奈奎斯特图

极坐标图的扩展称为奈奎斯特图。在奈奎斯特图中，频率变化范围为-无穷大到无穷大。极坐标图和奈奎斯特图的主要区别在于，极坐标图基于频率范围从零到无穷大，而奈奎斯特图也处理负频率。

奈奎斯特判据帮助我们根据开环极点和图的频率响应来确定闭环系统的稳定性。

我们知道 F(s) 是 s 的函数。系统中 s 的多项式在分子和分母中可以表示为

F(s) = (s - z1)(s - z2)... (s - zm)/(s - p1)(s - p2)... (s - pn)

令分子根等于零，确定系统的零点，令分母根等于零，确定系统的极点。这意味着给定的函数有 m 个零点和 n 个极点。通常 n 的数值大于等于 m。

函数中的 s 是一个复变量，表示为 σ + jω。 因此，F(s) 也是一个复函数，可以表示为 u + jv。

这意味着对于 s 平面上 F(s) 解析的每一个点，都存在一个 F(s) 平面上对应的点。函数 f(s) 映射到 f(s) 平面上。存在一个闭合曲线映射到另一条闭合曲线上。

在奈奎斯特图中，我们将检测 s 平面右半平面中闭环系统极点的存在，以确定系统的稳定性。这是因为奈奎斯特图将开环频率响应（由 G(jω)H(jω) 给出）与 1 + G(s)H(s) 在 s 平面右半平面中的极点和零点数量相关联。

s 平面中的闭合曲线

s 平面中闭合曲线的方向可以包围或圈绕 s 平面中的一个点，该点可以是零点或极点。首先，让我们讨论圈绕和包围的概念，因为这两个术语在实现奈奎斯特稳定性判据时都很有用。

包围 (Encircled)：如果一个点位于闭合路径的内部，则称该点被包围。如下图所示

此处，点 B 在顺时针方向的闭合路径内被包围，而点 A 位于路径外部。

• 圈绕 (Enclosed)：如果一个点在闭合路径沿特定方向遍历时位于路径的右侧，则称该点被闭合路径圈绕。让我们考虑顺时针和逆时针方向的两个闭合路径，如下图所示
  
  阴影区域表示闭合路径所圈绕的区域。在第一个图中，当沿顺时针方向遍历时，点 B 位于右侧，而 A 不在。因此，点 B 被闭合路径圈绕。
  类似地，在第二个图中，当沿逆时针方向遍历时，点 A 位于右侧，而 B 不在。因此，点 A 被闭合路径圈绕。

奈奎斯特稳定性判据

闭环传递函数由下式给出

C(s)/R(s) = G(s)/(1 + G(s)H(s))

其中，

C(s) 是给定控制系统的输出

R(s) 是给定控制系统的输入

H(s) 是反馈通路

G(s) 是系统的正向通路

系统的特征方程由条件 1 + G(s)H(s) = 0 给出。

我们知道 G(s)H(s) 用零点和极点表示为

m 的值小于等于 n。这意味着对于一个理想的控制系统，零点的数量总是小于或等于给定控制系统中的极点数量。

设 F(s) = 1 + G(s)H(s)

将 G(s)H(s) 的值代入上式，我们得到

因此，z1', z2'... zn' 是函数 F(s) 的零点。

现在，我们将 G(s)、1 + G(s)H(s) 的值组合到传递函数中，该函数由下式给出

C(s)/R(s) = G(s)/(1 + G(s)H(s))

z1', z2', z3', 和 zn' 是以上传递函数的极点。

奈奎斯特稳定性判据基于点 -1 + j0 来确定闭环系统的稳定性。这是因为函数 F(s) 相对于平面原点的闭合曲线与 F(s) -1 平面相对于点 -1 + j0 的闭合曲线是相同的。

轴上的点 -1 + j0 将出现为

让我们根据圈绕、逆时针圈绕和顺时针圈绕来讨论奈奎斯特稳定性判据。

1. 点 -1 + j0 的圈绕
   点 -1 + j0 不应被圈绕。我们知道，如果极点位于 s 平面的左半部分，则系统是稳定的。此处，不圈绕意味着如果 s 平面右侧没有极点，则系统是稳定的。位于 s 平面右半部分的极点会使系统不稳定。
2. 点 -1 + j0 的逆时针圈绕
   点 -1 + j0 的逆时针圈绕数等于 s 平面右半部分存在的极点数量。如果这种圈绕数不等于极点数量，则系统会变得不稳定。
   例如：
   给定的系统有两个极点。为了使系统稳定，点 -1 + j0 的圈绕数也应为两个。
3. 点 -1 + j0 的顺时针圈绕
   为了使系统稳定，奈奎斯特图中不应有 -1 + j0 点的顺时针圈绕。如果图中存在这种圈绕，则系统总是.不稳定的。

