NP 完全性

引言

NP-完全性是理论计算中的一个基本概念，它解决了某些计算问题的固有难度。缩写“NP”代表非确定性多项式时间，这是一类可以用非确定性图灵机在多项式时间内解决的决策问题。NP-完全性能够识别和分类那些被认为本质上是困难的问题，因为解决它们的有效算法可能不存在。Stephen Cook 于1971年引入了这个概念，当时他展示了某些具有一定复杂程度的问题的存在。NP-完全性的基石是NP类别中“硬”问题的概念。如果一个决策问题满足两个关键条件，则称其为NP-完全：属于NP：可以使用确定性多项式时间算法快速检查问题的解决方案。如果有人提出了解决方案，其正确性可以相对有效地验证。难度：该问题至少与NP中最难的问题一样困难。如果存在针对每个NP-完全问题的有效算法，那么NP中的所有问题都存在有效算法。这被称为 Cook-Levin 定理，它证明了布尔可满足性问题 (SAT) 的 NP-完全性。NP-完全性的重要性在于它对算法效率的影响。如果能为每个 NP-完全问题找到一个有效算法，这将意味着所有 NP 问题都存在有效算法。

基本上，问题是每个可以快速解决的问题是否也可以快速解决。识别新的NP-完全问题一直是研究的关键领域，许多图论、优化和规划等各个领域的知名问题已被证明是NP-完全的。NP-完全性对密码学、优化和理解计算的局限性具有深远的影响。自2021年9月我的上次数据更新以来，P vs. NP 问题仍然是计算机科学中最重要的未解决问题之一。

NP-完全性的历史

NP-完全性的历史与计算复杂性理论的发展以及计算问题固有难度的研究密切相关。以下是NP-完全性历史上的主要里程碑的简要概述：布尔可满足性问题 (SAT)：NP-完全性概念由 Stephen Cook 在他1971年的里程碑式论文《定理证明过程的复杂性》中引入。Cook 通过确立布尔可满足性问题 (SAT) 的 NP-完全性，展示了 NP-完全问题的存在。Cook 的结果是开创性的，为 NP-完全性理论奠定了基础。Cook-Levin 定理：Stephen Cook 的论文提出了 Cook-Levin 定理，该定理表明布尔可满足性问题是 NP-完全的。该定理是 NP-完全性的基础，也是证明其他问题的 NP-完全性的起点。21个 NP-完全问题：1972年，Richard Karp 发表了开创性论文《组合问题之间的可归约性》，其中他确定了21个不同的 NP-完全组合问题。这项工作表明，许多不同领域（包括图论、集合论和优化）中的计算难度是相同的。各种问题的 NP-完全性证明：在 Karp 最初的21个问题之后，研究人员继续证明了各个领域中其他问题的 NP-完全性。这涉及调度、图着色和旅行商问题。复杂性类别的开发：随着研究人员探索计算复杂性的领域，定义了其他复杂性类别，例如 P（多项式时间）、NP（非确定性多项式时间）和 co-NP。P vs. NP 问题（即 P 是否等于 NP）成为该领域的核心问题，并且仍然悬而未决。Cook 的定理和 Levin 的工作：Cook 的早期工作具有影响力，Leonid Levin 大约在同一时间独立开发了类似的想法。Levin 的工作促进了对 NP-完全性和复杂性理论的理解。其他研究人员的贡献：许多其他研究人员对 NP-完全性领域做出了重要贡献，包括 Michael Sipser、Neil Immerman 等人，他们将该理论扩展到多项式时间层次和空间复杂性等概念。实际意义：尽管 NP-完全性意味着理论上的难度，但它也具有实际意义。许多被认为是 NP-完全的现实世界问题表现出类似的计算挑战。这导致了近似算法和启发式算法的开发，以在实践中解决这些问题。NP-完全性的历史以对计算性质、高效算法的限制以及基于其固有难度的问题分类的研究为特征。P vs. NP 问题仍然是计算机科学中最重要的未解决问题之一。

