传递函数

系统的传递函数定义为输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比，其中所有初始条件都为零。

其中，

获取传递函数的步骤 -

步骤 1 编写微分方程。

步骤 2 求出方程的拉普拉斯变换，假设初始条件为“零”。

步骤 3 取输出与输入之比。

步骤 4 如下编写 G(S) 的方程 -

这里，a 和 b 是常数，S 是一个复变量

传递函数的特征方程 -

这里，线性系统的特征方程可以通过将分母与传递函数的多项式相等来获得，即为零。因此，方程 1 的传递函数的特征方程将是

an sn+a(n-1) s(n-1)+.........+a1 s+a0=0

传递函数的极点和零点 -

考虑方程 1，分子和分母可以分别分解为 m 和 n 项

其中， 被称为增益因子，'s' 是复频率。

极点

极点是传递函数的频率，对于这些频率，传递函数的值变为零。

零点

零点是传递函数的频率，对于这些频率，传递函数的值变为零。

我们将应用 Sridharacharya 方法来找到极点和零点的根 -

如果任何极点或零点重合，则这些极点和零点称为多重极点或多重零点。

如果极点和零点不重合，则这些极点和零点称为简单极点或简单零点。

例如：

找到以下函数的传递函数

该函数的零点是 S = -3，该函数的极点是 S = 0，S = -2，并在 S = -4 处有多重极点，即在 S = -4 处的 2 阶极点。

当我们考虑整个“S”平面时，会出现两种情况

1. 如果零点的数量小于极点的数量，即 Z<P，则传递函数的值变为零，当 S?? 且此类零点的阶数为 P-Z。

2. 如果极点的数量小于零点的数量，P<Z，则传递函数的值变为无穷大，当 S?? 且此类极点的阶数为 Z-P。

用于在 S 平面上定位极点和零点的符号是“X”和“O”。 极点用“X”表示，零点用“O”表示。 上例的零极点图如下 -

示例 1

找到给定网络的传递函数。

解决方案

步骤 1

步骤 2：通过取等式（1）和等式（2）的拉普拉斯变换，并假设所有初始条件为零。

步骤 3：传递函数的计算

等式 (5) 是传递函数

示例- 2

找到下图的传递函数。

解决方案 -

步骤 1：在节点“a”处应用 KCL。

现在将所有值放入等式 (1) 中

对等式 (2) 进行拉普拉斯变换