伯德图

它是一个频率响应图，包含两个图，即幅值和相位。第一个图是正弦传递函数对数 w 的幅值图，另一个图表示相位角。它可以绘制为开环系统和闭环系统。它通常绘制为开环系统，因为它可以方便地确定稳定性和其他相关参数。

波特图有助于我们确定系统的稳定性，并为我们提供一种改进该稳定性 的方法。开环系统的波特图的标准表示如下：

20 log|G(jω)|

它表示函数 G(s) 或 G(jω) 的对数幅值。此处，对数的底为 10。单位表示对数函数G(jω)在分贝 (db) 下的幅值。曲线不是绘制在普通的图纸上，而是绘制在半对数纸上，该纸使用频率、相位角和幅值进行绘制。对数刻度或横轴用于频率，线性刻度或纵轴用于相位角和幅值。

对数函数允许将各种倍数形式的值相加。例如，

Log ab = log a + log b

因此，波特图的优点是将幅值的乘法转换为加法。例如，

令 G(jω) = K/ jω (1 + jωT)

G(jω) 的幅值为 K/[ ω (1 + ω² T²)^1/2]

G(jω) 的相位角为 -90 - ?tan^-1ωT

以分贝表示的幅值可表示为

20 log [K/ ω (1 + ω² T²)^1/2]

= 20 log K/ ω + 20 log 1/(1 + ω² T²)^1/2

= 20 log K/ ω - 20 log (1 + ω² T²)^1/2

由于对数值的倒数，我们在此处插入了负号。

这意味着 log 1/a 可以写成 log (a)^-1，等于-log a。

因此，上面的方程表明，当以分贝表示幅值时，可以轻松地将乘法项转换为加法，这意味着给定传递函数的各个因子可以相加。我们还将在后续主题中讨论一个绘制波特图的示例。

波特图中的常数增益 K

常数增益由 K 表示。在根轨迹和传递函数中，它也称为系统增益。

令 G(s) = K

G(s) = G(jω) = K

常数增益假定的角度为 0 度。

以分贝表示，系统增益可以表示为

A = |G(jω)| = 20log K

如果 K 的值为负，则角度为 180 度。

在 20log K 的幅值处，常数增益 K 的幅值将是一条水平直线。

K 有三个范围。

• K > 1
• K = 1
• 0 < K < 1

当 K 的值大于 1 时，20log K 为正。

当 K 的值为 1 时，20log K 为零。这是因为 log 1 的值为 0。

当 K 的值大于 0 且小于 1 时，20log K 为负。

波特图中的积分因子

积分因子和微分因子都会影响幅值曲线的斜率。我们先来讨论波特图中的积分因子。

设积分因子为 K/ jω。积分因子由常数增益除以 s 表示，它可以是一个或多个阶。

G(s) = K/s

G(s) = K/ jω

其幅值和相位角分别为 K/ω 和 -90 度。

其分贝增益 = A = |G(jω)| = 20log (K/ω)

当 ω = 0.1 K 时，A = 20log (K/0.1K) = 20log (10) = 20 db

这是因为 log 10 的值为 1。

当 ω = K 时，A = 20log (K/K) = 20log (1) = 0 db

当 ω = 10 K 时，A = 20log (K/10K) = 20log (10)^-1 = -20 db

这是因为 log a^-n 的值为 -n loga。

通过上述对不同 ω 值的分析，我们可以找到积分因子的幅值。它将是一条斜率为 -20 db 的直线。当 ω 的值为 K 时，它也将通过 0 db。

下面显示了积分因子 K/ jω 的图

让我们考虑另一个 n 倍的积分因子示例。它由下式给出

G(s) = K/sⁿ

G(s) = K/ jωⁿ

其幅值和相位角分别为 K/ωⁿ 和 -90n 度。

其分贝增益 = A = |G(jω)| = 20log (K/ωⁿ)

