计算数组中满足 x^y > y^x 的数对

在本教程中，我们将编写 Python 程序来查找满足 x^y > y^x 的数对数量。我们给定两个包含正整数的数组 X[] 和 Y[]，我们需要确定数对 (x, y) 的数量，其中 x 是 X[] 中的一个元素，y 是 Y[] 中的一个元素，并且满足条件 x^y > y^x。

示例 5

输入

输出

3

说明

- 3^1 > 1^3 (3^1 > 1^3)

- 4^5 > 5^4 (4^5 > 5^4)

- 2^1 > 1^2 (2^1 > 1^2)

解决方案 - 1

让我们理解一下代码片段 -

示例 -

输出

3

解释 -

让我们理解以下解释 -

1. 在上面的代码中，我们创建了一个名为 count_pairs() 的函数，它接受四个参数：X 代表一个正整数数组，Y 是另一个正整数数组，m 是数组 X 的长度，n 是数组 Y 的长度。
2. 然后我们定义变量 count 并赋值为 0。这个变量将用于跟踪满足条件 x^y > y^x 的数对数量。
3. 我们使用两个嵌套循环以双循环方式迭代数组 X 和 Y 的元素。外层循环遍历 X 的元素，内层循环遍历 Y 的元素。
4. 在嵌套循环中，它使用 ** 运算符计算幂来验证每个数对 (x, y) 的条件 x^y > y^x。
5. 如果数对满足条件 x^y > y^x，则 count 变量加 1。
6. 两个循环都完成后，函数返回 count 变量的值，该值代表满足条件 `x^y > y^x` 的数对 (x, y) 的数量。

时间复杂度： O(M*N)，其中 M 和 N 是给定数组的大小。

辅助空间： O(1)

解决方案 - 2

以下是解决问题的更有效方法

示例 -

输出

3

解释 -

在上面的代码中，我们首先导入 bisect 模块并定义了 count_pairs_with_condition() 函数，该函数计算给定 x 满足条件的数对数量。

如果 x 为 0，则返回 0，因为 Y 中不存在满足条件的任何值。

如果 x 为 1，则返回 Y 中零的数量，因为任何数字的 0 次幂都为 1，因此对于 x > 1，x^0 始终大于 y^x。

它对数组 Y 进行排序，并使用 bisect.bisect_right() 函数查找 x 应该插入排序数组的位置。此索引代表 Y 中大于 x 的元素的数量。

然后我们定义了 count_pairs_satisfying_condition() 函数

此函数计算所有 X 数组值满足条件的数对总数。

它初始化一个 counts_of_Y 数组来存储 Y 中小于 5 的元素的计数。这些计数有助于高效地计算数对。

它对数组 Y 进行排序，以便在下一步中使用二分查找。

它初始化 total_pairs 以跟踪数对的总数。

时间复杂度： O((n + m) * log(n + m))，其中 `n` 是数组 X 的长度，m 是数组 Y 的长度，而影响时间复杂度的主要因素是对两个数组的排序，其时间复杂度为 O((n + m) * log(n + m))。

辅助空间： O(n + m)，代码用于 counts_of_Y 数组和排序后的 Y 的额外空间。

结论

在本教程中，我们探讨了如何查找两个数组中满足 x^y > y^x 的数对 (x, y) 的数量。我们提供了解决方案的分步解释，包括一种更有效的优化计数过程的方法。高效解决方案使用排序和巧妙的计数来降低时间复杂度。这是解决类似问题的宝贵技术。通过理解这些方法，您可以有效地应对编程知识中的此类挑战。