卡诺图(K-Map)方法

K-map 是一种简化布尔表达式的系统方法。借助 K-map 方法，我们可以找到最简单的 POS 和 SOP 表达式，这被称为最小表达式。K-map 提供了一本简化的食谱。

就像真值表一样，K-map 包含输入变量的所有可能值及其对应的输出值。然而，在 K-map 中，这些值存储在数组的单元格中。在每个单元格中，存储每个输入变量的二进制值。

K-map 方法用于包含 2、3、4 和 5 个变量的表达式。对于更多数量的变量，还有另一种用于简化的方法，称为 Quine-McClusky 方法。在 K-map 中，单元格的数量与变量输入组合的总数相似。例如，如果变量的数量是 3，则单元格的数量是 2³=8，如果变量的数量是 4，则单元格的数量是 2⁴。K-map 采用 SOP 和 POS 形式。K-map 网格使用 0 和 1 填充。K-map 通过分组来解决。以下步骤用于使用 K-map 求解表达式

1. 首先，我们根据变量的数量找到 K-map。
2. 在给定的表达式中找到最大项和最小项。
3. 对于 SOP，用 1 填充 K-map 的单元格，分别对应于最小项。
4. 对于 POS，用 0 填充块的单元格，分别对应于最大项。
5. 接下来，我们创建矩形组，其中包含 2 的幂的项总数，如 2、4、8、...，并尝试在一个组中覆盖尽可能多的元素。
6. 借助这些组，我们找到乘积项并将它们相加，以形成 SOP 形式。

2 变量 K-map

在 2 变量 K-map 中总共有 4 个变量。2 变量 K-map 中有两个变量。下图显示了 2 变量 K-map 的结构

• 在上图中，只有一种分组四个相邻最小项的可能性。
• 分组 2 个相邻最小项的可能组合为 {(m₀, m₁), (m₂, m₃), (m₀, m₂) 和 (m₁, m₃)}。

3 变量 K-map

3 变量 K-map 表示为一个由八个单元格组成的数组。在这种情况下，我们使用 A、B 和 C 作为变量。我们可以使用任何字母作为变量的名称。变量 A 和 B 的二进制值沿左侧排列，而 C 的值沿顶部排列。给定单元格的值是左侧同一行中 A 和 B 的二进制值与同一列中顶部 C 的值的组合。例如，左上角的单元格的二进制值为 000，而右下角的单元格的二进制值为 101。

4 变量卡诺图

4 变量 K-map 表示为一个由 16 个单元格组成的数组。变量 A 和 B 的二进制值沿左侧排列，而变量 C 和 D 的值沿顶部排列。给定单元格的值是左侧同一行中 A 和 B 的二进制值与同一列中顶部 C 和 D 的二进制值的组合。例如，右上角的单元格的二进制值为 0010，而右下角的单元格的二进制值为 1010

5 变量 K-map

借助 32 单元格 K-map，可以简化具有 5 个变量的布尔表达式。为了构造 5 变量 K-map，我们使用两个 4 变量 K-map。对于 5 变量映射，每个 4 变量映射中的单元邻接性与 4 变量映射相似。

可以使用两个 4 变量映射构造一个用于五个变量 (PQRST) 的 K-map。每个映射包含 16 个单元格，其中包含变量 Q、R、S 和 T 的所有组合。一个映射用于 P = 0，另一个映射用于 P = 1)。