NP-完全性问题

NP-完全性概念是计算复杂性理论中的一个核心主题。它指的是一类问题，它们既属于 NP（非确定性多项式时间）复杂性类，而且，通俗地说，与最难的 NP 问题一样难。如果一个问题至少与 NP-最难的问题一样难，则称其为 NP-完全。以下是 NP-完全性的一些关键点和问题：NP-完全性的定义：如果一个决策问题可以快速解决（在多项式时间内），则它属于 NP。如果一个问题属于 NP 并且 NP 中的任何问题都可以在多项式时间内归约到它，则它是一个 NP-完全问题。Cook 定理：Cook 定理由 Stephen Cook 于1971年证明，首次确立了 NP-完全性的概念。这表明布尔可满足性问题 (SAT) 是 NP-完全的。多项式时间归约的传递性：如果问题 A 可以在多项式时间内归约到问题 B，并且 B 是 NP-完全的，那么 A 也是 NP-完全的。这是证明许多问题 NP-完全性的基础。NP-完全性的后果：如果任何 NP-完全问题都可以在多项式时间内解决，那么 NP 中的每个问题都可以在多项式时间内解决。这被称为 P vs. NP，它是计算机科学中最著名的开放问题之一。常见的 NP-完全问题：许多众所周知的问题都是 NP-完全的，包括旅行商问题、背包问题和团问题。实际意义：一个问题的 NP-完全性不一定意味着它在实践中难以解决。这意味着随着输入大小的增加，解决确定性算法问题所需的时间呈指数增长。近似算法：对于许多 NP-完全问题，在多项式时间内找到精确解是不太可能的。相反，通常使用近似算法在合理的时间内找到最优解。应用：NP-完全问题在许多领域都有应用，包括密码学、优化、规划和物流。启发式方法：由于 NP-完全问题的精确解很难找到，因此在实践中通常使用启发式方法和近似算法来找到足够好的解决方案。理解 NP-完全性对于高效计算的限制具有重要意义，并对计算中算法设计和问题解决策略产生影响。

解决 NP-完全性问题

NP-完全问题是一项艰巨的任务，因为根据定义，这些问题可能难以有效（在多项式时间内）解决。但是，人们可以使用几种策略和方法来解决 NP 相关问题。

1. 正确算法：尽管 NP-完全问题通常很难精确解决，但这些问题的某些情况可以有效解决。精确算法对于小问题或特殊情况可能是可行的。
2. 近似算法：近似算法不追求精确解，而是提供保证接近最优解的解决方案。这些算法通常具有多项式时间复杂性，适用于实际应用。
3. 启发式算法：启发式算法旨在快速找到一个好的（但不一定是最好的）解决方案。它们通常用于大型 NP-完全问题，其中找到精确解是不切实际的。示例包括遗传算法、模拟退火和局部搜索算法。
4. 问题特定技术：某些 NP-完全问题具有可用于开发特殊算法的特殊属性。了解给定问题的特征可以导致开发更有效的算法。
5. 参数复杂性：在参数复杂性理论中，目标是识别使问题易于解决的参数。尽管该问题通常是 NP-完全的，但如果某些参数很小，则可以在多项式时间内解决。
6. 并行和分布式计算：一些 NP-完全问题可以使用并行或分布式计算更有效地解决。将大问题分解为可以同时解决的较小子问题可以加快整体解决方案。
7. 基于问题的推导：在某些情况下，基于问题的推导可用于将单个 NP-完全问题实例转换为具有已知属性的问题实例。这可以允许将现有算法或启发式方法用于其他问题。专用设备：使用 GPU 或量子计算机等专用硬件可以加速某些类型的 NP 相关问题。
8. 预处理和剪枝：预处理技术可用于在应用更复杂的算法之前简化问题。剪枝技术可以从搜索空间中删除不太可能导致最优解的分支。
9. 元启发式：元启发式方法，如遗传算法、粒子群优化和蚁群优化，是常见的解决问题策略，可以适应各种 NP 相关问题。需要注意的是，方法的选择取决于特定的 NP-完全问题、问题实例的大小和可用资源。许多实际应用结合使用这些技术来找到 NP 相关问题的实际解决方案。但是，重要的是要了解，在某些情况和问题大小下，找到最优解仍然具有计算挑战性。

NP-完全性的计算复杂性

NP-完全性的计算复杂性是一个与称为 NP-完全性的问题类别相关的概念。以下是快速概述：NP-完全性

NP（非确定性多项式时间）：NP 是一类决策问题，对于这些问题，可以使用确定性算法快速（在多项式时间内）验证给定解决方案。术语“非确定性”表示给定解决方案可以快速验证，但不保证快速找到解决方案。

NP-完全（非确定性多项式完成时间）：NP-完全问题是一类特殊的 NP 问题，它们可以说是 NP 中最难的问题之一。如果任何 NP-完全问题都存在多项式时间算法，那么所有 NP 问题都存在多项式时间算法（称为 P = NP）。NP-完全问题在某种意义上是“与 NP-困难问题一样难”。

计算机复杂性：计算复杂性涉及算法的效率以及运行时或资源需求如何随输入大小而增长。关键点：多项式时间放大：NP-完全问题的解决方案可以在多项式时间内验证。这意味着一旦您有了提议的解决方案，您就可以在多项式时间内检查其正确性。

没有已知的多项式时间解决方案：NP-完全问题的一个重要特性是，尽管解决方案可以在多项式时间内检查，但目前没有已知的多项式时间算法来查找解决方案。影响：如果为任何 NP-完全问题找到了多项式时间算法，这意味着 NP 中的所有问题都存在多项式时间算法。但是，截至2021年9月我的最后一次信息更新，尚未找到此类算法。

