公因数与公倍数 6年级笔记

在数学中，我们在小学学习许多主题。因子（约数）和倍数是关键概念，尤其是在简化或扩展分数时。它们在识别数字模式方面也很有用。本文解释了倍数的定义、公倍数，以及因子和倍数之间的区别，并附有几个例子。

什么是倍数？

一个数的倍数是该数乘以一个整数（不是分数或小数）得到的结果。 一个整数的倍数可以通过将其乘以计数数来得知。例如，要得到数字 5 的倍数，请将 5 乘以 1，然后 5 乘以 2，然后 5 乘以 3，依此类推。得到的结果就是 5 的倍数。

示例 1：找出 4 的倍数

乘法

4 × 1, 4 × 2, 4 × 3, 4 × 4, 4 × 5, 4 × 6, 4 × 7, 4 × 8

4 的倍数

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32

解答：4 的倍数是 4、8、12、16、20、24、28、32 等等。

示例 2：找出 7 的倍数

乘法

7 × 1, 7 × 2, 7 × 3, 7 × 4, 7 × 5, 7 × 6, 7 × 7, 7 × 8

7 的倍数

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56

解答：7 的倍数是 7、14、21、28、35、42、49、56，并且会无限延续下去。

乘法表是快速识别数字倍数的好工具。

一些数字的倍数列表

一个数字有无数个倍数，因为它可以通过自然数不断相乘。下表列出了一些选定数字的前 10 个倍数。

倍数的性质

以下是倍数的性质，通过示例解释；

1. 第一个性质是，给定数字的每个倍数都大于或等于该给定数字。例如，10 的倍数：10、20、30、40、50 等。所有这些都大于或等于 10。
2. 倍数的第二个性质是，一个数字有无数个倍数。 例如，15 的倍数：15、30、45、60、75…… 等等，一直到无穷大。
3. 倍数的第三个性质是，每个数字本身都是其自身的倍数。 例如，25 是 25 的倍数，18 是 18 的倍数，等等。

倍数的性质有助于解决有关因子和倍数的问题。

理解公倍数

公倍数是两个或多个数字的倍数。换句话说，它是能被两个给定数字整除的数字。

为了更好地理解这一点，请看几个例子。

例如，看数字 20 和 50。20 的倍数是 20、40、60、80、100、120、140 等等。同样，50 的倍数是 50、100、150、200 等等。通过比较两个列表，我们发现 100 同时出现在两个列表中，这使得它成为 20 和 50 的公倍数。如果我们继续列出，我们会发现更多的公倍数，例如 200、300 等等。

公倍数的现实生活示例

公倍数对于解决现实世界的问题很有用。 想象一下，两个朋友 Alex 和 Ryan 在公园里慢跑。Alex 完成一圈需要 20 分钟，而 Ryan 完成相同的距离需要 50 分钟。问题是，如果他们以相同的速度继续跑步，他们将在何时再次在起点相遇？

要知道答案，我们需要查找 20 和 50 的最小公倍数（LCM）。从我们之前的例子中，我们知道 100 是这两个数字的公倍数。这意味着 Alex 和 Ryan 将在 100 分钟后在起点再次相遇。

理解公倍数对于时间管理、活动规划，甚至解决日常生活中与周期和重复相关的问题都有帮助。

公因子

当两个或多个数字具有相同的因子时，这些因子被称为公因子。 要确定它们，请写出每个数字的所有因子，并找出同时出现在两个列表中的因子。

示例

考虑数字 36 和 48。

36 的因子：1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

48 的因子：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48

同时出现在两个列表中的数字是 1、2、3、4、6 和 12，这意味着它们是 36 和 48 在此情况下的公因子。

因子的性质

一个数字的因子遵循以下关键性质：

1. 数字 1 是每个数字的因子。
2. 每个给定的数字本身就是它自己的因子。
3. 因子能完全整除给定的数字，不留余数。
4. 因子总是小于或等于原始数字。
5. 一个数字只有有限个因子。

因子的现实生活应用

如果您要在墙上排列 36 厘米 × 48 厘米的海报，您可以使用公因子来确定可以完美贴合而不需裁剪的最大正方形贴纸。由于 12 是最大公因子（HCF），因此 12 厘米 × 12 厘米的正方形贴纸是最合适的。

公因子概念：HCF（最大公因子）和 LCM（最小公倍数）

最大公因子 (HCF) 或最大公约数 (GCD)

两个或多个数字的 HCF 或 GCD 是能将它们每个数字都整除而没有余数的最大数字。

示例

考虑数字 48 和 72。

48 的因子：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48

72 的因子：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72

48 和 72 的最大公因子是 24。

HCF 的应用

互质数：当两个数字的 HCF 为 1 时，它们被称为互质数（例如，15 和 28）。

简化分数：要简化分数 p/q，请将分子和分母都除以它们的 HCF。

最小公倍数 (LCM)

两个或多个数字的 LCM 是能被每个给定数字整除的最小数字。

示例

考虑 15 和 20。

15 的倍数：15、30、45、60、75、...

20 的倍数：20、40、60、80、...

15 和 20 的 LCM 是 60。

两个数字的 HCF 和 LCM 之间的关系

1. 两个数字的乘积及其 HCF 和 LCM

两个给定数字的乘积等于它们的 HCF（最大公因子）和 LCM（最小公倍数）的乘积。

公式：数字 1 × 数字 2 = HCF × LCM

2. 分数的 HCF 和 LCM

分数的 HCF 是通过取分子 HCF 并除以分母 LCM 来确定的。

分数的 HCF = 分子 HCF / 分母 LCM

分数的 LCM 是通过取分子 LCM 并除以分母 HCF 来找到的。

分数的 LCM = 分子 LCM / 分母 HCF

这种关系有助于简化与 HCF 和 LCM 相关的数学问题。

互质数

当 1 是两个数字唯一的公因子时，这两个数字就被标记为互质数。

示例

9 和 20

15 和 28

重要说明

• 任何两个质数总是互质的。
• 两个偶数不可能是互质的，因为它们以 2 为公因子。

因子与倍数的区别

因子是一个数字，它能将另一个数字完全整除而不留下任何余数。

示例：24 的因子是 1、2、3、4、6、8、12 和 24。

倍数是通过将一个数字乘以一个整数得到的。

示例：24 的倍数是 24、48、72、96、120 等等。

常见问题

Q1：什么是倍数？

一个数字的倍数是该数字乘以整数得到的结果。例如，5 的倍数包括 5、10、15、20、25 等等。

Q2：倍数和乘积是一样的吗？

乘积是两个数字相乘的结果，它也是这些数字中每个数字的倍数。例如，4 × 6 = 24，所以 24 是 4 和 6 的倍数。

Q3：8 的所有倍数都是偶数吗？

是的，8 的所有倍数都是偶数，因为将 8 乘以任何整数总是得到一个偶数结果。例如，8、16、24、32 和 40 都是偶数。

Q4：5 的所有倍数也是 10 的倍数吗？

不是，但 10 的每个倍数也是 5 的倍数，因为 10 包含 5 作为因子。例如，20 和 50 是 10 和 5 的倍数，但 15 是 5 的倍数而不是 10 的倍数。

Q5：9 的一些倍数是什么？

9 的一些倍数包括 9、18、27、36、45、54 等等。