C 语言 Ackermann 函数

阿克曼函数 (Ackermann function) 是一个双参数函数，它接受非负整数输入并返回一个非负整数。虽然它看起来很简单，但该函数的增长速度惊人，超出了常规计算方法的能力范围。

阿克曼函数以德国数学家 Wilhelm Ackermann 的名字命名，是一个递归数学方程，它接受两个非负数作为输入并输出一个非负整数。C 语言中阿克曼函数的实现采用递归。

函数描述

基本情况

• 如果 l 等于零，该方法返回 m + 1。
• 如果 m 为 0，该函数执行一个递归调用，将 l 减 1 并将 m 设置为 1。

递归情况如下

• 如果 l 和 m 都不为零，该函数执行一个递归调用，其中 l 减 1，m 设置为前一个递归调用的结果，l 和 m 都减 1。

阿克曼函数定义为

A(a,b) = b+1; 如果 a==0

A(a,b) =A(a-1,1); 如果 a>0 且 b==0

A(a,b) = A(a-1,A(a,b-1) ); 如果 a > 0 且 b > 0

阿克曼函数以其快速的增长速度而闻名，即使是对于小的输入也是如此。随着 a 和 b 的数字增加，递归调用的次数和计算的难度也会增加。这种值的增加使得它对于较大 a 和 b 值难以估计。

算法

该算法的分析

• 计算 A(a, b) 的这种方法的时间复杂度为 O(mA(a, b))。
• 计算 A(a, b) 的这种方法的空间复杂度为 O(a)。

示例

让我们举一个例子来说明 C 语言中的阿克曼函数。

说明

• ackFun(int a, int b)。此函数迭代计算阿克曼函数。
• 它符合阿克曼函数的定义，其中包括三个基本情况
  1. 如果 a = 0，则结果为 b + 1。
  2. 如果 a 大于 0 且 b 等于 0，则该过程以 a-1 和 1 重复。
  3. 如果 a 和 b 都大于 0，则程序会以 a-1 和另一个 Ackermann 调用（a 和 b-1）的结果进行递归。
• 在某些情况下，此函数没有返回语句，这可能导致未定义的行为。它必须为每个可能的路径提供一个值。
• main()：调用 ackFun(6, 4) 来计算 a = 6 和 b = 4 的阿克曼值。
• 结果保存为变量值。
• 使用 printf() 函数打印数字。