进制转换

在我们上一节中，我们学习了不同类型的数制，如二进制、十进制、八进制和十六进制。在本教程的这一部分，我们将学习如何将一个数从一个数制转换为另一个数制。

由于我们有四种数制，因此每一种都可以转换为其余的三种系统。数制中有以下几种可能的转换：

1. 二进制转其他数制。
2. 十进制转其他数制。
3. 八进制转其他数制。
4. 十六进制转其他数制。

二进制转其他数制

二进制数有三种可能的转换，即二进制转十进制、二进制转八进制和二进制转十六进制。二进制数转换为十进制的过程与其他转换不同。让我们详细讨论二进制数制转换。

二进制转十进制

将二进制转换为十进制的过程非常简单。该过程首先将二进制数的各位与其对应的位权相乘，最后将所有这些乘积相加。

让我们举一个例子来理解二进制到十进制的转换是如何完成的。

示例 1: (10110.001)₂

我们将 (10110.001)₂ 的各位与其各自的位权相乘，最后将所有各位与其位权相乘的结果相加。

(10110.001)₂=(1×2⁴)+(0×2³)+(1×2²)+(1×2¹)+(0×2⁰)+
              (0×2^-1)+(0×2^-2)+(1×2^-3)
(10110.001)₂=(1×16)+(0×8)+(1×4)+(1×2)+(0×1)+
              (0×1⁄2)+(0×1⁄4)+(1×1⁄8)
(10110.001)₂=16+0+4+2+0+0+0+0.125
(10110.001)₂=(22.125 )₁₀

二进制转八进制

二进制和八进制的基数分别是 2 和 8。在二进制数中，三位一组等于一个八进制数字。将二进制数转换为八进制数只有两个步骤，如下所示：

1. 第一步，我们在二进制小数点两侧每三位分组。如果三位一组还剩一两位，则在最左边（或最右边）添加所需数量的零。
2. 第二步，我们写出与每组对应的八进制数字。

示例 1: (111110101011.0011)₂

1. 首先，我们在二进制小数点两侧进行三位分组。

111       110       101       011.001       1

在二进制小数点右侧，最后一组只有一个数字。为了使其成为一个完整的三个数字组，我们在最右边添加了两个零。

111       110       101       011.001       100

2. 然后，我们写出与每组对应的八进制数字。

(111110101011.0011)₂=(7653.14)₈

二进制转十六进制

二进制和十六进制的基数分别是 2 和 16。在二进制数中，四位一组等于一个十六进制数字。将二进制数转换为十六进制数也只有两个步骤，如下所示：

1. 第一步，我们在二进制小数点两侧每四位分组。如果四位一组还剩一、二或三位，则在最左边（或最右边）添加所需数量的零。
2. 第二步，我们写出与每组对应的十六进制数字。

示例 1: (10110101011.0011)₂

1. 首先，我们在二进制小数点两侧进行四位分组。

111 1010 1011.0011

在二进制小数点左侧，第一组有三位。为了使其成为一个完整的四位组，我们在最左边添加了一个零。

0111 1010 1011.0011

2. 然后，我们写出与每组对应的十六进制数字。

(011110101011.0011)₂=(7AB.3)₁₆

十进制转其他数制

十进制数可以是整数或浮点整数。当十进制数为浮点整数时，我们将十进制数的整数部分和小数部分分别单独转换。将十进制数转换为任何基数“r”的相应数字所使用的步骤如下：

1. 第一步，我们对整数部分和连续的商执行除以基数“r”的运算。我们将列出所有余数，直到商为零。然后，我们将余数按相反的顺序排列，以获得基数“r”的相应数字的整数部分。其中，最低有效位和最高有效位分别由第一个和最后一个余数表示。
2. 下一步，我们对小数部分和连续的小数执行乘以基数“r”的运算。直到结果为零或获得所需数量的相应数字为止，我们记下进位。为了获得基数“r”的相应数字的小数部分，我们按正常顺序考虑进位。