Cook 定理：Stephen Cook 的定理确立了 NP-完全性的概念。他表明布尔可满足性问题 (SAT) 是 NP-完全的。后来通过将其归约到 SAT 或其他已知的 NP-完全问题，证明了许多其他问题是 NP-完全的。总之，NP-完全性是计算复杂性理论中的一个关键概念，它表明解决一类问题的特定难度。NP-完全问题是否存在多项式时间算法是一个开放问题，对计算理论具有重要意义。

决策与优化 NP-完全性问题

决策问题涉及确定给定问题是否有解，答案是“是”或“否”。它们通常与字符串语言相关联，其中“是”实例在语言内部，“否”实例在语言外部。另一方面，优化问题需要找到可行解中的最佳解。这些问题通常涉及定义一个要最小化或最大化的目标函数。尽管决策问题通常用于定义 NP-完全性，但许多优化问题是 NP-难的，这表明找到最优解在计算上是困难的。决策和优化问题之间的联系可以通过优化问题的决策版本如何用作子例程来看到。例如，为了解决优化问题，决策算法可以迭代使用以检查在某些约束下是否存在解决方案。在 NP-完全性上下文中，决策问题通常是证明的核心，经典示例包括布尔可满足性问题 (SAT)。但是，这种联系通过其相关的决策版本扩展到优化问题，这些决策版本本身可能是 NP-完全的。例如，旅行商问题 (TSP) 具有一个 NP-完全的决策版本，它询问是否存在给定最大长度的解决方案。总之，决策和优化问题提供了计算复杂性的互补视角，决策问题是 NP-完全性证明的基础，而优化问题反映了在 NP-难下寻找最优解的挑战。

NP-完全性属性

NP-完全性以计算复杂性理论的几个基本特征为特征：多项式时间验证：NP-完全问题的解决方案可以在多项式时间内验证，从而实现高效的正确性检查。Cook 定理：Cook 定理确立了 NP-完全问题的存在，作为布尔可满足性问题 (SAT) 的典型示例。多项式时间归约：NP-完全问题受多项式时间归约的约束，这意味着一个 NP-完全问题的多项式时间算法将扩展到所有 NP-完全问题。多项式时间归约下的完全性：NP-完全性在多项式时间归约下得以保留，这意味着如果问题 A 可以多项式时间归约到问题 B 并且问题 B 是 NP-完全的，那么问题 A 也是 NP-完全的。指数时间假设：NP-完全问题不能在多项式时间内解决的信念包含在指数时间假设 (ETH) 中。搜索问题和决策问题：尽管 NP-完全性通常在决策问题的上下文中讨论，但对于目标是寻找解决方案的搜索问题也很重要。近似难度：许多 NP-完全优化问题在特定范围内难以近似。实际意义：NP-完全性对算法设计具有实际意义，其中通常使用近似算法和启发式方法来寻找足够好的解决方案。加密：解决 NP-完全问题的预期难度是广泛使用的加密方案的基础。P vs. NP 问题：P 是否等于 NP 的开放问题是 NP-完全性的核心，影响计算效率的理论限制。理解这些属性有助于深入了解 NP-完全性的复杂性和重要性，对算法分析、加密协议以及我们对计算机系统属性和限制的理解具有影响。

NP-完全性推理详情（无要点）NP-完全性是计算复杂性理论领域的一个关键概念，它阐明了某些计算问题的固有难度。NP（非确定性多项式时间）的核心包含决策问题，其解决方案可以有效地检查。在 NP 中，一类被称为 NP-完全的问题具有显着的特性，即它们与 NP 中最难的问题一样难。NP-完全性的核心在于 Stephen Cook 的开创性定理，通常被称为 Cook 定理或 Cook-Levin 定理，它确立了布尔可满足性问题 (SAT) 的 NP-完全性。这意味着 NP 中的任何问题都可以在多项式时间内转换为 SAT，这表明 NP-完全问题之间存在深远的相互关联性。P 是否等于 NP 这个有趣的问题涉及 NP-完全性的性质。确定 P（可在多项式时间内解决的问题）等于 NP 将意味着存在一种高效算法来解决 NP 中的任何问题，从而最大限度地缩小快速可验证和快速可解决问题之间的差异。这个问题仍然是计算机科学中最重要的开放问题之一，对计算的性质具有巨大的影响。在实践中，NP-完全性的后果延伸到识别可能缺乏高效算法的问题。尽管尚未找到 NP-完全问题的多项式时间解决方案，但研究人员已经开发了近似算法和启发式方法来提供实用但次优的解决方案。此外，NP-完全性的重要性渗透到密码学领域。某些 NP-完全问题，例如整数因式分解和离散对数问题，构成了密码协议的基础。有效解决这些问题的预期难度是广泛使用的加密方法安全性的基础。总之，NP-完全性是计算复杂性理论的基石，并提供了对解决某些问题所面临挑战的深刻见解。其悬而未决的问题继续推动研究，并塑造我们对高效计算极限的理解，其实际应用范围从算法设计到加密安全。