依赖 P 的右侧进行比较。每个 X、Y、Z 的闭包都包含函数依赖 P 中每个函数依赖右侧的所有属性。因此，我们可以说 P 是 Q 的子集----------1

→根据函数依赖集等价性的定义，让我们使用函数依赖集 P 来确定函数依赖集 Q 的右侧。

已知 P = { X → Y, Y → Z, Z → X } 和 Q = { X → YZ, Y → X, Z → X }

让我们使用函数依赖 P 找到 Q 中每个函数依赖左侧的闭包。

1. X+ = XYZ (使用 X → Y, Y → Z, Z → X)
2. Y+ = YZX (使用 Y → Z, Z → X)
3. Z+ = ZXY (使用 X → Y, Y → Z, Z → X)

现在将使用函数依赖 P 计算的每个 X、Y 和 Z 的闭包与函数依赖 Q 的右侧进行比较。每个 X、Y 和 Z 的闭包都包含函数依赖 Q 中每个函数依赖右侧的所有属性。因此，我们可以说 Q 是 P 的子集-----------2

根据 1 和 2，我们可以说 P = Q，因此选项 C 是正确的。

结论： 从上面解决的三个函数依赖等价性问题中，我们注意到以下步骤：

步骤 1： 假设给出两个函数依赖集 P 和 Q，分别写出每个集 P 和 Q 的函数依赖。

步骤 2： 首先取函数依赖集 P，然后使用函数依赖集 Q 找到 P 中函数依赖左侧的每个属性的闭包。

步骤 3： 现在将 P 中每个属性的闭包与 P 中函数依赖的右侧进行比较。

步骤 4： 如果每个属性的闭包等于 P 中函数依赖的右侧，我们称 P 是 Q 的子集

步骤 5： 接下来取函数依赖集 Q，然后使用函数依赖集 P 找到 Q 中函数依赖左侧的每个属性的闭包。

步骤 6： 现在将 Q 中每个属性的闭包与 Q 中函数依赖的右侧进行比较。

步骤 7： 如果每个属性的闭包等于 Q 中函数依赖的右侧，我们称 Q 是 P 的子集

步骤 8： 如果 P 是 Q 的子集 且 Q 是 P 的子集， 我们可以说 P = Q。