计算完全二叉树的节点数

在这个问题中，我们给定一个完全二叉树。完全二叉树除了叶节点外，每个节点都有两个子节点。我们的任务是计算给定二叉树的总节点数。

让我们来看一个这个问题示例

输入

输出

7

方法 - 1

我们将从一个简单的方法开始解决这个问题。这种直接的方法使用深度优先搜索 (DFS) 算法来遍历整个二叉树，从而计算算法访问的节点数。以下是此方法的 Python 代码。

代码

输出

The total number of nodes is: 6

时间复杂度： DFS 算法的时间复杂度通常为 O(log n)。但在此程序中，我们遍历了二叉树的每个节点。因此，时间复杂度将是 O(n) 的最坏情况。

空间复杂度： 所使用的空间用于存储递归堆栈。我们没有使用任何额外内存；因此，空间复杂度是常数 O(1)。

我们可以使用广度优先搜索 (BFS) 算法来解决示例问题。以下是 BFS 算法的 Python 程序。

代码

输出

The total number of nodes is: 6

时间复杂度： BFS 算法的时间复杂度通常为 O(h)，其中 h 是给定二叉树的高度

空间复杂度： 我们使用了空间来存储 BFS 遍历的队列。因此，此程序的空间复杂度为 O(n)，其中 n 是给定二叉树中存在的节点总数。

方法 - 2

我们可以优化上述方法。在此问题中，我们已知二叉树是完全二叉树。因此，我们可以利用完全二叉树的特性来解决此问题。

完全二叉树的节点数为 (2 ^ (h + 1) - 1)，其中 h 是二叉树的高度。这个公式很容易理解。在二叉树的每一层，节点数是该层数的两倍。

使用这个公式，我们可以找到节点数。首先，我们将检查左子树的高度是否等于右子树的高度。如果高度相等，则它是一个满二叉树，并且可以使用上述公式找到节点数。我们将遵循以下步骤：

• 我们将定义一个函数，该函数将为当前父节点查找左子树的高度。此函数将遍历树的左侧。
• 我们将定义一个函数来查找右子树的高度。此函数将遍历当前父节点的右侧。
• 然后，我们将比较这两个高度。如果两个高度相等，我们将使用公式 (2 ^ (h + 1) - 1) 并返回树的节点数。
• 但是，如果高度不相等，我们将递归地调用左子树和右子树的函数。计算节点数，将它们相加，然后在总和上加 1，返回给定树中的节点数。

以下是实现上述方法的 Python 代码。

代码

输出

The total number of nodes is: 6

时间复杂度：此方法的总时间复杂度为 O((log N) ^ 2)。计算树的高度，时间复杂度为 O(log x)，其中 x 是树的高度。此外，我们还为树中的每个节点计算树的高度；因此，时间复杂度将变为计算树高度的时间复杂度的平方。因此，最终时间复杂度将是 O((log N) ^ 2)

辅助空间：我们没有使用任何额外空间来存储用于高度计算的树节点。但是，我们使用了一个递归函数来计算节点数。因此，递归堆栈将占用额外的空间，其大小为 O(log N)。