C 语言雅可比迭代法

2025年1月7日 | 阅读 4 分钟

在本文中，我们将讨论 C 语言中的雅可比迭代法及其多个示例。

什么是雅可比迭代法？

雅可比迭代是一种数值求解线性方程组的方法。它通过连续迭代逼近解，属于迭代方法范畴。由于大型稀疏系统相关的内存和计算成本，该方法在这种情况下特别有用，即高斯消元等更直接的方法不可行。

在雅可比迭代的求解过程中，需要将方程 Ax=b 分解为每个变量的更新序列，其中 A 是系数的方阵，x 是未知向量，b 是常数向量。

为了开始此方法，首先对 x(0) 进行初始估计。使用以下方程确定 x 中每个变量 xi 的更新值：

示例 1

让我们举一个例子来说明 C 语言中的雅可比迭代法。

 
#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define N 3 // Size of the system of equations

// Function to calculate the next iteration of x
void jacobi_iteration(double A[N][N], double b[N], double x[N]) {
    double x_new[N]; // Store the updated values of x
    int i, j;

    // Iterate through each equation
    for (i = 0; i < N; i++) {
        double sum = 0.0;
        for (j = 0; j < N; j++) {
            if (j != i) {
                sum += A[i][j] * x[j];
            }
        }
        x_new[i] = (b[i] - sum) / A[i][i];
    }

    // Update the original x values
    for (i = 0; i < N; i++) {
        x[i] = x_new[i];
    }
}

int main() {
    double A[N][N] = {{2, -1, 0}, {-1, 2, -1}, {0, -1, 2}}; // Coefficient matrix
    double b[N] = {1, 0, 1}; // Constants vector
    double x[N] = {0}; // Initial guess for x
    double tolerance = 1e-6; // Desired tolerance for convergence
    int max_iterations = 1000; // Maximum number of iterations

    int iteration = 0;
    double error;

    // Perform iterations until convergence or maximum iterations reached
    do {
        jacobi_iteration(A, b, x);

        // Calculate the error (norm of the residual)
        error = 0.0;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            double residual = b[i];
            for (int j = 0; j < N; j++) {
                residual -= A[i][j] * x[j];
            }
            error += residual * residual;
        }
        error = sqrt(error);

        iteration++;
    } while (error > tolerance && iteration < max_iterations);

    // Output the solution
    printf("Solution after %d iterations:\n", iteration);
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        printf("x[%d] = %lf\n", i, x[i]);
    }

    return 0;
}

输出

 
Solution after 41 iterations:
x[0] = 1.000000
x[1] = 0.999999
x[2] = 1.000000

示例 2

让我们再举一个例子来说明 C 语言中的雅可比迭代法。

 
#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define N 3 // Size of the system of equations

// Function to perform Jacobi iteration
void jacobi_iteration(double A[N][N], double b[N], double x[N]) {
    double x_new[N]; // Store the updated values of x
    int i, j;

    // Iterate through each equation
    for (i = 0; i < N; i++) {
        double sum = 0.0;
        for (j = 0; j < N; j++) {
            if (j != i) {
                sum += A[i][j] * x[j];
            }
        }
        x_new[i] = (b[i] - sum) / A[i][i];
    }

    // Update the original x values
    for (i = 0; i < N; i++) {
        x[i] = x_new[i];
    }
}

int main() {
    // Define the coefficient matrix A
    double A[N][N] = {{4, -1, 0}, {-1, 4, -1}, {0, -1, 4}};
    // Define the constants vector b
    double b[N] = {12, 6, 6};
    // Initialize the solution vector x with zeros
    double x[N] = {0};
    // Define the tolerance for convergence
    double tolerance = 1e-6;
    // Define the maximum number of iterations
    int max_iterations = 1000;

    int iteration = 0;
    double error;

    // Perform iterations until convergence or maximum iterations reached
    do {
        jacobi_iteration(A, b, x);

        // Calculate the error (norm of the residual)
        error = 0.0;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            double residual = b[i];
            for (int j = 0; j < N; j++) {
                residual -= A[i][j] * x[j];
            }
            error += residual * residual;
        }
        error = sqrt(error);

        iteration++;
    } while (error > tolerance && iteration < max_iterations);

    // Prints the Output of the solution
    printf("Solution after %d iterations:\n", iteration);
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        printf("x[%d] = %lf\n", i, x[i]);
    }

    return 0;
}

输出

 
Solution after 16 iterations:
x[0] = 3.750000
x[1] = 3.000000
x[2] = 2.250000

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