比例 6年级笔记

在数学中，比例主要基于比率和分数概念来定义。分数表示为 p/q，而比率表示为 p:q，其中 p 和 q 是整数。简单来说，比例是指两个比率相等。比例是数学中的一个关键概念，有助于理解数学和科学中的各种高级概念。此外，它还在许多现实生活场景中得到应用。比例在现实生活中应用的显著例子包括在业务运营期间处理交易或在烹饪时分配配料等。比例有助于在两个或多个量之间建立关系，因此，它们有助于对量进行比较。

比例简介

数学中的比例是指**相对于整体的某一部分、部分或数量**。比例的定义指出，当任何两个比率相等时，它们就被称为成比例。简单来说，它是一个方程或陈述，显示给定比率或分数之间的关系，并声明它们是相等的。比率只不过是两个数字之间的数学比较。

示例

假设火车大约需要一小时行驶 50 公里。那么，它将大约需要 5 小时行驶 250 公里。这里，在一小时内行驶 50 公里的时间比率等于在 5 小时内行驶 250 公里所需的时间，即 50 公里/小时 = 250 公里/5 小时。因此，比率相等，即它们成比例。

连比

对于任何给定的三个比率，当第一个比率和第二个比率等于第二个比率和第三个比率之间的比率时，它们就被称为连比。类似地，对于四个成连比的数量，第一个和第二个之间的比率将等于第三个和第四个之间的比率。

假设有两个比率 a:b 和 c:d。要确定这两个比率之间的连比，我们需要将它们的中间项转换为一个单一的项/数字。这可以通过找到中间项的 LCM（最小公倍数）来完成。对于给定的比率，中间项 b 和 c 的 LCM 将是 bc。因此，我们将第一个比率乘以 c，将第二个比率乘以 b，得到

• 第一个比率 – ca:bc
• 第二个比率 – bc:bd

因此，给定比率的连比可以写成 ca:bc:bd 的形式。

比率与比例

在数学中，比率的概念通过除法用于比较同一种类的两个量。对于任何给定的两个数字 a 和 b，比率由公式 a:b 或 a/b 给出。需要注意的是，将比率的分子和分母乘以（或除以）相同的非零数字不会影响其值。

当两个或多个给定的比率相等时，它们就被称为成比例。换句话说，给定的比率在等效时构成比例。

第三比例项、第四比例项和比例中项

对于任何比例 a : b = c : d，以下术语都很重要

• c 是 a 和 b 的第三比例项。
• d 是 a、b 和 c 的第四比例项。
• √(ab) 是 a 和 b 之间的比例中项。

比例的技巧和窍门

• 当比率 a:b 中的两个数字 a 和 b 都乘以或除以相同的非零数字时，结果比率将等于原始比率。
• 当 a/b = c/d 时，则 ad = bc。
• 当 a/b = c/d 时，则 b/a = d/c。
• 当 a/b = c/d 时，则 a/c = b/d。
• 当 a/b = c/d 时，则 (a + b)/b = (c + d)/d。
• 当 a/b = c/d 时，则 (a - b)/b = (c - d)/d。
• 当 a/(b + c) = b/(c + a) = c/(a + b) 且 a + b + c ≠0 时，则 a = b = c。
• 当 a/b = c/d 时，则 (a + b)/(a - b) = (c + d)/(c - d)；这称为合比-分比规则。

比例公式及示例

比例公式通常指的是一个方程，求解该方程可以得到可比较的值。要解决比例问题，比例的基本概念“两个比率相等”就派上用场了。在这种情况下，它也指两个分数相等。

比率公式

当给出两个量 a 和 b，并且我们要找到这两个量的比率时，比率的公式可以表示为 a:b ⇒ a/b。这里，

• ‘a’被称为第一项或前项。
• ‘b’被称为第二项或后项。

例如，比率 5:9 可以写成 5/9。这里，5 是前项，9 是后项。如果我们把比率的分子和分母都乘以 2 和 3，结果的比率也会相同，即

• 5:9 = 10:18 = 15:27

比例公式

正如我们已经知道的，当两个比率相等时，它们就被称为成比例。因此，让我们假设两个比率 a:b 和 c:d 相等。这里，项 ‘b’ 和 ‘c’ 被称为‘中间项’，而项 ‘a’ 和 ‘d’ 被称为‘外项’。我们也可以将比例 a:b::c:d 写成 a/b = c/d。

让我们通过一个例子来理解这一点。假设有 2 个班级，女生人数与男生人数的比率相等。假设第一个班级的女生人数与男生人数的比率为 2:5，而在第二个班级，相同比率为 4:10。因此，由于比率相同，它们成比例，我们可以将此比率写成 2:5::4:10，即 2/5 = 4/10。在这种情况下，2 和 10 是外项，而 5 和 4 是中间项。

