控制系统：补偿器

补偿器这个词来源于**补偿**。它意味着对系统结构的调整，以提供合适的性能。

控制系统中反馈的工作至关重要。为了提高系统性能，有时调整成为获得可接受反馈性能的重要部分。这是因为我们经常需要改变或修改系统的参数。在这种情况下，**补偿器**有助于改善控制系统的性能。

在重新设计控制系统时，会向其结构中添加一个称为补偿器的附加组件。它的添加是为了弥补系统性能的不足。补偿器的类型可以是**液压、电气、机械**等。

补偿器的类型

控制系统中的补偿器分类如下：

• 超前补偿器
• 滞后补偿器
• 滞后-超前补偿器

超前补偿器

控制系统中的超前补偿器产生具有相位超前的输出。这里，“超前”意味着“在前面”。它是一种后续活动。

让我们看一个超前补偿器图。如下所示：

它由两个电阻（R1和R2）和一个电容C组成。系统的传递函数由下式给出：

传递函数 = 输出/输入

超前补偿器图的输出是一个RC电路，它表明输出连接在第二支路。它只有一个电阻R2。

因此，电路的输出是R2。

V_o(s) = R2

让我们找出输入。

输入将是元件（电容和电阻）的串联或并联组合。电阻R1与电容C1并联。等效并联组合进一步与电阻R2串联。

电路中两个元件a和b的并联组合是 a x b / (a + b)

它将是：R1(1/Cs)/ (R1 + 1/Cs)

等效输入是

V_i(s) = R2 + R1(1/Cs)/ (R1 + 1/Cs)

因此，滞后补偿器的传递函数将是

传递函数 = 输出/输入 = V_o(s)/V_i(s)

= R2 / {R2 + R1(1/Cs)/ (R1 + 1/Cs)}

= R2(R1Cs + 1)/ {R1R2Cs + 1/(R1 + R2))

将上述传递函数乘以并除以R1 + R2，我们得到

R2/(R1 + R2) (R1Cs + 1)/{R1R2Cs/(R1 + R2) + 1}

设，T = R1C

A = R2/ (R1 + R2)

因此，上述传递函数可以写成

V_o(s)/V_i(s) = A (Ts + 1)/ (TAs + 1)

我们知道传递函数的分子决定了系统的零点，分母决定了极点。

因此，从给定的传递函数中，我们可以得出结论：

极点 = -1/AT

零点 = - 1/T

超前补偿器可以引入系统的最大角度由下式给出：

相角 = sin^-1(1 - A / 1 + A)

它也可以写成 90 - 2tan^-1(A)^1/2

给定最大角度时的最大频率是：1/T(A)^1/2

滞后补偿器

控制系统中的滞后补偿器产生具有相位滞后的输出。这里，“滞后”意味着“在后面”或“延迟”。

让我们看一个滞后补偿器图。如下所示：

它由两个电阻（R1和R2）和一个电容C组成。系统的传递函数由下式给出：

传递函数 = 输出/输入

滞后补偿器图的输出是一个RC电路。它清楚地表明输出连接在第二支路。它有一个电阻R2和一个串联的电容C。

因此，电路的输出是

V_o(s) = R2 + 1/Cs

让我们找出输入。

输入将是元件（电容和电阻）的串联或并联组合。电阻R1与R2和C的串联组合串联。我们将首先计算串联组合，然后与另一个串联组合结合。

电路中两个元件a和b的串联组合是 a + b

它将是：R2 + 1/Cs

等效输入是

V_i(s) = (R1 + R2 + 1/Cs)

因此，滞后补偿器的传递函数将是

传递函数 = 输出/输入 = V_o(s)/V_i(s)

= R2 + 1/Cs/ (R1 + R2 + 1/Cs)

= CsR2 + 1/(Cs(R1 + R2) + 1)

= Ts + 1/ (BTs + 1)

设，T = CR2

B = (R1 + R2)

因此，上述传递函数可以写成

V_o(s)/V_i(s) = 1 + Ts/ 1 + BTs

我们知道传递函数的分子决定了系统的零点，分母决定了极点。

因此，从给定的传递函数中，我们可以得出结论：

极点 = -1/BT

零点 = - 1/T

超前补偿器可以引入系统的最大角度由下式给出：

相角 = sin^-1(1 - B / 1 + B)

给定最大角度时的最大频率是：1/T(B)^1/2

在开始讨论差异之前，让我们先讨论补偿器中的GCP（增益交越点）。

GCP

补偿器中的增益交越点是指开环增益首次达到1的频率点。我们也可以说，GCP是开环增益达到0分贝轴的点。这是因为增益1的对数形式值为0（log 1 = 0）。

相位超前和相位滞后补偿器之间的差异如下：

滞后-超前补偿器

顾名思义，滞后-超前补偿器是滞后补偿器和超前补偿器的组合。

控制系统中的滞后补偿器产生具有相位滞后的输出。控制系统中的超前补偿器产生具有相位超前的输出。因此，滞后-超前补偿器在一个频率区域产生相位滞后的输出，在另一个频率区域产生相位超前的输出。

