质因数分解方法 6年级笔记

在6年级，质因数分解是数学中的一个重要课题，它为未来课程中的高级概念打下了坚实的基础。当一个特定的自然数被分解时，通常在分解过程中会有两个因子；它们是质数还是合数。质数是指除了1和它本身之外没有其他因数的数字。合数是指有超过两个因数的数字。根据任何数字的因子数量，可以确定给定的数字是质数还是合数。值得注意的是，对于合数，因子可以被进一步分解。在连续的进一步除法中，会出现只剩下质因数的情况。将一个数分解成所有质数的乘积的整个过程称为“质因数分解”。

质因数分解简介

简而言之，质因数分解是指将任何给定数分解为质数的过程，这意味着给定数的所有因子都是质数。这是一种寻找任何给定数质因子的特定方法。在这种情况下，给定数可以被质因子整除。质因数分解的概念仅适用于合数，因为这些数有超过两个因子。

确定任何给定数质因子的直接方法是逐个用质数除该数，直到余数为1。例如，如果我们找出数字30的质因数分解，我们得到30/2 = 15，15/3 = 5，5/5 = 1。得到余数1后，我们就无法进一步分解该数。所以，30 = 2 x 3 x 5。这里，2、3和5是30的质因子。

一些质因数分解的例子如下

• 12的质因数分解为2 × 2 × 3 = 2^2 × 3 （其中质因子：2和3，2出现两次）
• 18的质因数分解为2 × 3 × 3 = 2 × 3^2 （其中质因子：2和3，3出现两次）
• 20的质因数分解为2 × 2 × 5 = 2^2 × 5 （其中质因子：2和5，2出现两次）
• 24的质因数分解为2 × 2 × 2 × 3 = 2^3 × 3 （其中质因子：2和3，2出现三次）
• 36的质因数分解为2 × 2 × 3 × 3 = 2^2 × 3^2 （其中质因子：2和3，2和3都出现两次）
• 126的质因数分解为2 × 3 x 3 × 7 = 2 × 3^2 x 7 （其中质因子：2、3和7，3出现两次）

质数列表

1到100之间的质数如下

= 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, and 97

当这些质数乘以任何自然数时，结果是一个合数。

理解因子和质因子

• 因子：因子是相乘得到另一个特定数的特定数。例如，2和4是8的因子，即2 x 4 = 8。这里，数字4可以进一步分解（1 x 2 x 2），这使其成为一个合数。值得注意的是，1是所有数的因子。
• 质因子：质因子是指一组相乘得到另一个特定数的特定质数。质因子不包括合数。例如，3和5是15的质因子（因为3 x 5 = 15）。同样，2、3和5是30的质因子（因为2 x 3 x 5 = 30）。在这两个例子中，因子都是质数；它们不能进一步分解。

HCF和LCM的质因数分解

当一个质数乘以任何其他自然数或非零的整数时，结果是一个合数。这通常意味着质因数分解过程适用于合数，允许我们通过此过程分解这些数字并找到它们的质因子。找到任何给定数集的HCF（最大公约数）和LCM（最小公倍数）也需要相同的方法。

对于任何给定的两个数，HCF是指这两个给定数都存在的最大公因子，而LCM是指这两个数都存在的最小公倍数或公因子。

示例：假设我们有两个数30和45，我们需要找出这两个数的HCF和LCM。30和45的质因数分解如下

• 30 = 2 x 3 x 5 = 2^1 x 3 ^1 x 5^1
• 45 = 3 x 3 x 5 = 3^1 x 3^1 x 5^1

为了确定HCF，我们取具有最低幂次的公共质因子并将它们相乘，即3^1 x 5^1 = 15

为了确定LCM，我们取具有最高幂次的所有质因子并将它们相乘，即2^1 x 3^2 x 5^1 = 90

因此，数字30和45的最大公约数是15，最小公倍数是90。

质因数分解方法

以下是两种值得注意的质因数分解方法

• 除法法
• 因数树法

除法法

除法法是一种涉及特定步骤来计算任何给定合数的质因子的方法。用于查找给定数的质因子的除法法与计算任何给定大数的因子的过程非常相似。此方法通常用于大数。然而，通过此方法获得的结果与其他方法（例如因数树法）获得的结果相似。

使用除法法对数字进行质因数分解的步骤

要通过除法法对任何给定数进行质因数分解，应执行以下步骤

• 首先，将给定数除以最小的质数；最小的质数必须能整除给定的数。
• 接下来，必须将商除以最小的质数。
• 必须重复此过程，直到商变为零（0）。
• 最后，必须将所有质因子相乘。