绘制奈奎斯特图的稳定性分析

在此，我们将讨论有助于绘制奈奎斯特图的稳定性分析的步骤。

1. 确定极点和零点
   从给定的传递函数，我们需要确定极点和零点以检查有效点。
2. 选择奈奎斯特图
   我们需要选择一个奈奎斯特图，该图应包围 s 平面右半平面中的所有极点和零点，但奇点除外。奇点被认为是位于虚轴上的点。因此，这些点被避免。
   如果传递函数在零点或原点处有极点，则闭合曲线会包围除原点以外的所有极点和零点。
   如果虚轴上没有极点，则闭合曲线将显示为
   
   闭合曲线中避免的两个点（原点和虚轴）如下图所示
   
   为了进行映射，闭合曲线需要是解析的。首先，让我们讨论映射。
3. 映射闭合曲线
   奇点（虚轴上的点）不是解析的。因此，通常会避免它。奈奎斯特闭合曲线被映射以确定点 -1 + j0 的圈绕。闭合曲线根据传递函数 G(s)H(s) 绘制。
   有四个部分 C1、C2、C3 和 C4。奈奎斯特判据图被分成四个部分，以便可以逐部分轻松执行。最后，所有部分组合在一起以产生所需的奈奎斯特图。设四个部分为
   
   这些部分的顺序与上面所示的顺序大致相似。
4. 第一部分 C1 的范围
   我们知道奈奎斯特范围是从 -无穷大到无穷大，并且在第一部分 C1 中，ω 的值范围是从0到无穷大。闭合曲线将在 G(s)H(s) 平面上相对于上述范围绘制，它将是 G(jω)H(jω) 的轨迹图。
   我们可以使用各种方法映射第一部分 C1，例如从给定的传递函数绘制轨迹，通过使实部和虚部等于零来找到频率，使用极坐标图方法（系统类型和阶数），以及分离幅度和相位。
5. 第二部分 C2 的范围
   第二部分通常是无限半径。这里，它是一个无限半径的半圆。第二部分的范围是从 -90 度到 +90 度。可以得到
   
   如果传递函数的形式为 G(s)H(s) = K(1 + sT)/s(1 + sT1)(1 + sT2)，则可以将项 (1 + sT) 假定为 sT。
   在特定 theta 值下传递函数的值为
   
   其中，
   N 是极点数，m 是零点数。n 的值大于等于 m。
6. 第三部分 C3 的范围
   在第三部分 C3 中，ω 的值范围从 -无穷大到零。第三部分的轨迹图只是 G(jω)H(jω) 极坐标图的逆。我们也可以说它是第一部分的逆。结果图将是极坐标图相对于实轴的镜像。
7. 第二部分 C4 的范围
   第四部分的角度变化范围为 -90 度到 90 度。此部分的奈奎斯特闭合曲线具有零半径的半圆。该部分的映射由以下条件给出
   
   如果传递函数的形式为 G(s)H(s) = K(1 + sT)/s^y(1 + sT1)(1 + sT2)，则可以将项 (1 + sT) 假定为 1。
   在特定 theta 值下传递函数的值为
   

其中，

Y 是极点的数量。

注意：如果奈奎斯特图中在原点处没有极点，则 C4 部分将不存在。

让我们通过一个奈奎斯特图的例子来更好地理解。我们将遵循上面讨论的步骤。

示例

考虑下面的示例

示例：绘制开环传递函数为

G(s)H(s) = K/s(s + 2)(s + 10)

的系统的奈奎斯特图。并确定系统稳定的 K 值范围。

解：传递函数由下式给出

G(s)H(s) = K/s(s + 2)(s + 10)

步骤 1：确定极点和零点。

由于传递函数在 s 的多项式中没有分子，因此函数中不存在零点。只有三个极点。

G(s)H(s) = K/sx20(s/2 + 1)(s/10 + 1)

G(s)H(s) = 0.05K/s(1 + 0.5s)(1 + 0.1s)

