状态变量分析：带解释的例子

在继续讲解示例之前，让我们首先讨论一下状态变量的简要介绍。

状态是指一组变量，了解这些变量有助于我们预测控制系统的行为。状态变量与输入函数一起提供了系统的未来状态和输出。状态变量分析的要素包括状态向量、状态空间、状态方程和状态变量表示。

状态变量是描述系统行为所需的 n 个变量，状态轴是描述坐标轴的区域。类似地，状态方程是 n 个方程的集合，状态变量表示以状态变量的形式描述，例如 x1(t)、x2(t) 等。系统的输入、输出、初始条件等都以这些元素的形式描述。

在这里，我们将以多项选择题的形式讨论这些例子，因为它们将帮助我们进行考试。

示例 1： 一个系统由状态方程 X' = AX + BU 描述。输出由 Y = CX 给出，其中

并且 C = [1 0]

系统的传递函数是

1. s/s² + 5s + 7
2. 2s/s² + 5s + 7
3. 1/s² + 5s + 7
4. s/s² + 3s + 5

答案： (a) s/s² + 5s + 7

说明： 找到系统传递函数的方程由下式给出

C [SI - A]^-1B + D

其中，

I 始终是单位矩阵。

在上述方程中计算 A、B、I 和 C 的值，我们得到

传递函数 = C [SI - A]^-1B + D

= s/s² + 5s + 7

因此，正确的答案是选项 (a)。

示例 2： 找到下面给出的矩阵的特征值的总和

1. 15
2. 12
3. -10
4. 10

答案： (d) 10

说明： 找到特征值总和的快捷方法是将给定矩阵的对角线中的元素相加。

对角线元素为 2、1、3 和 4。 它们的总和等于 2 + 1 + 3 + 4 = 10

因此，正确的答案是 10。

示例 3： 由方程表示的系统由以下公式给出

并且 Y = [1 0]

找到系统的等效传递函数。

1. s/s² + 3s + 3
2. 1/s² + 3s + 2
3. 5/s² + 5s + 2
4. 2/s² + 3s + 5

答案： (b) 1/s² + 3s + 2

说明： 找到系统传递函数的方程由下式给出

C [SI - A]^-1B + D

其中，

I 始终是单位矩阵。

在上述方程中计算 A、B、I 和 C 的值，我们得到

传递函数 = C [SI - A]^-1B + D

= 1/s² + 3s + 2

示例 4： 状态空间表示中的可观察性条件可以通过以下条件确定

1. [C^T A^TC^T]
2. [B^T A^TB^T]
3. [A^T A^TC^T]
4. 无

答案： (a) [C^T A^TC^T]

说明： 可观察性条件可以从条件 [C^T A^TC^T] 确定。

示例 5： 由方程给出的系统模型为

Y '= [1 1] x

1. 可控
2. Observable
3. 两者 (a) 和 (b)
4. 既非 (a) 也非 (b)

答案： (c) 两者 (a) 和 (b)

说明： 我们知道该方程以 AX + BU 的形式表示。

通过比较，我们得到

C = [1 1]

可以通过形成矩阵 [B AB] 来检查给定状态方程的能控性。可以通过形成矩阵 [C^T A^TC^T] 来检查给定状态方程的可观察性。如果这些矩阵的行列式不等于零，则称为可观察或可控。

为能控性形成的矩阵由下式给出

[B AB]

上述矩阵的行列式为：0 x -3 - 1 = -1

它不等于 0。因此，该矩阵是可控的。

现在，让我们检查可观察性。

为可观察性形成的矩阵由下式给出

[C^T A^TC^T]

上述矩阵的行列式为：1 x -2 - 2 = -4

它不等于 0。因此，该矩阵是可观察的。

因此，由给定状态方程描述的系统模型是可控且可观察的。

示例 6： 系统的状态方程可以写成

1. 一阶微分方程
2. 二阶微分方程
3. 三阶微分方程
4. 以上都不是

答案： (a) 一阶微分方程

说明： 系统的状态方程使用状态变量 x1、x2、x3 ? xn 以一阶微分方程的形式书写。

示例 7： LTI 系统由以下状态模型描述

查找系统是否

1. 完全可控
2. 完全可观察
3. 非完全可控但完全可观察
4. 非完全可观察但完全可控

答案： (c) 非完全可控但完全可观察

说明： 可以通过形成矩阵 [B AB] 来检查给定状态方程的能控性。可以通过形成矩阵 [C^T A^TC^T] 来检查给定状态方程的可观察性。

我们将使用以上两个条件来确定可控性和可观察性。

我们可以检查行列式或所形成矩阵的秩。如果这些矩阵的行列式不等于零，则称为可观察或可控。如果矩阵的秩等于其阶数，则称为可观察或可控。

让我们开始。

通过比较给定的状态模型，参数为

现在，矩阵 [B AB] 由下式给出

上述矩阵的行列式等于 0。因此，它不是完全可控的。我们也可以说，矩阵的秩不等于其阶数 (2)。

现在，矩阵 [C^T A^TC^T] 由下式给出

上述矩阵的行列式不等于 0。因此，它是完全可观察的。我们也可以说，矩阵的秩等于其阶数 (2)。

因此，给定的状态模型是完全可观察的，但不是完全可控的。