角 6年级笔记

引言

当两条射线汇聚于一点（称为顶点或节点）时，就形成了一个角度。这两条射线被称为角的两臂，用符号“∠”表示。“角度”一词来源于拉丁语“Angulus”。

角度通常用量角器以度为单位测量。常见的角度包括 30°、45°、60°、90° 和 180°，每个角度都代表不同的测量值。角度的值是其分类的基础。此外，角度还可以用弧度表示，弧度基于圆周率 (π) 的值。具体来说，180 度等于 π 弧度。

定义

角度是由两条射线在其端点处连接而成的几何图形。它可以用三个字母来表示，中心字母表示角度的实际位置或顶角。角度通常用希腊字母表示，如 θ、α、β 等。

例如，∠ABC 表示 B 是角度的顶点。角度的测量单位包括度 (°)、弧度和梯度。角度被定义为两条线或角的两臂相交处的旋转程度。

角度类型

在几何学中，角度主要有六种类型，每种都有其自身的特征。

1. 锐角 (Acute Angle)：此角度测量值在 0° 到 90° 之间，严格小于 90°。锐角是尖锐且小的，总是小于直角。
   • 示例：55° 和 70°
   • 现实生活示例：10:10 时钟指针的位置。
2. 钝角 (Obtuse Angle)：钝角大于 90° 但小于 180°。这些角度看起来宽阔开放，由两条射线从同一点发散形成。
   • 示例：130° 和 160°
   • 现实生活示例：稍微打开的门的角度。
3. 直角 (Right Angle)：这个角度正好是 90°，形成完美的“L”形。它是测量其他角度的标准。
   • 示例：正方形或长方形的角。
   • 现实生活示例：笔记本的角或桌子的边缘。
4. 平角 (Straight Angle)：平角精确测量 180°，类似于一条直线。它等于两个直角。
   • 示例：一条直线。
   • 现实生活示例：6:00 时钟指针形成的角度或地平线。
5. 优角 (Reflex Angle)：这个角度大于 180° 但小于 360°。优角很大，占据圆周的很大一部分。
   • 示例：270°
   • 现实生活示例：10:10 时钟指针形成的外部角度。
6. 周角 (Complete Angle)：完整的旋转对应一个 360° 的角度，代表一次完整的圆周运动，形成一个完美的圆。
   • 示例：一个完整的圆。
   • 现实生活示例：汽车车轮转动一整圈或旋转木马完成一次旋转。

内角和外角

如果我们谈论多边形，例如三角形、四边形、五边形和六边形，它们既有内角也有外角。

内角是位于多边形或任何有边和角的封闭图形内部的角度。相反，外角在形状外部形成，由一条边和一条从相邻边延伸出来的线形成。例如，上面五边形的图示说明了它的内角和外角。

正角与负角

正角被定义为沿逆时针方向测量的角度。而负角是沿顺时针方向测量的。

角度的组成部分

• 顶点 (Vertex)：两条射线或角的两臂相交的点称为角的顶点。
• 边 (Arms)：汇聚于公共端点的角的两条边称为角的边。
• 始边 (Initial Side)：它也称为参考线，因为它作为测量角度的参考线。
• 终边 (Terminal Side)：这是测量角度的边。

角度测量

测量任何东西都需要一个单位。同样，测量角度需要三个测量单位，如下所述；

1. 度 (Degree of an Angle)

度，用 ° 表示，是角度的测量单位。它的起源可以追溯到巴比伦人，他们使用 60 进制（六十进制）计数系统。

他们的日历有 360 天，因此他们将一个完整的角度测量为 360°。最初，他们尝试通过等边三角形的角度来划分一个完整的角度。之后，基于他们以 60 为基数的数字系统，他们选择将 60° 除以 60，等于 1，并将其定义为 1°，有时也称为弧度，表示弧的角度。

因此，如果一个角度从始边到终边的旋转量等于从其始边到终边的完整旋转量的 1/360，那么该角度将测量为 1 度。

度可以进一步细分为分和秒，其中 1′（一分）定义为度的六十分之一，1”（一秒）是分的六十分之一。因此，关系如下：

1° = 60′ = 3600”

2. 弧度 (Radian of an Angle)

它是测量角度的 SI 单位。它主要用于微积分，因为只有当角度用弧度表示时，所有导数和积分公式才有效。弧度的符号是“rad”。

在一个单位圆中，弧的长度在数值上等于它所形成的以弧度为单位的角度。

一个完整的圆包含 2π 弧度。

因此，关系可以表示为 360° = 2π 弧度

1 弧度 = 180°/π

3. 梯度 (Gradian of an Angle)

