分数背包 vs 0/1 背包问题

在了解分数背包问题和0/1背包问题的区别之前，我们应该分别了解分数背包问题和0/1背包问题。

什么是背包问题？

假设你有一个容量有限的背包或袋子，每个物品都有一定的重量和价值。这里的问题是“应该将哪些物品放入背包中，使得总重量不超过限制，且物品的总价值尽可能大？”

考虑一个现实生活中的例子。假设有一个小偷进入博物馆。小偷带着一个容量有限的背包或袋子。博物馆里有各种不同价值的物品。小偷需要决定应该把哪些物品放进袋子里，才能使利润最大化。

与背包问题相关的一些重要点是：

• 它是一个组合优化问题。
• 给定N个物品的集合——通常从1到N编号；每个物品都有质量wi和价值vi。
• 它确定每个物品要包含在集合中的数量，以使总重量M小于或等于给定限制，并且总价值尽可能大。
• 该问题通常出现在存在财务限制的资源分配中。

假设我们有一个15公斤的背包，所以 M = 15 公斤。这意味着背包的总重量是15公斤。放入背包的物品的总重量应该小于或等于 M。给出了一些物品，它们具有一些关键特征，即物品的重量和物品的价值。正如我们可以在下面观察到的，第一个物品的重量是12公斤，价值是$4；第二个物品的重量是2公斤，价值是$2；第三个物品的重量是1公斤，价值是$1；第四个物品的重量是4公斤，价值是$10；第五个物品的重量是1公斤，价值是$2。在这里，我们必须决定是否要包含该物品。

背包问题的变体

背包问题有两种变体

• 0/1背包问题：在0/1背包问题中，物品是不可分割的。这里，“不可分割”意味着我们不能分割一个物品。在这种情况下，我们要么拿一个物品，要么不拿。我们要么完全拿走物品并放入背包，要么完全不拿。我们不可能将物品的一部分放入背包。

这里，“0”表示我们不拿该物品，“1”表示我们完全拿该物品。这种类型的问题通过使用动态规划方法解决。

与0/1背包问题相关的一些重要点是：

• 在这个问题中，我们不能拿取物品的一部分。在这里，我们必须决定是否拿取物品，即x = 1，或者不拿取物品，即x = 0。
• 贪心算法在这个问题中不能提供最优结果。
• 另一种方法是按单位重量成本对物品进行排序，然后从最高成本的物品开始，直到背包装满。但这仍然不是一个好的解决方案。假设有N个物品。我们有两个选择，要么选择物品，要么不选择物品。蛮力方法的时间复杂度为O(2^N)指数级。因此，我们不使用蛮力方法，而是使用动态规划方法来获得最优解。

• 分数背包问题：在这个问题中，物品是可分割的。这里，“可分割”意味着你可以拿取物品的任意一部分。这个问题通过使用贪心算法解决。

与分数背包问题相关的一些重要点是：

• 我们知道分数背包问题可以使用物品的一部分，所以在这个问题中使用贪心算法。
• 分数背包问题可以通过首先根据物品的价值对其进行排序来解决，这可以在 O(NlogN) 时间内完成。这种方法首先找到最有价值的物品，我们尽可能多地考虑最有价值的物品，所以从价值最高的物品 v_i 开始。然后，我们考虑排序列表中的下一个物品，并通过这种方式，我们在 O(N) 的时间复杂度内执行线性搜索。
• 因此，总运行时间将是 O(NlogN) 加上 O(N)，等于 O(NlogN)。我们可以说分数背包问题比0/1背包问题解决得快得多。

0/1背包问题和分数背包问题之间的区别。