下面显示了 n 倍的积分因子的图

波特图中的微分因子

微分因子包含分子中包含 s 的项。让我们考虑由 K jω 表示的微分因子。

G(s) = Ks = K jω

其幅值和相位角分别为 Kω 和 90 度。

这是因为 jω 项在分子中。因此，角度将为正度数。

其分贝增益 = A = |G(jω)| = 20log (Kω)

当 ω = 0.1/K 时，A = 20log (K x 0.1/K) = 20log (0.1) = 20log (10)^-1 = -20 db

这是因为 log a^-n 的值为 -n loga。

当 ω = 1/K 时，A = 20log (K/K) = 20log (1) = 0 db

当 ω = 10/ K 时，A = 20log (K x 10/ K) = 20log (10) = 20 db

上述微分因子的图如下所示

这是因为 log 10 的值为 1。

通过上述对不同 ω 值的分析，我们可以找到微分因子的幅值。它将是一条斜率为 +20 db 的直线。当 ω 的值为 1/K 时，它也将通过 0 db。

让我们考虑 n 倍的微分因子示例。它由下式给出

G(s) = Ksⁿ

G(s) = Kjωⁿ

其幅值和相位角分别为 Kωⁿ 和 90n 度。

其分贝增益 = A = |G(jω)| = 20log (Kωⁿ)

让我们讨论传递函数分子和分母中的一阶因子。

分子中的一阶因子

分子中的一阶因子或微分因子由下式给出

G(s) = 1 + sT

G(jω) = 1 + jωT

|G(jω)| = (1 + ω² T²)^1/2

角度 = ?tan^-1ωT

分贝增益由下式给出

A =20 log (1 + ω² T²)^1/2

在非常低的频率（<<1）下，增益值为 20 log 1 = 0 dB。

在非常高的频率（>>1）下，增益值为 20 log ωT。

上面给出的一阶函数的波特图如下所示

我们将幅值图近似为两条直线。第一条线是频率非常低时的一条水平直线（0 db），而另一条倾斜斜率则表示高频（20 log ωT）。它的斜率为 +20db。

这两条直线是精确曲线的渐近线。两条渐近线相交的频率称为转折频率，也称为截止频率。

对于上面给出的函数，转折频率出现在 ω = 1/T 时。相位角将随频率从零到无穷大变化，在0 度到90 度之间变化。

在转折频率处近似的幅值约为 +3dB，通常被认为是该转折频率下的 db 损耗。

分母中的一阶因子

分母中的一阶因子或积分因子由下式给出

G(s) = 1/1 + sT

G(jω) =1/ 1 + jωT

|G(jω)| =1/ (1 + ω² T²)^1/2

角度 = ?-tan^-1ωT

分贝增益由下式给出

A =20 log 1/(1 + ω² T²)^1/2

A =20 log (1 + ω² T²)^-1/2

A =-20 log (1 + ω² T²)^1/2

这是因为 log a^-n 的值为 -n loga。

在非常低的频率（<<1）下，增益值为 -20 log 1 = 0 dB。

在非常高的频率（>>1）下，增益值为 -20 log ωT。

上面给出的一阶函数的波特图如下所示

我们将幅值图近似为两条直线。第一条线是频率非常低时的一条水平直线（0 db），而另一条倾斜斜率表示高频（-20 log T）。它的斜率为 -20db。

注意：传递函数中的微分因子通常表示正斜率，而积分因子在波特图中表示负斜率。

这两条直线是精确曲线的渐近线。

对于上面给出的函数，转折频率出现在 ω = 1/T 时。转折频率将波特图曲线分为两个区域，即低频和高频。相位角将随频率从零到无穷大变化，在 0 度到 -90 度之间变化。

在转折频率处近似的幅值约为 -3dB，通常被认为是该转折频率下的 db 损耗。注意：波特图中的两条曲线是幅值曲线和相位角曲线。第一条表示分贝值的曲线表示幅值曲线，而第二条曲线表示相位角曲线。

