复合变换

可以将多个变换或变换序列组合成一个变换，称为复合变换。 得到的矩阵称为复合矩阵。 组合的过程称为串联。

假设我们要执行关于任意点的旋转，那么我们可以通过三个变换的序列来执行它

1. 翻译
2. 旋转
3. 反向平移

这些变换的排序序列一定不能改变。 如果矩阵以列的形式表示，则复合变换通过从右到左的顺序乘以矩阵来执行。 从前一个矩阵获得的输出与新的传入矩阵相乘。

显示复合变换的示例

放大是相对于中心的。为此，将执行以下变换序列，并且所有变换将组合为一个

步骤 1： 对象保持在其在图 (a) 中的位置

步骤 2： 平移对象，使其中心与原点重合，如图 (b) 所示

步骤 3： 通过将对象保持在原点来缩放对象，如图 (c) 所示

步骤 4： 再次进行平移。 第二次平移称为反向平移。 它会将对象定位在原点位置。

上述变换可以表示为 T_V.ST_V^-1

注意：两种类型的旋转用于表示矩阵，一种是列方法。 另一种是行方法。

矩阵的组合或串联的优点

1. 它使变换变得紧凑。
2. 操作次数将减少。
3. 用于以方程式形式定义变换的规则与矩阵相比很复杂。

两个平移的组合

设 t₁ t₂ t₃ t₄ 为平移向量。 它们是两个平移 P₁ 和 P₂。 P₁ 和 P₂ 的矩阵如下所示。 P₁ 和 P₂ 使用齐次矩阵表示，P 将是在乘法后获得的最终变换矩阵。

以上结果矩阵表明两个连续的平移是可加的。

两个旋转的组合：两个旋转也是可加的

两个缩放的组合：两个缩放的组合是乘法的。 设 S₁₁ 和 S₁₂ 是要相乘的矩阵。