使用除法法的质因数分解示例

让我们以数字36为例，使用除法法进行质因数分解。

• 步骤1：我们将给定数36除以最小的质数，即2。所以，我们得到：36/2 = 18
• 步骤2：我们再次将得到的数（18）除以最小的质数（2）。因此，18/2 = 9
• 步骤3：再次将得到的数（9）除以最小的质数（在这种情况下是3，因为9不能被2整除）。因此，9/3 = 3。
• 步骤4：由于最终值（3）是质数，我们将其除以自身，得到商1。

现在，36的质因数分解将是2 x 2 x 3 x 3 = 2^2 x 3^2，其中质因子是2和3，2和3都出现两次。

因数树法

因数树法是确定任何给定合数的质因子的另一种方法。然而，这种因数分解方法不适用于大数，因为它冗长且耗时。在这种特定方法中，使用因数树图来计算大于1的给定数的质因子。在因数树法中，将给定数的因子围起来，并将得到的因子分解为因子，直到所有合数因子都只剩下质因子为止。因子通过绘制一条小线连接，该线表示为树的分支，因此称为因数树法。

一旦确定了质因子，我们就将它们圈起来。完成因数树后，所有圈出的质因子就是质因数分解。

使用因数树法对数字进行质因数分解的步骤

要通过因数树法对任何给定数进行质因数分解，应执行以下步骤

• 首先，我们将给定的数视为树的根。
• 接下来，我们确定可能的因子并将它们写在给定数的下方，使用线段作为树的分支将它们连接起来。
• 当我们找到质因数分解时，相应的分支就完成了，不需要进一步分解。我们圈出得到的质数。
• 当得到的因子是合数时，我们将其进一步分解，并将可能的因子写成树的下一个分支。
• 我们必须重复上一步中的因数分解过程，直到找到所有合数因子的质因子为止。
• 一旦得到所有质因子，我们就将它们写在一起，这些圈出的质数的乘积等于给定的数。

使用因数树法的质因数分解示例

让我们以数字198为例，使用因数树法进行质因数分解。

• 步骤1：我们可以从任何一对因子开始。所以，我们取2和99，因为2 x 99 = 198。我们将这些因子写在给定数的下方，并附有分支。
  
• 步骤2：由于因子2是质数，无法进一步分解，我们将其圈出。此外，因子99是合数，所以我们将其进一步分解，方法是将因子写在99的下方，如下所示
  
• 步骤3：同样，因子3是质数，所以我们将其圈出，并像上一步一样分解另一个合数33。
  
• 步骤4：合数33的最终因子是3和11，这两个都是质因子，所以我们将它们圈出。
  

现在，没有剩余的合数了。对于给定的数，会创建一个树状结构，其中包含所有质因子。写出所有质因子后，我们就得到198的质因数分解

198 = 2 x 3 x 3 x 11 = 2 x 3^2 x 11，其中质因子是2、3和11，3出现两次。

值得注意的是，质因子通常从小到大排列。

质因数分解的已解决示例

以下示例有助于理解轻松确定任何给定数质因子的过程

Q1. 求2664的质因子。

因此，2664的质因数分解=2^3 × 3^2 × 37。质因子是2、3和37，其中2出现三次，3出现两次。

Q2. 求6393的质因子。

这里，数字2131本身是一个质数。因此，6393的质因数分解=3 × 2131。质因子是3和2131。

常见问题解答

1) 你对“质因数分解”这个词有什么理解？

质因数分解一词指的是一种用于确定任何给定数的质因子的方法，当将这些质因子相乘时，得到原始给定的数。例如，如果我们确定数字16的质因数分解，我们得到2 x 2 x 2 x 2 (2^4)。

2) 应用哪两种方法来确定数字的质因子？

用于确定质因子的两种值得注意的方法称为除法法和因数树法。

3) 区分质数和合数。

质数被定义为只有一个因子，即1和它本身的数。例如，2是一个质数，因为它的两个因子是1和2。此外，合数被定义为具有两个以上因子的数。例如，4是一个合数，因为它有三个因子，即1、2和2。

4) 数字1是质数还是合数？

数字1既不是质数也不是合数。任何数要成为质数，必须有两个因子。然而，数字1只有一个因子，即它本身。此外，合数通常有两个以上的因子。

5) 是否存在任何可能的因数分解为小数的数字？

否。不允许分数或小数作为因子。每个数的因子都是整数。例如，如果我们用2除以15，我们得到小数7.5，这意味着2不是15的因子。一个数必须能被另一个数整除才能成为其因子。