根轨迹的角度和幅度条件

根轨迹的角度条件帮助我们确定给定的点是否存在于根轨迹分支上。我们可以借助根轨迹上的幅值条件找到系统增益 'K' 的值。

对于一个一般的闭环系统，特征方程由下式给出

1 + G(s)H(s) = 0

G(s)H(s) = 0 - 1

G(s)H(s) = -1

我们知道 s 平面是复数。因此，上述方程可以用复变量表示为

G(s)H(s) = -1 + j0

由于 s 平面是复数，因此 G(s)H(s) 也是复数。对于根轨迹上的任何 's' 值，它必须满足上述方程。

上述方程的两边都采用矩形形式，在将它们转换为极坐标形式后，我们可以对两边的角度和幅值进行等价。

根轨迹的两个条件是角度条件和幅值条件。让我们开始吧。

角度条件

G(s)H(s) = -1 + j0

上述方程在角度方面可以表示为

其中，

q = 0, 1, 2 ...

点 -1 + j0 位于负实轴点上，可以追踪为幅值为 1 且角度为 180 度、540 度，... (2q + 1)180。 这些值可以通过将 q = 0、1、2 等代入来计算。

对于 q = 0，我们得到 180 度，对于 q = 1，我们得到 (2 + 1) x 180 = 540 度。类似地，我们可以找到进一步的值。

点 -1 + j0 的根轨迹图如下所示

因此，我们可以将角度条件定义为方程 (1 + G(s)H(s) = 0) 的根的任何 's' 值，由

角度的值是 180 度的奇数倍 (1, 3, 5, 7, 9 ...)。

s 平面上根轨迹图上的任何点都需要满足上述条件。在不同的 'q' 值下计算的角度应该为正或负 180 度的奇数倍。

根轨迹中角度条件的使用

根轨迹中角度条件的常见用途是测试 s 平面中的任何点。它用于查找给定的点是否存在。

幅值条件

通过对特征方程的两边进行等价来计算幅值条件，其计算公式为

1 + G(s)H(s) = 0

G(s)H(s) = -1

|G(s)H(s)| = |-1 + j0| = 1

在幅值条件中，系统增益 'K' 是未知的。我们无法找到 s 平面上任何点的幅值。因此，该条件不适用于检查根轨迹图上点的存在。但是，如果使用角度条件已经满足了 s 平面中的点，则还需要验证幅值条件。

如果点通过角度条件已知在根轨迹上，也可以通过幅值条件找到系统增益 'K' 的值。

幅值条件由下式给出

|G(s)H(s)| = 1

幅值条件的使用取决于根轨迹上的点，该点由角度条件验证。

幅值条件的使用

如果点已知通过角度条件在根轨迹上验证，则可以使用幅值条件确定 K 的值。

请考虑以下示例。

示例：测试点 -2 + 5j 是否存在于根轨迹上。考虑系统 G(s)H(s) = K/s(s + 4)。

解决方案：我们将首先使用角度条件进行验证。

G(s)H(s) = K/s(s + 4)

令 s = -2 + j5，我们得到

= K +j0/ (-2 + j5)(-2 + j5 + 4)

= K +j0/ (-2 + j5)(2 + j5)

将其转换为极坐标并考虑角度，我们得到

角度 G(s)H(s) = 0 /111.8 x 68.2 = -180 度。

结果角度是正值和负值 180 度的倍数。因此，验证了角度条件。

(-2 + 5j) 的角度值为 111.8 度

(2 + 5j) 的角度值为 68.2 度

我们可以使用任何科学计算器从矩形转换为极坐标。

现在，我们知道给定的点 -2 + 5j 存在于根轨迹上。我们可以使用幅值条件，其计算公式为

|G(s)H(s)| = 1

在 s = -2 +5j 处 G(s)H(s) 的值将是

|K|/5.3851 X 5.3851 = 1

求解后，K = 29

因此，s=-2 + 5j 是方程的根之一。

'K' 值的图形方法

要确定系统增益 K 的值，我们需要事先了解根轨迹上的点，即已知位于根轨迹上的点的位置。

K 的值由下式给出

K = 从开环极点到根轨迹上一点绘制的相量长度的乘积 / 从开环零点到根轨迹上一点绘制的相量长度的乘积

请考虑以下示例。

示例：1 找到系统 G(s)H(s) = K/s(s + 4) 的系统增益 K 的值

给定点 -2 + j5 已经存在于根轨迹图上。

解决方案： 我们已知在根轨迹上确认了点 -2 + j5。

系统 G(s)H(s) = K/s(s + 4) 有两个极点，没有零点。这是因为分子中没有 s 值。

将分母等于零，我们得到

s(s + 4) = 0

s = 0 且 s = -4

因此，开环极点为 0 和 -4。

现在，我们将连接点 0、-4 和 -2 + j5，如下图所示

从 s = 0 到点的长度 = p

从 s = -4 到点的长度 = q

P = (2² + 5²)^1/2

P = (29)^1/2

类似地，q = (2² + 5²)^1/2

q = (29)^1/2

我们知道，

K = 从 开环极点 到根轨迹上一点绘制的相量长度的乘积 / 从 开环零点 到根轨迹上一点绘制的相量长度的乘积

由于没有开环零点，分母的值将假设为 1。

K = p x q = 29

示例：2

要找到给定系统 G(s)H(s) = K/s(s + 2) 的根轨迹的性质

解决方案： 我们有一个系统 G(s)H(s) = K/s(s + 2) 有两个极点，没有零点。

我们知道，

1 + G(s)H(s) = 0

1 + K/s(s + 2) = 0

s(s + 2) + K = 0

s² + 2s + K = 0

为了构造高阶系统的根轨迹，我们将首先找到所形成的特征方程的根。

s² + 2s + K = 0

求解方程，我们得到根 -1 + (1 - k)^1/2 和 -1 - (1 - k)^1/2.

现在，我们将在不同的 K 值下找到这两个根的不同值，如下表所示

从上表可以看出，从 0 和 -2 到无穷大有两个分支。起始值 0 和 -2 也是给定传递函数或开环极点的根。我们也可以说分支的数量等于开环极点的数量，这里是两个。