因数与倍数 6年级笔记

引言

因数和倍数是数学中的重要概念。理解因数和倍数非常重要，尤其是在识别数字模式和约分或扩分分数时。

倍数定义

倍数是指一个数乘以一个整数得到的数。如果我们谈论的是一个整数的倍数，那么这个整数的倍数是当这个整数乘以计数数字时得到的。例如，要找到 5 的倍数，我们将 5 乘以 1、乘以 2、乘以 3 等等。所以，5 的倍数就是这个乘法与计数数字相乘的结果。

示例 1：求整数 4 的倍数。

答案： 4 的倍数是 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32….

示例 2：求整数 9 的倍数。

答案： 9 的倍数是 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72…

倍数的性质

倍数的主要性质

• 给定数的每个倍数都大于或等于该数。例如，22 的倍数是 22、44、66、88、110 等。所有这些 22 的倍数都大于或等于 22。
• 一个数有无限多个倍数，因为它可以乘以无限多个整数。例如，5 x2, 5 x3, 5x4 等。
• 每个数都是它本身的倍数。例如，25 是 25 的倍数，40 是 40 的倍数，50 是 50 的倍数，依此类推。

公倍数

两个数的公倍数称为这两个数的倍数。例如，

5 的倍数 = 5, 10, 15, 20, 25, 30…..

10 的倍数 = 10, 20, 30, 40, 50….

在上面的例子中，5 和 10 的前三个公倍数是 10、20 和 30。

公倍数可以用于现实生活中的情况，如下所述。

假设 Ajay 和 Vijay 在一个圆形跑道上跑步。他们从同一点开始跑，Ajay 完成一圈需要 5 秒，Vijay 完成一圈需要 10 秒。那么，当他们开始跑步后，第一次在起点相遇是什么时候？

我们可以从他们的公倍数中找到，例如，他们的第一个公倍数是 10，所以他们将在开始跑步后 10 秒第一次在起点再次相遇。

注意：一个数可以有无限多个倍数。因此，任何两个数都可以有无限多个公倍数。

公因子

因数是两个或多个数共有的因数，称为这些数的公因数。要找到两个数的公因数，我们需要找出这两个数的因数，然后找出哪些因数是两者共有的。下面给出了一个例子。

我们取两个数 45 和 60。

45 和 60 的因数是 –

• 45 = 1, 3, 5, 9, 15, and 45
• 60 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, and 60

1、3、5 和 15 同时出现在 45 和 60 中，所以它们的公因数是 1、3、5 和 15。

示例 2：求 56 和 72 的公因数。

56 和 72 的因数

• 56 = 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56
• 72= 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 18, 24, 36, 72
• 公因数是 1, 2, 4, and 8。

公因数的概念有各种实际应用。例如，您想用瓷砖覆盖一个尺寸为 56 米 x 72 米的地板。在这种情况下，可以使用的方形瓷砖的最大尺寸可以从 56 和 72 的公因数中找到。由于 8 是最高公因数，因此可以使用 15 厘米的方形瓷砖。

互质数

互质数是指两个数只有“1”作为它们的公因数。例如，3 和 5，以及 11 和 13。

注意事项

两个质数总是互质数。

两个偶数不能是互质数。

因数和倍数之间的主要区别

因数和倍数之间的关系

因数和倍数之间存在关系。这种关系如果用乘法的事实表示，例如 P x Q = R，那么 P 和 Q 是乘积的因数，R 是 P 和 Q 的倍数。如果我们取一些数字，例如 4 x 5 = 20，那么在这种情况下，4 和 5 是 20 的因数，而 20 是 4 和 5 的倍数。

常见问题解答

问 1. 两根绳子，一根长 12 米，另一根长 16 米，要剪成等长的几段。每段的最大可能长度是多少？

答

• 12 的因数是 1, 2, 3, 4, 6, 12
• 16 的因数是 1, 2, 4, 8, 16
• 12 和 16 的公因数 = 1, 2, 4
• 最高公因数是 4。因此，每段绳子的最大可能长度是 4 米。

问 2. 用于种植蔬菜的长方形区域长度为 18 米，宽度为 15 米。在这块土地上建造均匀大小的方形苗床，每块苗床的最大可能长度是多少？

答

要确定最大可能长度，我们需要找到 18 和 15 的 HCF（最高公因数）。

• 18 的因数是 1, 2, 3, 6, 9, and 18。
• 15 的因数是 1, 3, 5, and 15。
• 18 和 15 的公因数 = 1, 3
• 它们之间的 HCF 是 3。

可以建造的每个方形苗床的最大可能长度是 3 米。

问 3. 求 HCF（最高公因数）。

1. 120 和 144

• 120 的因数是 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, and 120。
• 144 的因数是 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, and 144
• 最高公因数：24

因此，120 和 144 的 HCF 是 24。

2. 39 和 25

• 39 的因数是 1, 3, 13, and 39
• 25 的因数是 1, 5, and 25
• 39 和 25 的公因数是 1。

39 和 25 的 HCF 是 1。

此外，39 和 25 是互质数，因为它们只有一个公因数 1。

问 4. 求这些数的最小公倍数。

1. 24 和 27

• 24 的倍数 = 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216, 240…
• 27 的倍数 = 27, 54, 81, 108, 135, 162, 189, 216, 243, 270…

24 和 27 的公倍数 = 216

最小公倍数 = 216

问 5. Meera 有一堆珠子，她想制作每个包含相同数量珠子的项链。她可以成功制作出每条项链有 16 颗、24 颗或 40 颗珠子，而没有剩余的珠子。她最少需要有多少颗珠子？

答

我们需要确定 16、24 和 40 的 LCM（最小公倍数）。

• 16 的倍数 = 16, 32, 48, 64, 80, 96, 122…208, 224, 240…
• 24 的倍数 = 24, 48, 72, 96, 120, 148… 216, 240…
• 40 的倍数 = 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280…
• 最小公倍数：240

因此，Meera 最少需要 240 颗珠子。

问 6. 50 的因数和倍数是什么？

答案

50 的因数包括所有能整除 50 而没有余数的整数。所以，它的因数是 1, 2, 5, 10, 25 和 50。50 的倍数是我们将其乘以从 1 开始的整数时得到的数字，如下所示。

50 x 1 = 50

50 x 2 = 100

50 x 3 = 150

50 x 4 = 200

50 x 5 = 250

所以，50 的倍数是 50, 100, 150, 200, 250 等等。整数是无限的，所以 50 或任何其他数可以有无限多的倍数。