C 语言幻方矩阵

什么是幻方？

幻方是一个填充了整数的方形网格，其中每行、每列和每个对角线上的数字总和都相同。这个常数和被称为“幻常数”或“幻和”。幻方以不同的模式排列，以表示网格中的行数和列数。最常见的幻方是奇阶幻方（例如 3x3、5x5、7x7）和偶阶幻方（例如 4x4、8x8）。

历史

1. 公元前 200 年前的起源

• 洛书方是已知最早的幻方，可追溯到中国古代约公元前 2200 年。据说洛书方是出自洛水的一只乌龟背上形成的。它有一个幻常数 15，是一个 3x3 的幻方。洛书方的重要性在中国神秘主义中根深蒂固。

2. 中国的演变（公元前 200 年 - 公元 600 年）

• 在此期间，幻方在中国数学中占据突出地位。杨辉（1238-1298），一位著名的中国数学家，对幻方的研究做出了实质性贡献。

3. 中东的发展（8 世纪至 13 世纪）

• 幻方在伊斯兰世界广为人知。Al-Kindi 和 Al-Buni 等学者对幻方进行了研究和著述，他们强调了幻方的数学和艺术价值。
• Al-Khwarizmi 的著作《代数学与平衡法》（Kitab al-Jabr wal-Muqabala）中提到了幻方。

4. 欧洲文艺复兴（15-16 世纪）

• 在文艺复兴时期，欧洲数学家和画家对幻方产生了浓厚的兴趣。
• 德国伟大艺术家和数学家阿尔布雷希特·丢勒（Albrecht Dürer）在他的蚀刻画《忧郁症 I》（1514 年）中创作了一个著名的 4x4 幻方。这个方阵在数学和视觉上都很有趣。

5. 印度的变革（17 世纪）

• 在 17 世纪，Narayana Pandit 等印度数学家对幻方理论做出了重大贡献。

6. 欧洲启蒙运动（17-18 世纪）

• 伦纳德·欧拉（Leonard Euler）和莱昂哈德·克里斯托弗·斯图姆（Leonhard Christoph Sturm）等欧洲数学家研究了幻方的特性，从而取得了重大发现和贡献。

7. 现代数学（19 世纪至今）

• 幻方的研究随着当代数学的发展而发展。埃德瓦尔德·卢卡斯（Édouard Lucas）、加斯顿·塔里（Gaston Tarry）和约翰·康威（John Conway）等数学家做出了重要贡献。
• 研究的一个关键重点是所有可能阶数的幻方及其属性的分类。

8. 娱乐数学和艺术（20 世纪至今）

• 幻方已被应用于各种行业，包括娱乐数学和绘画。幻方谜题和游戏仍然很受欢迎。
• 对于一些数学家来说，创建巨大的、复杂的幻方已成为一种竞技性的努力。

属性和特征

常数和： 幻方中每行、每列和每个对角线中的整数总和始终相同，这被称为“幻常数”或“幻和”。这一特征将幻方与传统的整数方格区分开来。

阶数： 幻方网格中的行数和列数被称为其阶数。常用的幻方阶数包括 3x3、4x4、5x5、7x7 等。偶数阶幻方（例如 4x4、8x8）是最近才发现的，并表现出独特的特性，而奇数阶幻方（例如 3x3、5x5）已经存在了数千年。

普通幻方： “普通”幻方包含从 1 开始的连续正整数。普通幻方在数学研究中具有重要意义，因为它们是最基本和最优雅的幻方类型。

计算幻常数： 对于给定阶数 n 的幻方，其幻常数为 (n * (n^2 + 1)) / 2。此公式保证了每行、每列和每个对角线的总和。

示例：3 x 3 矩阵

在这个 3x3 幻方中

阶数为 3x3，意味着它有 3 行和 3 列。

幻常数（每行、每列和每个对角线的总和）为 15。

我们可以通过将每行、每列和每个对角线中的数字相加来验证这是一个幻方

• 第 1 行：2 + 7 + 6 = 15
• 第 2 行：9 + 5 + 1 = 15
• 第 3 行：4 + 3 + 8 = 15
• 第 1 列：2 + 9 + 4 = 15
• 第 2 列：7 + 5 + 3 = 15
• 第 3 列：6 + 1 + 8 = 15
• 从左上角到右下角的对角线：2 + 5 + 8 = 15
• 从右上角到左下角的对角线：6 + 5 + 4 = 15

