C 语言龙格-库塔法

龙格-库塔方法 可以用来数值求解常微分方程。四阶龙格-库塔方法 (RK4) 是最常用的变体之一。常微分方程在工程领域很常见，但并非所有方程都能解析求解。龙格-库塔方法是求解或获得此类常微分方程数值解的最常用方法之一。

与需要大量工作来获得高阶导数的泰勒级数相比，RK4 技术不需要计算这种高阶导数。

下面的源代码会请求用户输入初始条件的值，即 x0 和 y0，以使用 RK4 方法求解一阶常微分方程。接下来，用户必须指定增量 'h' 以及要计算 y 的最终 x 值。

在此 C 语言龙格-库塔方法程序中，定义了 函数 f(x,y) 来在被调用时计算斜率。

f(x,y) = x-y/(x+y)

一种称为龙格-库塔方法的数值方法，用于在离散点上逼近求解常微分方程 (ODEs) 的答案。当解析解难以找到或不可能找到时，它特别有用。该方法包括计算中间值来迭代地更新解，从而产生一系列大致代表正确答案的值。

1. 问题设置

考虑以下类型的一阶常微分方程

dy/dx = f(x, y)

其中 f(x, y) 是描述 y 相对于 x 变化速率的函数。

2. 初始条件

在某个初始点 x0，给定一个初始值 y0。

3. 步长

确定您要使用的步长。步长控制您将估计函数 y 的后续点之间的间隔。

4. 迭代过程

从起始点 (x0, y0) 开始，并使用以下公式重复计算后续点 (x, y)

k1 = h * f(x, y)

k2 = h * f(x + h/2, y + k1/2)

k3 = h * f(x + h/2, y + k2/2)

k4 = h * f(x + h, y + k3)

y = y + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6

x = x + h

• 在这些计算中，区间开始时的斜率由 k1 表示。
• 区间中点处的斜率，用 k2 表示，由 k1 确定。
• 使用 k2，k3 是一个中间点估计斜率，与 k2 类似。
• 区间结束处的斜率，用 k4 表示，使用 k3 进行估计。
• 然后，计算 x 的更新值作为这些斜率的加权平均，并确定新的 y 值。

5. 重复

持续进行，直到达到指定的结束点 xn。

示例

让我们举一个例子来理解 C 语言中龙格-库塔方法的用法。

输出

Enter the values of x0, y0, xn, h:0 2 2 0.5
    X		    Y
0.500000	1.621356
1.000000	1.242713
1.500000	0.864069
2.000000	0.485426

说明

1. 在此示例中，代码首先声明一个名为 f 的函数，该函数计算 y 相对于 x 的导数以及相关的头文件。
2. 在 main 函数中，用户被提示输入初始值 (x0, y0)、最终目标 x 值 (xn) 和步长 (h)。
3. 使用初始值初始化 x 和 y 变量。
4. while 循环内应用了龙格-库塔技术。在各种位置使用导数函数 f 来计算四个中间斜率 (m1, m2, m3, 和 m4)。
5. 作为中间斜率的加权平均值，得出最终斜率 m。
6. 借助最终斜率和步长，更新y 值。
7. 通过步长，x 的值增加。
8. 打印输出显示当前 x 和 y 值。
9. 循环继续，直到 x 到达目标位置 xn。
10. 根据提供的方程 (x - y) / (x + y)，使用 f 函数计算导数。

RK4 方法之前的 C 语言程序和RK4 方法本身比繁琐的泰勒级数更精确；所达到的精度与项 hr 一致，其中 r 对于不同的方法而异，并定义为该方法的阶数。

RK 公式只需要函数在几个选定位置的值。此外，一阶龙格-库塔方法就是欧拉方法。