分母中的二次因子

这是理解波特图的重要部分。它表示分母中的因子以二次方程的形式存在。

让我们考虑一个二次方程，它由下式给出

G(s) = ω_n²/(s² + 2a ω_ns + ω_n²)

其中，

a 是阻尼比

ω_n 是自然频率

我们可以将上述传递函数写为

G(s) = 1/ (1 + 2as/ ω_n + (s/ ω_n)²

设 s = jω

G(jω) = 1/ (1 + 2a jω/ ω_n + (jω / ω_n)²

G(jω) = 1/(1 - (ω / ω_n)² + j2a ω/ ω_n

幅值由下式给出

|G(jω)| = 1/[(1 - (ω / ω_n)⁴) + 4a² ω²/ ω_n²]^1/2

相位角由下式给出

Angle G(jω) = tan^-1[(2a jω/ω_n)/(1 - (ω / ω_n)²)

让我们计算上述传递函数的分贝增益。

A = 20log G(jω)

A = 20 log 1/[(1 - (ω / ω_n)⁴ )+ 4a² ω²/ ω_n²]^1/2

因子 G(jω) 出现在分母中。为了将其移到分子，我们将插入一个负号。这是因为 log (1/a) 等于 -log a。

因此，增益为

A = -20 log [(1 - (ω / ω_n)⁴ )+ 4a² ω²/ ω_n²]^1/2

让我们计算不同频率下的增益值。

在非常低的频率（ω<< ω_n）下，增益值为

A = -20 log [(1 - (ω² / ω_n²(2 - 4a²)+ ω⁴/ ω_n⁴]^1/2

A = -20 log 1 = 0

在非常高的频率（ω>> ω_n）下，增益值为

A = -20 log [(1 - (ω² / ω_n²(2 - 4a²)+ ω⁴/ ω_n⁴]^1/2

A = -20 log [ω⁴/ ω_n⁴]^1/2

A = -20 log ω² / ω_n²

A = -20 log [ω/ ω_n]²

我们知道 log a² = 2 log a

A = -20 x 2log [ω/ ω_n]

A = -40 log [ω/ ω_n]

在 ω= ω_n 时

A = -40 log 1 = 0 db

在 ω= 100ω_n 时

A = -40 log 100

A = -40 log 10²

A = -40 x 2 log 10

A = -80 log 10 = -80 db

在 ω= 10ω_n 时

A = -40 log 10 = -40

因此，我们可以得出结论，二次因子的幅值图可以近似为两条直线，斜率为 0 db 和 -40 db。

让我们找出不同频率值下 angle G(jω) 的值。

Angle G(jω) = tan^-1[(2a jω/ω_n)/(1 - (ω / ω_n)²)

在 ω = ω_n 时

Angle G(jω) = tan^-1(2a/0) = -90 度。

这是因为 tan^-1(无穷大) 的值为 -90 度。

当 ω = 0 时，角度值为 0

当 ω = 无穷大时，角度趋近于 -180 度。

分母中的二次因子的图如下所示

两条曲线与阻尼比 a 无关。谐振峰的高度与阻尼比成反比。这意味着阻尼比值的减小会增加谐振峰。

绘制波特图幅值曲线和相位角曲线的步骤

在继续之前，让我们讨论从上述主题中获得的主要结论。

• 波特图中的常数增益 K、微分因子和积分因子在所有频率下都贡献增益。
• 传递函数中的高阶（二阶及以上）因子仅在频率大于转折频率时才贡献增益。在二次因子的情况下，自然频率被假定为转折频率。

