人工智能 - 一阶逻辑推理

一阶逻辑中的推理用于从现有句子推导出新的事实或句子。在理解 FOL 推理规则之前，让我们先了解一些 FOL 中使用的基本术语。

替代

替换是应用于项和公式的基本操作。它出现在一阶逻辑的所有推理系统中。由于 FOL 中存在量词，替换会变得复杂。如果我们写 F[a/x]，它指的是将常量“a”替换变量“x”。

注意：一阶逻辑能够表达关于宇宙中部分或全部对象的命题。

相等

一阶逻辑不仅使用谓词和项来构建原子句子，还使用另一种方式，即 FOL 中的相等性。为此，我们可以使用 相等符号，它指定两个项指向同一个对象。

示例：Brother(John) = Smith。

如上例所示，由 Brother (John) 引用的对象与 Smith 引用的对象相似。相等符号也可以与否定一起使用，以表示两个项不是同一个对象。

示例：￢(x=y)，这等价于 x ≠y

FOL 量词推理规则

与命题逻辑一样，我们在一阶逻辑中也有推理规则，因此以下是一些 FOL 中的基本推理规则：

• 全称泛化
• 全称例化
• 存在量词例化
• 存在量词引入

1. 全称泛化

全称泛化是一种有效的推理规则，它指出，如果论域中任何任意元素 c 的前提 P(c) 为真，那么我们可以得出结论 ∀ x P(x)。

它可以表示为

• 如果我们想证明每个元素都具有相似的属性，就可以使用此规则。
• 在此规则中，x 不能作为自由变量出现。

示例

让我们表示，P(c)： “一个字节包含 8 位”，那么对于 ∀ x, P(x)： “所有字节都包含 8 位”，这也将为真。

2. 全称例化

• 全称例化，也称为全称消去 (UI)，是一种有效的推理规则。它可以应用多次以添加新句子。
• 新的知识库在逻辑上等价于之前的知识库。
• 根据 UI，我们可以通过用变量替换地面项来推断任何句子。
• UI 规则指出，我们可以从 ∀ x P(x) 中通过替换论域中的任何对象的地面项 c（域 x 中的一个常量）来推断出任何句子 P(c)。
• 它可以表示为

示例

如果“每个人都喜欢冰淇淋”=> ∀x P(x)，那么我们可以推断
“John 喜欢冰淇淋” => P(c)

另一个示例

让我们看另一个例子：

“所有贪婪的国王都是邪恶的。” 因此，让我们将此细节以 FOL 的形式放入我们的知识库中。

∀x king(x) ∧ greedy (x) → Evil (x),

因此，根据这些信息，我们可以使用全称例化推断出以下任何陈述：

• King(John) ∧ Greedy (John) → Evil (John),
• King(Richard) ∧ Greedy (Richard) → Evil (Richard),
• King(Father(John)) ∧ Greedy (Father(John)) → Evil (Father(John)),

3. 存在量词例化

• 存在量词例化也称为存在量词消去，它是一阶逻辑中一种有效的推理规则。
• 它只能应用一次来替换存在量词句子。
• 新的知识库与旧的知识库在逻辑上不相等，但如果旧的知识库是可满足的，那么新的知识库也将是可满足的。
• 该规则指出，可以从形式为 ∃x P(x) 的公式推断出 P(c)，其中 c 是一个新的常量符号。
• 此规则的限制是，规则中使用的 c 必须是一个新的项，对于该项 P(c) 为真。
• 它可以表示为

示例

从给定的句子：∃x Crown(x) ∧ OnHead(x, John)，

因此，我们可以推断：Crown(K) ∧ OnHead( K, John)，只要 K 不出现在知识库中。

• 上面使用的 K 是一个常量符号，称为 Skolem 常量。
• 存在量词例化是 Skolem 化过程的一个特例。

4. 存在量词引入

• 存在量词引入也称为存在量词泛化，它是一阶逻辑中一种有效的推理规则。
• 该规则指出，如果论域中存在某个元素 c 具有属性 P，那么我们可以推断出论域中存在某个事物具有属性 P。

它可以表示为

• 示例
• 比如说，“Priyanka 在英语考试中取得了优异成绩。” “因此，有人在英语考试中取得了优异成绩。”

广义的 Modus Ponens 规则

对于 FOL 中的推理过程，我们有一个单一的推理规则，称为广义 Modus Ponens。它是 Modus ponens 的提升版本。

广义 Modus Ponens 可以概括为：“P 蕴含 Q，并且断言 P 为真，因此 Q 必须为真。”

根据 Modus Ponens，对于原子句 pi, pi', 和 q。如果存在一个替换 θ 使得 SUBST (θ, pi',) = SUBST(θ, pi)，则可以表示为

示例

我们将使用此规则来处理“国王是邪恶的”，因此我们将找到某个 x，使得 x 是国王，并且 x 是贪婪的，然后我们可以推断出 x 是邪恶的。

结论

我们已到达学习一阶逻辑推理之旅的终点。一阶逻辑推理用于从现有句子推导出新的事实或句子。我们学习了一阶逻辑的量词推理规则，包括全称泛化、全称例化、存在量词例化和存在量词引入，并附带示例。一阶逻辑推理在许多 人工智能应用中都有使用，例如 专家系统、自然语言处理等。

一阶逻辑推理常见问题解答

1. 什么是第一阶逻辑中的推理？

一阶逻辑中的推理用于从现有句子中提取新的事实或句子。

2. 在一阶逻辑推理方面，FOL 与命题逻辑有何不同？

命题逻辑处理简单的真/假陈述，而一阶逻辑更具表现力，并允许关于对象、关系和量词的推理。

一阶逻辑可以这样说：“所有人类都是不朽的”，在推理方面，它可以解释“赫拉克勒斯是不朽的”，而命题逻辑则不能。

3. FOL 中的主要推理规则是什么？

一阶逻辑中有一些主要的推理规则，例如：

• 全称泛化
• 全称例化
• 存在量词例化
• 存在量词引入

4. 哪些人工智能应用使用 FOL 推理？

有几个人工智能应用使用 FOL 推理，例如：

• 专家系统
• 自然语言处理
• 知识库代理，如 Wumpus World 推理
• 自动定理证明。

5. FOL 推理有哪些挑战？

FOL 推理存在一些挑战，例如：

• 计算复杂性可能导致结果缓慢。
• 无限域，因为全称量词可能导致无限推理。
• 不可判定性，因为并非所有 FOL 中的陈述都可以被判定为真或假。
• 效率权衡，这意味着它将在完备性和速度之间进行竞争。