十进制转二进制

将十进制转换为二进制需要两个步骤，如下所示：

1. 第一步，我们对整数和连续的商执行除以二进制基数（2）的运算。
2. 接下来，我们对整数和连续的商执行乘以二进制基数（2）的运算。

示例 1: (152.25)₁₀

步骤 1

将数字 152 及其连续的商除以基数 2。

(152)₁₀=(10011000)₂

步骤 2

现在，对 0.27 及其连续的小数执行乘以基数 2 的运算。

(0.25)₁₀=(.01)₂

十进制转八进制

将十进制转换为八进制需要两个步骤，如下所示：

1. 第一步，我们对整数和连续的商执行除以八进制基数（8）的运算。
2. 接下来，我们对整数和连续的商执行乘以八进制基数（8）的运算。

示例 1: (152.25)₁₀

步骤 1

将数字 152 及其连续的商除以基数 8。

(152)₁₀=(230)₈

步骤 2

现在，对 0.25 及其连续的小数执行乘以基数 8 的运算。

(0.25)₁₀=(2)₈

因此，十进制数 152.25 的八进制数是 **230.2**

十进制转十六进制

将十进制转换为十六进制需要两个步骤，如下所示：

1. 第一步，我们对整数和连续的商执行除以十六进制基数（16）的运算。
2. 接下来，我们对整数和连续的商执行乘以十六进制基数（16）的运算。

示例 1: (152.25)₁₀

步骤 1

将数字 152 及其连续的商除以基数 8。

(152)₁₀=(98)₁₆

步骤 2

现在，对 0.25 及其连续的小数执行乘以基数 16 的运算。

(0.25)₁₀=(4)₁₆

因此，十进制数 152.25 的十六进制数是 **230.4**

八进制转其他数制

与二进制和十进制一样，八进制数也可以转换为其他数制。八进制转十进制的过程与其他转换不同。让我们开始理解转换是如何进行的。

八进制转十进制

八进制转十进制的过程与二进制转十进制相同。该过程首先将八进制数的各位与其对应的位权相乘，最后将所有这些乘积相加。

让我们举一个例子来理解八进制到十进制的转换是如何完成的。

示例 1: (152.25)₈

步骤 1

我们将 152.25 的各位与其各自的位权相乘，最后将所有各位与其位权相乘的结果相加。

(152.25)₈=(1×8²)+(5×8¹)+(2×8⁰)+(2×8^-1)+(5×8^-2)
(152.25)₈=64+40+2+(2×1⁄8)+(5×1⁄64)
(152.25)₈=64+40+2+0.25+0.078125
(152.25)₈=106.328125

因此，八进制数 152.25 的十进制数是 **106.328125**

八进制转二进制

八进制转二进制的过程是二进制转八进制的逆过程。我们将每个八进制数字写成三位二进制代码。

示例 1: (152.25)₈

我们写出 1、5、2 和 5 的三位二进制数字。

(152.25)₈=(001101010.010101)₂

因此，八进制数 152.25 的二进制数是 **(001101010.010101)₂**

八进制转十六进制

将八进制转换为十六进制需要两个步骤，如下所示：

1. 第一步，我们将找到数字 **25** 的二进制等价物。
2. 接下来，我们必须在二进制小数点两侧进行四位分组。如果四位一组还剩一、二或三位，则在最左边（或最右边）添加所需数量的零，并写出与每组对应的十六进制数字。

示例 1: (152.25)₈

步骤 1

我们写出 1、5、2 和 5 的三位二进制数字。

(152.25)₈=(001101010.010101)₂

因此，八进制数 152.25 的二进制数是 **(001101010.010101)₂**

步骤 2

1. 现在，我们在二进制小数点两侧进行四位分组。

0       0110       1010.0101       01

在二进制小数点左侧，第一组只有一个数字，在右侧，最后一组只有两个数字。为了使其成为完整的四位组，我们在最左边和最右边添加了零。

0000       0110       1010.0101       0100

2. 现在，我们写出与每组对应的十六进制数字。

(0000       0110       1010.0101       0100)₂=(6A.54)₁₆

十六进制转其他数制

与二进制、十进制和八进制一样，十六进制数也可以转换为其他数制。十六进制转十进制的过程与其他转换不同。让我们开始理解转换是如何进行的。

十六进制转十进制

十六进制转十进制的过程与二进制转十进制相同。该过程首先将十六进制数的各位与其对应的位权相乘，最后将所有这些乘积相加。 

让我们举一个例子来理解十六进制到十进制的转换是如何完成的。

示例 1: (152A.25)₁₆

步骤 1

我们将 152A.25 的各位与其各自的位权相乘，最后将所有各位与其位权相乘的结果相加。

(152A.25)₁₆=(1×16³)+(5×16²)+(2×16¹)+(A×16⁰)+(2×16^-1)+(5×16^-2)
(152A.25)₁₆=(1×4096)+(5×256)+(2×16)+(10×1)+(2×16^-1)+(5×16^-2)
(152A.25)₁₆=4096+1280+32+10+(2×1⁄16)+(5×1⁄256)
(152A.25)₁₆=5418+0.125+0.125
(152A.25)₁₆=5418.14453125

因此，十六进制数 152A.25 的十进制数是 **5418.14453125**

十六进制转二进制

十六进制转二进制的过程是二进制转十六进制的逆过程。我们将每个十六进制数字写成四位二进制代码。

示例 1: (152A.25)₁₆

我们写出 1、5、A、2 和 5 的四位二进制数字。

(152A.25)₁₆=(0001 0101 0010 1010.0010 0101)₂

因此，十六进制数 152.25 的二进制数是 **(1010100101010.00100101)₂**

十六进制转八进制

将十六进制转换为八进制需要两个步骤，如下所示：

1. 第一步，我们将找到十六进制数的二进制等价物。
2. 接下来，我们必须在二进制小数点两侧进行三位分组。如果三位一组还剩一两位，则在最左边（或最右边）添加所需数量的零，并写出与每组对应的八进制数字。

示例 1: (152A.25)₁₆

步骤 1

我们写出 1、5、2、A 和 5 的四位二进制数字。

(152A.25)₁₆=(0001 0101 0010 1010.0010 0101)₂

因此，十六进制数 152A.25 的二进制数是 **(0011010101010.010101)₂**

步骤 2

3. 然后，我们在二进制小数点两侧进行三位分组。

001     010     100     101     010.001     001     010

4. 然后，我们写出与每组对应的八进制数字。

(001010100101010.001001010)₂=(12452.112)₈

因此，十六进制数 152A.25 的八进制数是 **12452.112**