比例类型

根据两个或多个量之间的关系，比例主要分为两种类型，即

• 正比例
• 反比例

正比例

顾名思义，正比例表示两个或多个量之间的直接关系。换句话说，当一个量增加时，另一个量也以相同的比例增加，反之亦然。例如，假设一辆车的速度增加。在这种情况下，它将在固定时间内覆盖更远的距离。如果我们用 'x' 表示速度，用 'y' 表示覆盖的距离，那么我们可以说 x 直接与 y 成比例，即 x ∝ y。

让我们通过另一个例子来理解这一点。假设一个苹果的价格是 100 卢比。随着苹果数量的增加，价格也会增加。在这种情况下，苹果数量和苹果价格之间的关系是成正比的。让我们通过下表来理解

成本 = 苹果数量 * 60，其中 60 在此示例中是常数。

反比例

在这种比例类型中，两个或多个量之间存在间接关系。换句话说，当一个量增加时，另一个量减少，反之亦然。例如，当车辆的速度增加时，它将在较短的时间内覆盖一定的距离。如果我们用 'x' 表示速度，用 't' 表示覆盖一定距离所需的时间，那么我们可以说 x 与 t 成反比，即 x ∝ 1/t。

让我们通过另一个例子来理解这一点。假设一个油漆工需要大约 30 天来粉刷整个房子。如果我们增加油漆工的数量，粉刷整个房子所需的时间将相应减少。在这种情况下，油漆工数量和粉刷整个房子所需的时间之间存在反比关系。

粉刷房子所需天数 = 30/油漆工数量，其中 30 在此示例中是常数。

比例的性质

比例有助于在两个比率之间建立等价关系。以下是比例遵循的或基于此类关系的显著性质

比率与比例的区别

比率和比例都是数学概念，它们彼此密切相关。简单来说，比例表示两个或多个比率之间的相等关系。下表说明了比率和比例之间显著的区别

已解决的问题

问题 1：一位专业厨师解释说，制作完美的蛋糕，糖和面粉的比例应为 1:1。假设制作一个 6 盎司的蛋糕使用了 3 盎司糖；那么需要多少盎司面粉？

解答：假设这个例子中所需的 the amount of flour is x ounces。正如我们已经知道的，我们烤一个 6 盎司的蛋糕需要 3 盎司糖，而且我们要确定蛋糕所需的 the amount of flour。因此，比率如下

1/1 = x/3

或

x = 3

所以，我们需要 3 盎司面粉。

问题 2：约翰大约在 30 分钟内行驶了 4 英里。按此速度，他在 45 分钟内能行驶多远？

解答：我们将此例中的未知量视为 x，即 x 是约翰在给定速度下大约 45 分钟内可以行驶的英里数。在例子中，很明显，在 30 分钟内行驶 4 英里与在大约 45 分钟内行驶 x 英里是相同的。因此，我们可以为这种情况写出比例方程，如下所示

4/30 = x/45

或

x = (4 * 45)/ 30

x = 180/ 30

x = 6

因此，约翰可以在 45 分钟内行驶 6 英里。

常见问题解答

1. 你如何用数学来定义比例？请解释中间项和外项。

根据定义，比例是指数量（如数字）之间的数学比较。任何比例都包含至少两个相等的比率。它是一种由常数连接的两个变量之间的关系。比例使用“::”或“=”号表示。对于任何比例 a:b::c:d 或 a/b=c/d，术语 'a' 和 'd' 被称为‘外项’，而其他两个术语 'b' 和 'c' 被称为‘中间项’。

2. 你如何知道两个比率构成比例？

要确定给定的比率是否成比例，我们需要检查它们是否相等。如果给定的比率是等效的，那么它们就被称为成比例。例如，比率 1:2、2:4 和 3:6 是等效比率，因此它们也相互构成比例。值得注意的是，显示等式的三个或更多比率称为连比。

3. 确定比例的方法是什么？

在确定或计算比例时，我们必须应用比例公式，即

a:b :: c:d

或

a:b = c:d

或

a/b = c/d

我们读作“a”比“b”等于“c”比“d”。这里，a、b、c 和 d 是数字。

4. 数学中有多少种比例？

比例主要有两种类型，取决于两个或多个量之间形成的关x系。这些称为正比例，表示给定量之间的直接关系，以及反比例，表示给定量之间的间接关系。简单来说，当任何两组数字以相同的比率增加和减少时，这样的比率就被称为直接成比例。此外，如果一组增加而另一组数字减少，反之亦然，则这样的比率就被称为成反比。

5. 解释一些显著的比例性质。

比例在两个比率之间创建了一个等价关系。对于给定的比例 a:b::c:d，显著的性质包括合比（即 a + c : b + d）、差比（即 a – c : b – d）、分比（即 a – b : b = c – d : d）、合比（即 a + b : b = c + d : d）、交比（即 a : c = b : d）、逆比（即 b : a = d : c）和合比-分比（即 a + b : a – b = c + d : c – d）。