一些著名的幻方

1. 洛书方 (3x3)

洛书方的根源可追溯到两千多年前的中国传统。根据古老的传统，这个 3x3 的幻方出现在一只从洛水出现的超自然乌龟的背上。它最早的出现归因于神话中的大禹皇帝（约公元前 2200 年），他被认为是发现该方阵布局的人。

数字排列：洛书方包含数字 1 到 9，它们以精确的方式放置在 3x3 网格中。这些数字的排列方式使得每行、每列和每个对角线的总和始终等于 15。

示例

在洛书方中

• 阶数为 3x3，意味着它有三行和三列。
• 幻常数（每行、每列和每个对角线的总和）为 15。

2. 阿尔布雷希特·丢勒的幻方

阿尔布雷希特·丢勒的幻方是一个著名的 4x4 幻方，由德国艺术家和数学家阿尔布雷希特·丢勒于 1514 年设计。丢勒的幻方不仅因其数学特性而著称，还因其艺术独创性而著称。以下是丢勒幻方的概述

丢勒的幻方 (4x4)

• 阶数为 4x4，这意味着有四行和四列。
• 丢勒的方阵包含数字 1 到 16，它们排列在一个 4x4 网格中。数字放置的独特方式是该方阵的独特之处。
• 丢勒的方阵的幻常数为 34，这意味着每行、每列和每个对角线的总和等于 34。

示例

这是著名的丢勒 4x4 幻方。在这个方阵中

• 排列为 4x4，这意味着它有四行和四列。
• 幻常数（每行、每列和每个对角线的总和）为 34。

3. 圣家族大教堂幻方

圣家族大教堂幻方是一个相对较新且独特的幻方示例，以其与巴塞罗那标志性圣家族大教堂的关系而闻名。大教堂的建筑师安东尼·高迪将一个幻方融入了大教堂立面的建筑中。

圣家族大教堂幻方是一个 4x4 的方阵，与大教堂的竣工日期有关。该方阵的行、列和对角线的总和为 33。这个数字在基督教中具有重要意义，因为它被认为代表了耶稣基督被钉十字架和复活时的年龄。

在这个被施了魔法的方阵中

• 由于每行、每列和每个对角线的总和等于 33，因此幻常数为 33。
• 在圣家族大教堂立面中融入广场具有象征性和重要意义，将大教堂的建造与基督教联系起来。
• 安东尼·高迪是一位非常虔诚的人，他将宗教和神秘象征主义融入到他的建筑作品中。
• 在圣家族大教堂中使用幻方是数学和象征主义如何在艺术和建筑中应用的独特示例。

4. 富兰克林的幻方

本杰明·富兰克林的 8x8 幻方是一个壮观的示例，它是一个大型幻方，以其复杂性和独特的数学特征而闻名。美国开国元勋之一本杰明·富兰克林设计了这个方阵，它由 64 个正负整数组成。

• 阶数为 8x8，这意味着有八行和八列。
• 富兰克林的 8x8 幻方包含数字 1 到 64，它们排列成一个复杂的设计。与普通幻方不同，它同时包含正数和负数。
• 富兰克林的方阵的幻常数为 260，这意味着每行、每列和每个对角线的总和等于 260。

示例

在本杰明·富兰克林的 8x8 幻方中

• 排列为 8x8，这意味着有八行和八列。
• 幻常数为 260（每行、每列和每个对角线的总和）。

方法 1：奇数阶幻方

奇数阶幻方是行数和列数为奇数的幻方。奇数阶幻方中每行、每列和每个对角线中整数的总和相同，这被称为“幻常数”。这些方阵通常被描绘为 N × N 网格，其中 N 是一个奇数整数（例如 3x3、5x5、7x7 等）。

