使用卡诺图简化布尔表达式

正如我们所知，卡诺图可以接受 SOP 和 POS 两种形式。 因此，卡诺图有两种可能的解，即最小项解和最大项解。 让我们开始学习如何找到卡诺图的最小项和最大项解。

卡诺图的最小项解

以下是找到最小项解或卡诺图的步骤

步骤 1

首先，我们以规范形式定义给定的表达式。

步骤 2

接下来，我们通过在卡诺图单元格中输入 1 到每个乘积项并用零填充其余单元格来创建卡诺图。

步骤 3

接下来，我们通过考虑卡诺图中的每个“1”来形成组。

请注意，每个组应具有最大数量的“1”。一个组不能包含空单元格或包含 0 的单元格。

在一个组中，共有 2ⁿ 个“1”。 这里，n=0, 1, 2, …n。

示例： 2⁰=1，2¹=2，2²=4，2³=8，或 2⁴=16。

我们按递减顺序对“1”的数量进行分组。 首先，我们必须尝试制作八个一组，然后是四个一组，然后是两个一组，最后是一个一组。

以水平或垂直的方式，一组“1”以矩形和正方形的形状形成。 我们不能在卡诺图中执行对角线分组。

一组中的元素也可以用于不同的组，只有当组的大小增加时。

位于表格边缘的元素被认为是相邻的。 因此，我们可以对这些元素进行分组。

只有当“无关项”有助于增加组大小时，我们才能考虑“无关条件”。 否则，将丢弃“无关”元素。

步骤 4

在下一步中，我们找到每个组的布尔表达式。 通过查看单元格标签中常见的变量，我们根据输入变量定义组。 在下面的示例中，共有两个组，即组 1 和组 2，分别有“1”的个数为两个和一个。

在第一组中，“1”出现在 A 值为 0 的行中。 因此，它们包含变量 A 的补码。 剩余的两个“1”出现在相邻的列中。 在这些列中，只有 B 项是该组对应的乘积项 A'B。 就像组 1 一样，在组 2 中，“1”出现在 A 值为 1 的行中。 因此，此列的对应变量为 B'C'。 该组的整体乘积项是 AB'C'。

步骤 5

最后，我们找到输出的布尔表达式。 为了找到 SOP 形式的简化布尔表达式，我们将所有单个组的乘积项组合起来。 因此，以上卡诺图的简化表达式如下

让我们举一些 2 变量、3 变量、4 变量和 5 变量卡诺图的例子。

例 1：Y=A'B' + A'B+AB

简化表达式：Y=A'+B

例 2：Y=A'B'C'+A' BC'+AB' C'+AB' C+ABC'+ABC

简化表达式：Y=A+C'

例 3：Y=A'B'C' D'+A' B' CD'+A' BCD'+A' BCD+AB' C' D'+ABCD'+ABCD

简化表达式：Y=BD+B'D'

卡诺图的最大项解

使用卡诺图找到简化的最大项解与为最小项解找到的方式相同。 最大项解有一些小变化，如下所示

1. 我们将通过在卡诺图单元格中输入 0 到每个和项并将其余单元格填充为“1”来填充卡诺图。
2. 我们将对“0”而不是“1”进行分组。
3. 现在，我们将为每个组定义布尔表达式为和项。
4. 最后，为了找到 POS 形式的简化布尔表达式，我们将组合所有单个组的和项。

让我们举一些 2 变量、3 变量、4 变量和 5 变量卡诺图的例子

例 1：Y=(A'+B')+(A'+B)+(A+B)

简化表达式：A'B

例 2：Y=(A + B + C') + (A + B' + C') + (A' + B' + C) + (A' + B' + C')

简化表达式：Y=(A + C') .(A' + B')

例 3：F(A,B,C,D)=π(3,5,7,8,10,11,12,13)

简化表达式：Y=(A + C') .(A' + B')