开环函数在原点处有一个极点，如下图所示

现在，我们将分别进行所有四个部分的映射。最后，所有四个部分将组合在一起以产生所需的结果。

步骤 2：C1 部分的映射

在 C1 部分中，ω 的值范围是从 0 到无穷大。闭合曲线将在 G(s)H(s) 平面上相对于上述范围绘制，它将是 G(jω)H(jω) 的轨迹图。

G(s)H(s) = 0.05K/s(1 + 0.5s)(1 + 0.1s)

G(jω)H(jω) = 0.05K/ jω(1 + 0.5jω)(1 + 0.1jω)

G(jω)H(jω) = 0.05K/ jω(1 + 0.6jω - 0.05ω²)

G(jω)H(jω) = 0.05K/-0.6 ω² + jω(1 - 0.05ω²)

对应的虚部将为 0，结果频率将是截止相位频率，给出为

ω(1 - 0.05ω²) = 0

1 - 0.05ω² = 0

ω = 4.472 弧度/秒 = 截止相位频率

现在，我们将上述频率的值代入 G(jω)H(jω) 的实部，给出为

G(jω)H(jω) = 0.05K/-0.6 ω²

G(jω)H(jω) = 0.05K/-0.6x 4.472 x 4.472

G(jω)H(jω) = -0.00417K

从给定的传递函数，我们可以轻松确定该系统是 1 型和 3 阶的。

极坐标图将从 -90 度开始，穿过实轴上的 -0.00417K 点，如下图所示

步骤 3：C2 部分的映射

第二部分的范围是从 -90 度到 +90 度。可以得到

如果传递函数的形式为 G(s)H(s) = 0.05K/s(1 + 0.5s)(1 + 0.1s)，则可以将项 (1 + sT) 假定为 sT。给出为

G(s)H(s) = 0.05K/s x 0.5s x 0.1s

G(s)H(s) = 0.05K/0.05s³

G(s)H(s) = K/s³

设 s 的值为

在特定 theta 值下传递函数的值为

因此，从 -270 度到 270 度变化的 C2 部分将显示在下图所示的平面中

步骤 4：C3 部分的映射

我们知道 C3 部分只是 C1 部分的逆。因此，C3 部分的轨迹图将在同一位置的实轴上增加，如下图所示

步骤 5：C4 部分的映射

让我们绘制奈奎斯特图的 C4 部分。

让我们绘制奈奎斯特图的 C4 部分。

第四部分的角度变化范围为 -90 度到 90 度。此部分的奈奎斯特闭合曲线具有零半径的半圆。条件给出了 C4 部分的映射

如果传递函数的形式为 G(s)H(s) = 0.05K/s(1 + 0.5s)(1 + 0.1s)，则可以将项 (1 + sT) 假定为 1。给出为

G(s)H(s) = 0.05K/s x 1 x 1

G(s)H(s) = 0.05K/s

设 s 的值为

在特定 theta 值下传递函数的值为

我们可以说 C4 部分在 s 平面上映射为一个无限半径的圆弧。轨迹如下图所示

步骤 6：稳定性分析

我们将找到当闭合曲线通过点 (-1 + j0) 时的 K 值。

-0.00417K = -1

K 的极限值为

K = 1/0.00417

K = 240

步骤 7：完整的奈奎斯特图

组合上述所有四个部分后完整的奈奎斯特图如下所示

我们将以两个 K 值来分析稳定性。

K< 240

当 K 值小于 240 时，闭合曲线不与实轴相交，并且点 -1 + j0 未被圈绕。s 平面右侧没有极点。因此，在此 K 值下系统是稳定的。

K>240

当 K 值大于 240 时，闭合曲线与实轴相交，并且点 -1 + j0 被顺时针方向圈绕两次。s 平面右侧没有极点。因此，在此 K 值下系统是不稳定的。

因此，为了使给定传递函数稳定，K 的值是0 < K < 240。

奈奎斯特图的优点

奈奎斯特图的优点如下

• 它可以确定控制系统的稳定性。
• 在时延方面比根轨迹更好。这意味着奈奎斯特图可以轻松处理系统中的时延。
• 它提供了一种使用波特图的方法。
• 它可以找到开环传递函数的频率响应。
• 它可以找到 s 平面右侧的极点数量。
• 它还可以找到系统的相对稳定性。

奈奎斯特图的缺点

奈奎斯特图的缺点如下

• 它使用一些复杂的数学技术。
• 它不能确定系统的绝对稳定性。
• 它没有提供 s 平面右侧极点数量的精确信息。