示例

以一个 3x3 奇数阶幻方为例。在 3x3 幻方中，幻常数为 (3^2 + 1) / 2 = 10 / 2 = 5。

下面是一个 3x3 奇数阶幻方的示例

在这个幻方中，您会发现每行、每列和两个对角线的总和都等于幻常数 5。

例如

• 第一行 (2 + 7 + 6) 的总和为 15（幻常数）。
• 第二行 (9 + 5 + 1) 的总和也为 15。
• 第三行 (4 + 3 + 8) 的总和为 15。
• 第一列 (2 + 9 + 4) 的总和为 15。
• 第二列 (7 + 5 + 3) 的总和为 15。
• 第三列 (6 + 1 + 8) 的总和为 15。
• 主对角线 (2 + 5 + 8) 的总和为 15。
• 另一条对角线 (6 + 5 + 4) 的总和为 15。

实施

输出

这个例子展示了奇数阶幻方的基本原理，其中幻常数确保所有行、列和对角线的总和都相同。

方法 2：高维幻方

高维幻方是指那些存在于标准 2D 方格以外维度的幻方。幻方的概念可以扩展到更高维度，包括幻立方体和幻超立方体。这些三维结构也称为“幻超立方体”。

示例

创建一个 3x3x3 幻超立方体是一项困难的数学任务，用语言将其可视化可能很困难。然而，作为一个高度抽象和简化的示例，我可以提出一个 3x3x3 幻超立方体的基本描述。在这个描述中，我们将使用 3x3x3 网格中的整数，范围从 1 到 27。

3x3x3 幻超立方体的幻常数为 42。

以下是 3x3x3 幻超立方体的一个简单插图

第 1 层

[ 2 7 6]

[ 9 5 1]

[ 4 3 8]

第 2 层

[11 16 15]

[18 14 10]

[13 12 17]

第 3 层

[20 25 24]

[27 23 19]

[22 21 26]

这个非常简化的图片描绘了 3x3x3 幻超立方体的样子。构建一个真正满足幻超立方体特征的 3x3x3 幻超立方体，其中沿多个超平面的整数总和等于幻常数，是一个更为困难的数学过程。

实施

输出

方法 3：对称性

奇数阶幻方的一个基本且视觉上令人愉悦的方面是对称性。奇数阶幻方中存在反射（旋转）对称和对角对称两种对称形式。这些对称性增加了幻方的视觉和数学美感。让我们仔细看看这些类型的对称性

示例

2 7 6

9 5 1

4 3 8

一个具有对称性的 3x3 奇数阶幻方

1. 反射对称（水平和垂直）

• 沿着其水平轴（即中间行）折叠方阵会发现顶部和底部部分是彼此的镜像副本。上半部分的数字在下半部分中镜像。

• 沿着其垂直轴（即中心列）折叠方阵会发现左半部分和右半部分是彼此的镜像副本。左侧的数字在右侧镜像。

2. 旋转对称

• 90 度旋转：如果您将方阵顺时针旋转 90 度，其排列保持不变。换句话说，即使数字旋转 90 度，它们仍然构成一个有效的 3x3 奇数阶幻方。

3. 对角线对称

• 该方阵沿其主对角线（从左上角到右下角）具有对角线对称性。对角线一侧的数字是另一侧数字的镜像。

实施

输出

应用

1. 编码和密码学： 幻方用于编码理论和密码学。它们可用于加密和解密消息，增加额外的保护级别。
2. 数独： 数独谜题在全球范围内越来越受欢迎，它们只是 9x9 的幻方。解决数独问题需要排列数字，使其满足精确的限制，类似于构建幻方。
3. 游戏设计： 幻方出现在各种棋盘游戏和谜题中。它们为游戏玩法提供了独特且具有挑战性的方面。
4. 娱乐数学： 幻方吸引了娱乐数学家和谜题爱好者。解决和构建幻方的任务既有趣又具有智力吸引力。
5. 艺术与设计： 幻方已被用于在艺术和设计中产生视觉上美丽的图案。阿尔布雷希特·丢勒等艺术家使用幻方来增强其作品的视觉吸引力。