劳斯-赫尔维茨判据

在讨论劳斯-赫尔维茨判据之前，首先我们将学习稳定系统、不稳定系统和临界稳定系统。

1. 稳定系统：如果特征方程的所有根都位于“S”平面的左半部分，则该系统被称为稳定系统。
2. 临界稳定系统：如果系统的所有根都位于“S”平面的虚轴上，则该系统被称为临界稳定系统。
3. 不稳定系统：如果系统的所有根都位于“S”平面的右半部分，则该系统被称为不稳定系统。

劳斯-赫尔维茨判据的陈述

劳斯-赫尔维茨判据指出，当且仅当第一列的所有根具有相同的符号时，任何系统都可以是稳定的，如果它没有相同的符号或存在符号更改，则第一列中符号更改的次数等于特征方程在 s 平面右半部分的根数，即等于具有正实部的根数。

稳定性的必要但不充分条件

我们必须遵循一些条件才能使任何系统稳定，或者我们可以说，有一些必要的条件可以使系统稳定。

考虑一个具有特征方程的系统

1. 方程的所有系数应具有相同的符号。
2. 不应有缺失项。

如果所有系数都具有相同的符号并且没有缺失项，我们不能保证系统会稳定。为此，我们使用劳斯-赫尔维茨判据来检查系统的稳定性。如果以上给定的条件不满足，则该系统被认为是不稳定的。此判据由 A. Hurwitz 和 E.J. Routh 给出。

劳斯-赫尔维茨判据的优点

1. 我们可以找到系统的稳定性，而无需求解方程。
2. 我们可以很容易地确定系统的相对稳定性。
3. 通过这种方法，我们可以确定稳定性的 K 值范围。
4. 通过这种方法，我们还可以确定根轨迹与虚轴的交点。

劳斯-赫尔维茨判据的局限性

1. 该判据仅适用于线性系统。
2. 它不提供极点在 S 平面右半部分和左半部分的精确位置。
3. 在特征方程的情况下，它仅对实系数有效。

劳斯-赫尔维茨判据

考虑以下特征多项式

当系数 a0, a1, ......................an 都具有相同的符号，并且没有一个为零时。

步骤 1：将上述方程的所有系数排列成两行

步骤 2：从这两行中，我们将形成第三行

步骤 3：现在，我们将使用第二行和第三行形成第四行

步骤 4：我们将继续执行此形成新行的过程

示例

检查特征方程给定的系统的稳定性

s4 + 2s3+6s2+4s+1 = 0

解决方案

获得系数的箭头，如下所示

由于第一列中的所有系数都具有相同的符号，即正，因此给定的方程没有具有正实部的根；因此，该系统被称为稳定的。