Python程序：假位法

引言

False Position 方法，俗称 Regula Falsi 方法，是一种用于求解非线性方程的数值方法。但当根位于特定区间时，此方法尤其有效。在此，我们将介绍 False Position 方法的基础知识，并提供一个 Python 工作代码。

理解 False Position 方法

False Position 方法是一种迭代方法，它通过区间端点的函数值来改进根的估计。与二分法不同，二分法会随着时间的推移将区间均匀分割，False Position 方法会利用区间两个端点的函数值来分析根。这在某些情况下比二分法更有效。

算法概述

False Position 方法的算法包含以下步骤：

1. 选择一个包含根的初始区间 [a, b]。

2. 分别计算函数值 f(a) 和 f(b)。

3. 使用以下公式计算根的估计值：

4. 计算新估计值处的函数值，即 f(c)。

5. 根据 f(c) 的符号更新区间 [a, b]。

• 如果 f(c) 与 f(a) 符号相同，则更新 a = c。
• 如果 f(c) 与 f(b) 符号相同，则更新 b = c。
• 如果 f(c) 接近于零，则找到了解，算法终止。

6. 重复步骤 3-5，直到获得所需的精度。

在下一节中，我们将看到 False Position 方法的代码实现。

代码实现

在 Python 中，我们将使用 False Position 方法。我们将创建一个过程，期望该过程能接收用于查找根的函数、初始区间 [a, b] 以及容差作为输入参数。

输出

Root found: 2.0 after 0 iterations.

说明

• 定义了 false_position_method 函数，它接受目标函数、初始区间端点以及容差和最大迭代次数的可选参数。该算法使用一种精炼步骤，在该步骤中，根的近似值在指定的范围内进行迭代精炼。
• 计算区间端点的目标函数值。
• False Position 公式考虑了函数在函数的最左端和最右端的值，这导致了根估计值的确定。
• 收敛性测试确定估计的根是否满足给定的容差。
• 根据函数值乘积的符号，选择一个新的区间 '[a,b]'，并缩小搜索空间。
• 循环一直运行到根在设定的容差范围内找到，或者在迭代次数达到最大值之前。
• 理想的代码展示了一个使用三次函数来完成 False Position 方法在区间 [0, 2] 中查找根的应用。

让我们来看一下 False Position 方法的图形表示。

代码实现

要将数据可视化集成到我们提供的代码中，有必要可视化 False Position 方法的收敛性，以便绘制根估计值随迭代次数的变化。为此，我们可以使用 'matplotlib' 库。以下是带有数据可视化的扩展代码：

输出

Root found: 2.0 after 0 iterations.

说明

• 上面的代码已扩展，用于可视化 False Position 方法的收敛性。
• 现在使用一个名为 'roots' 的列表来存储所有迭代中的根估计值，以便进一步可视化。
• 使用 'matplotlib' 库，将收敛性绘制出来，其中 x 轴和 y 轴分别表示迭代次数和根估计值。
• 生成的图表直观地展示了在 False Position 方法的迭代过程中根估计值是如何演变的。
• 这张图表改进了理解，并提供了关于算法收敛趋势的信息。
• 修改后的函数 ' false_position_method_with_plot ' 提供了根估计值、迭代次数以及一个估计根的列表，供进一步检查。

结论

False Position 方法是逼近给定数量级区间内非线性方程根的最有效解决方案之一。在这篇描述中，我们讨论了该方法的算法实现，并在 Python 中进行了实现。这种数值方法对于众多的科学和工程问题非常有用，这些问题是数值分析领域的主题。通过了解这些方法并加以运用，程序员可以更好地应对需要求解非线性方程根的现实问题。