让我们看一个滞后-超前补偿器图。如下所示：

它由两个电阻（R1和R2）和两个电容C1和C2组成。系统的传递函数由下式给出：

传递函数 = 输出/输入

滞后补偿器图的输出是一个RC电路，它表明输出连接在第二支路。它有一个电阻R2和一个串联的电容C2。

因此，电路的输出是

V_o(s) = R2 + 1/C2s

让我们找出输入。

输入将是元件（电容和电阻）的串联或并联组合。电阻R1与电容C1并联。第二支路是电阻R2和C2的串联组合。我们将首先计算C2和R2的串联组合，R1和C1的并联组合，然后将两者作为串联组合。

电路中两个元件a和b的串联组合是 a + b

它将是：R2 + 1/C2s

并联组合将是：R1 x 1/C1s/(R1 + 1/C1s)

等效输入将是上述组合的串联组合，由下式给出：

V_i(s) = R2 + 1/C2s + R1 x 1/C1s/(R1 + 1/C1s)

V_i(s) = {(R2 + 1/C2s) (R1 + 1/C1s) + R1 x 1/C1s}/ ((R1 + 1/C1s)

因此，滞后补偿器的传递函数将是

传递函数 = 输出/输入 = V_o(s)/V_i(s)

=( R2 + 1/C2s)/ {(R2 + 1/C2s) (R1 + 1/C1s) + R1 x 1/C1s}/ ((R1 + 1/C1s)

= (R2 + 1/C2s) (R1 + 1/C1s) /R1R2C1C2s² + (R1C1 + R2C2 + R1C2)s + 1

设，AT1 = R1C1

BT2 = R2C2

T1T2 = R1R2C1C2，

如果AB = 1

V_o(s)/V_i(s) = (1 + AT1s) (1 + BT2s)/ (1 + T1s) (1 + T2s)

因此，上述传递函数可以写成

V_o(s)/V_i(s) = (1 + AT1s) (1 + BT2s)/ (1 + T1s) (1 + T2s)

滞后-超前补偿器的优点

滞后-超前补偿器的优点如下：

• 我们知道滞后补偿器改善系统的稳态性能，超前补偿器提高瞬态响应的速度。因此，当系统需要快速响应和稳态性能时，使用两者的组合（滞后-超前补偿器）。

滞后-超前补偿器的应用

滞后-超前补偿器的应用如下：

• 它用于机器人技术、激光频率稳定、卫星控制、LCD（液晶显示器）等。
• 它是模拟控制系统的重要模块之一。
• 它用于改善系统参数，例如带宽、瞬态响应和减少稳态误差。
• 它还改善系统的频率响应。

示例

让我们讨论一些基于补偿器的例子。这些例子将是多项选择题，因为它们有助于我们应对竞争性考试。

示例 1： 求传递函数为 (1 + 6s) / (1 + 2s) 的超前补偿器提供的相移。

传递函数 = (1 + 6s) / (1 + 2s)。

1. 30度
2. 15度
3. 45度
4. 60度

答案： (a) 30度

解释： 超前补偿器的传递函数形式为

= (s + 1/T) 除以 (s + 1/AT)

比较：

(1 + 6s) / (1 + 2s) 或 (s + 1/T) / (s + 1/AT)，我们得到

A = 1/3

超前补偿器的最大相移由下式给出：

相角 = sin^-1(1 - A / 1 + A)

= sin^-1(1 - 1/3 / 1 + 1/3)

= sin^-1(2/4)

= sin^-1(1/2)

= 30度

示例 2： 下面给出的传递函数代表哪种类型的补偿器。

传递函数 = 1 + 0.5s/ 1 + s

1. 超前补偿器
2. 滞后补偿器
3. 滞后-超前补偿器
4. 比例积分控制器

答案： (b) 滞后补偿器

解释： 滞后补偿器的传递函数形式为 V_o(s)/V_i(s) = 1 + Ts/ 1 + BTs。

比较后，我们可以发现给定的传递函数是一种滞后补偿器。

示例 3： 增益常数K的相位超前补偿器，

1. 增加相位裕度
2. 增加增益交越频率
3. 在整个频率范围内减小斜率幅度曲线
4. 以上全部。

答案：(d) 以上均正确

解释： 由于在增益交越点附近添加了相角，相位裕度增加。由于高频增益的增加，增益交越频率也增加。它还在整个范围内减小了斜率幅度曲线。

示例 4： 用于闭环系统控制器的超前补偿器具有以下传递函数 K(1 + s/a)/(1 + s/b)。这种超前补偿器的条件由下式给出：

1. a < b
2. b < a
3. a < Kb
4. a > Kb

答案： (a) a < b

解释： 相位超前补偿器的相角通常为正。

它由下式给出

Tan^-1w/a - tan^-1w/b

为了使角度为正，

Tan^-1w/a 应该大于 tan^-1w/b。

因此，a < b