我们还讨论了微分因子和积分因子对波特图正负斜率的影响。

让我们讨论有助于我们绘制波特图的步骤。

1. 将给定的传递函数转换为时间常数形式，如下所示
   这有助于我们轻松找到转折频率。
2. 按递增顺序排列转折频率。表格格式如下所示
   

   任期	转折频率	斜率 (分贝)	斜率变化

   
   “项”指定单独的常数增益、微分因子和积分因子，例如 K、K/jω 或 K (jω)。“斜率变化”包括每个转折频率处斜率值的变化。
3. 选择一个低于最低转折频率的值。现在，计算所选频率下各项的值。
4. 逐一找到每个转折频率下的分贝增益。计算增益的公式如下
   Gain at ω_y = (Slope from ωx to ωy x log ωy/ωx] + gain at ωx
   频率 ωx 和 ωy 如下所示
   
5. 现在，我们将再次在大于最高转折频率的另一个频率下执行步骤 4。
6. 拿一张半对数图纸，首先在轴上标出尺寸以绘制图。幅值将出现在 y 轴上，频率范围将出现在 x 轴上。
7. 在半对数图纸上标记上述步骤中计算出的点，然后连接这些点。图纸上的点应仅用直线连接。我们还可以标记图上每个点的斜率。
8. 该图被假定为近似图。精确图需要对每个转折频率进行精确计算。

考虑一个例子。

令传递函数为 G(s) = K (1 + sT₁)²/s²(1 + sT₂)( 1 + sT₃)

设 s = jω

G(jω) = K (1 + jω T₁)²/( jω )²(1 + jωT₂)( 1 + jωT₃)

T1、T2、3 按升序排列将为 T2 < T3 < T1。

将在 1/T1、1/T2 和 1/T3 处有三个转折频率。

在给定的传递函数 G(s) = K (1 + sT₁)²/s²(1 + sT₂)( 1 + sT₃) 中，有四个项。因此，我们将首先绘制这四个独立项的幅值图。这四项为 K/ jω 、K(1 + sT₁)、1/(1 + sT₂) 和 1/( 1 + sT₃)。第一、第三和第四项表示斜率为 -20db 的积分项。第二项是表示正斜率的微分项。

最终图将是所有四个图的组合图，如下所示

上述波特图显示，前两项的斜率为40，而另外两项的斜率为20。前两项是传递函数中的平方形式，其中 log a² 总是等于'2 log a'。因此，它将显示为 40 的斜率。如上所述，具有斜率的负项和正项是由于积分因子和微分因子。

让我们讨论如何组合这些值。

某个区域的特定值将是上述四个部分的所有部分值的组合结果。例如，ωc1 和 ωc3 之间的区域将通过将所有部分值相加来获得值（-40db + 40db + 0 + 0 = 0db）。

波特图的相位裕度和增益裕度

相位角在各种频率值下计算。频率通常是绘制波特图幅值部分所选择的相同频率。为了方便绘制，相位和幅值部分绘制在单个半对数图纸上，具有通用的频率刻度。这也可以节省时间。

相位裕度与相位角的关系如下

Y = 180 + a

其中，

Y 是相位裕度

a 是相位角

它在增益交叉频率下计算。

如果相位交叉频率为负，则系统的增益裕度为正。类似地，如果相位交叉频率为正，则系统的增益裕度为负。

让我们讨论一个有助于我们清楚理解波特图概念、其步骤以及在半对数图纸上绘制的示例。

示例：绘制传递函数 G(s) = Ks²/(1 + 0.2s)(1 + 0.02s) 的波特图。

并确定系统增益 K 和增益交叉频率为 5 弧度/秒。

解决方案

G(s) = Ks²/(1 + 0.2s)(1 + 0.02s)

步骤 1：查找转折频率

在这里，我们将首先找到 G(jω) 的值。

G(jω) = K j²ω²/(1 + 0.2jω)(1 + 0.02jω)