这个单位在数学中很少使用。它也被称为 gon 或 grade。

当角度的始边到终边的旋转量是其完整旋转量的 1/400 时，该角度测量为 1 梯度。因此，一个完整的角度等于 400 梯度。它用“grad”表示。

度与量角器

可以使用量角器以度为单位测量角度。

量角器是用于测量和绘制角度的仪器。它通常呈半圆形或圆形，带有从 0° 到 180° 的度数标记（用于半圆形量角器），以及从 0° 到 360° 的度数标记（用于圆形量角器）。

量角器的组成部分

• 基线 (Baseline)：量角器的直线边缘，与角度的一边对齐。
  
• 中心或原点 (Center or Origin)：量角器底部处的中心点，通常用一个小孔或点表示。这是放置角度顶点的地方。
• 度数标记 (Degree Markings)：弧形边缘显示半圆形量角器的度数标记（从 0° 到 180°）和圆形量角器的度数标记（从 0° 到 360°）。
• 内刻度 (Inner Scales)：内刻度从右侧开始顺时针测量角度。
• 外刻度 (Outer Scales)：外刻度从左侧开始逆时针测量角度。

使用量角器测量角度

步骤 1：放置量角器

将量角器的直线边缘（基线）与角度的一边对齐。确保量角器的中心点位于角度的顶点。

步骤 2：识别度数标记

在量角器的刻度上找到角度的第二边。确定它经过哪个度数标记或与之对齐，并根据角度的方向确保正确使用刻度（内刻度或外刻度）。

步骤 3：记录测量值

记下角度的边穿过量角器刻度的度数。这个值就是角度的测量值。

使用量角器绘制角度的步骤

步骤 1：创建角度的基线或第一边。

画一条直线，这将是角度的一边。

步骤 2：放置量角器

将量角器的基线与绘制的直线对齐，确保量角器的中心点位于直线的末端。

步骤 3：识别角度

在量角器的刻度上找到所需的角度，并用一个小点标记该角度。

步骤 4：绘制角度的第二边

取下量角器，用尺子将小点与角度的顶点连接起来。这就是角度的第二边。

常见问题

问 1. 如果一个余角测量值为 35°，则另一个角的度数是多少？

答案：互余角的总和始终为 90°。

设另一个角为 x。

因此，x + 35° = 90°

这得出 x = 90° - 35° = 55°。

所以，另一个角的度数为 55°。

问 2. 当两个角是垂直角时，如果一个角是 45°，那么另一个角的度数是多少？

答案：垂直角的大小相等。

因此，如果一个角是 45°，那么与之垂直的另一个角也是 45°。

问 3. 确定一个角是其补角的两倍时的角度测量值。

答案：设这个角为 x，它的补角为 90° - x。

根据题意，x = 2 × (90° - x)。

通过求解得到：

x = 180° - 2x

合并同类项得到 3x = 180°。

因此，x = 60°。

所以，这个角是 60°，它的补角是 30°。

问 4. 如果两个角之比为 2:3 且互为补角，那么这两个角的度数是多少？

答案：设这两个角表示为 2x 和 3x。

由于它们互为补角，我们有 2x + 3x = 180°。

这简化为 5x = 180°。

求解 x 得到 x = 36°。

因此，这两个角分别为 2x = 2 × 36° = 72° 和 3x = 3 × 36° = 108°。

所以，这两个角的度数是 72° 和 108°。

问 5. 一个角比它的补角小 30°。求这两个角的度数。

答案：设这个角为 x，它的补角可以表示为 180° - x。

根据题意，我们得到方程 x = (180° - x) - 30°。

通过求解得到：

x + x = 150°

2x = 150°

x = 75°

因此，一个角的度数为 75°，另一个角是 180° - 75° = 105°。

这两个角的度数是 75° 和 105°。

问 6. 如果成线性对角的其中一个角测量值为 75°，那么另一个角的度数是多少？

答案：在线性对中，角度的总和为 180°。

因此，另一个角的度数计算为 180° - 75° = 105°。

所以，另一个角的度数是 105°。

问 7. 当两条线相交时，形成的四个角中的一个角是 120°，则求另外三个角的度数。

答案：两条线的相交会产生两对垂直角。

如果一个角测量值为 120°，那么与之相对的角也将是 120°。

其余两个角与 120° 互为补角，因此每个角的度数都是 180° - 120° = 60°。

因此，这四个角的度数分别是 120°、120°、60° 和 60°。

问 8. 3 点钟时，时钟的指针形成什么角度？

答案：3 点钟时，分针指向 12，时针指向 3，形成一个直角。因此，形成的角度是 90°。