将在 T1 和 T2 处有两个转折频率，分别为 0.2 和 0.02。

因此，转折频率为 1/0.2 = 5 弧度/秒 和 1/0.02 = 50 弧度/秒。

步骤 2：准备表格

如上述步骤中所述，我们将准备一个表格。有三个独立因子，j²ω²、1/(1 + 0.2jω) 和 1/(1 + 0.02jω)。因此，表格将包含三项，如下所示

由于其平方，第一项的斜率为 40。斜率变化包括从上到下斜率的总和。第一行由于上面没有项，因此没有斜率变化。

步骤 3：我们将找到一个低于第一个转折频率的频率 + 一个高于第二个转折频率的频率。

增益 A = |G(jω)| = 20 log | j²ω²|

我们将计算所选低频、两个转折频率和高频下的增益值。

让我们选择频率 0.5，它低于第一个转折频率。

在 ω = 低频时，增益值为

A = |G(jω)| = 20 log | j²ω²|

A = 20 log | 0.5²|

A = 20 log 0.25

A = 12 db

在 ω = 第一个转折频率（5 db）时，增益值为

A = |G(jω)| = 20 log | j²ω²|

A = 20 log | 5²|

A = 20 log 25 或 40 log 5

A = 28 db

现在，在第二个转折频率和所选的较高转折频率下，我们将使用公式

Gain at ω_y = (Slope from ωx to ωy x log ωy/ωx] + gain at ωx

At ω_c2 = (Slope from ωc1 to ωc2 x log ωc2/ωc1] + gain at ω (ω = ωc1)

其中，

ωc1 = 第一个转折频率

ωc2 = 第二个转折频率

从 ωc1 到 ωc2 的斜率 = 第二行的斜率变化

在 ω = 第二个转折频率（50 db）时，增益值为

Gain = 20 log 50/5 + 28 = 20 log 10 + 28 = 20 + 28 = 48 db

At ω_h = (Slope from ωc2 to ωh x log ωh /ωc2] + gain at ω (ω = ωc2)

其中，

ωc1 = 第一个转折频率

ωc2 = 第二个转折频率

ωh = 所选的较高频率

从 ωc1 到 ωc2 的斜率 = 第二行的斜率变化

设所选的较高频率为 100 db。

在 ω = 第二个转折频率（50 db）时，增益值为

Gain = 0 log 100/50 + 28 = 0 log 2 + 48 = 0 + 48 = 48 db

步骤 4：相位图

给定传递函数的相位角为

Phase angle = 180 - tan^-1 0.2ω - tan^-1 0.02ω

jω 项的角度为 90 度。其平方将导致 180 度的角度。

让我们在不同 ω 值下找到相位角的值。下表显示了

我们可以考虑给定相位角值的近似值。

步骤 5：计算 K 值

在频率为 5 弧度/秒时，增益 K 的值为 28 db。因此，幅值图的每一点都是通过将图以 K = -1 移动 -28db 向下获得的。

因此，-28db 项由 K 项贡献。

20 log K = -28db

Log K = -28/20 = 0.0398

幅值图和相位图如下所示

图的精确值

我们知道精确图比实际图低 3 db。因此，对于精确图，-28 db + 3db = -25db 项由 K 项贡献。

20 log K = -25db

Log K = -25/20 = 0.0562

最后，让我们讨论它的一些优点和缺点。

波特图的优点

波特图的优点如下

• 它涵盖了低频和高频。
• 波特图以增益裕度和相位裕度形式提供了系统的相对稳定性。
• 它可以绘制为闭环系统和开环系统。
• 它还为我们提供了一种提高系统稳定性 的方法。
• 它将幅值的乘法转换为加法。
• 波特图的绘制源于一种简单的方法。
• 信息损失非常少。
• 它包含两个图，消除了幅值图和相位图之间的混淆。
• 波特图基于渐近近似，该近似使用直线段在半对数图上进行绘制。

波特图的缺点

波特图的缺点如下

• 系统的基本行为不会频繁改变。因此，波特图对测量系统中发生的更改不敏感。
• 它没有清楚地预测给定传递函数中不同因子的个体贡献。