整数 6年级笔记

整数是数系的一部分，包括从0到无穷大的所有正整数。这些数字存在于数轴上。因此，它们被归类为实数。所有整数都是实数，但并非所有实数都是整数。整数可以定义为自然数和0的组合。

整数由整数和自然数的负形式组成。这意味着整数包括正数、负数和0。实数是一个更广泛的集合，包含自然数、整数、整数和分数。

自然数与零结合被称为整数。例如0、11、25、36、999和1200。

请继续阅读，了解更多关于整数、它们的符号和属性。

什么是整数？

整数可以定义为不包含分数或小数的数字。它们由正整数和零组成。整数的符号是“W”，集合表示为{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}。零表示空值或无。

整数： W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}

自然数： N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}

整数： Z = {…, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}

计数数： {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

整数包括零和正整数，但不包含分数或小数。例如，像3/4、2.2和5.3这样的数字不是整数。整数可以用于基本的数学运算，如加法、减法、乘法和除法。

符号

大写字母“W”用作整数的符号/表示。

W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}

因此，整数列表包括0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12等。

关于整数的事实

以下是一些关于整数的有趣事实：

• 每个自然数都是整数。
• 每个计数数都是整数。
• 所有正整数和零都是整数。
• 所有整数都属于实数范畴。

整数的性质

当应用加法、减法、乘法和除法等基本数学运算时，整数遵循某些规则。当两个整数相加或相乘时，结果始终是一个整数。然而，减法不一定总是得到整数，因为结果可以是整数。同样，除法有时会导致分数。

让我们通过例子来探讨整数的关键性质。

1. 封闭性

整数在加法和乘法下是封闭的。这意味着当两个整数相加或相乘时，结果也是一个整数。

例如

4和7是整数。

加法： 4 + 7 = 11 (一个整数)

乘法： 4 × 7 = 28 (一个整数)

因此，整数在加法和乘法下是封闭的。

2. 加法和乘法的交换律

两个整数相加或相乘的顺序不会改变结果。换句话说，如果x和y是整数，那么

加法： x + y = y + x

乘法： x × y = y × x

例如

考虑整数4和8。

加法：4 + 8 = 12 和 8 + 4 = 12 → 4 + 8 = 8 + 4

乘法：4 × 8 = 32 和 8 × 4 = 32 → 4 × 8 = 8 × 4

因此，整数遵循加法和乘法的交换律。

3. 加法单位元

当零加到任何整数时，结果保持不变。这意味着零是加法单位元。

例如

加法： 0 + 17 = 17 和 17 + 0 = 17

因此，0 + 17 = 17 + 0 = 17

因此，0是整数的加法单位元。

4. 乘法单位元

当一个整数乘以1时，其值保持不变。这意味着1是乘法单位元。

例如

乘法： 1 × 11 = 11 和 11 × 1 = 11

因此，1 × 11 = 11 = 11 × 1

因此，1是整数的乘法单位元。

5. 结合律

当相加或相乘三个整数时，它们的组合不影响结果。这意味着如果x、y和z是整数

加法： x + (y + z) = (x + y) + z

乘法： x × (y × z) = (x × y) × z

示例

考虑1、2和5。

加法： 1 + (2 + 5) = 1 + 7 = 8 和 (1 + 2) + 5 = 3 + 5 = 8

因此，1 + (2 + 5) = (1 + 2) + 5

乘法： 1× (2 × 5) = 1× 10 = 10 和 (1 × 2) × 5 = 2 × 5 = 10

因此，1 × (2 × 5) = (1 × 2) × 5

因此，整数在加法和乘法下都遵循结合律。

6. 分配律

分配律规定乘法对加法和减法具有分配性。如果x、y和z是整数，那么

乘法对加法的分配： x × (y + z) = (x × y) + (x × z)

乘法对减法的分配： x × (y - z) = (x × y) - (x × z)

示例

考虑7、10和5。

乘法对加法的分配

7 × (10 + 5) = 7 × 15 = 105

(7 × 10) + (7 × 5) = 70 + 35 = 105

所以，7 × (10 + 5) = (7 × 10) + (7 × 5)

乘法对减法的分配

7 × (10 - 5) = 7 × 5 = 35

(7 × 10) - (7 × 5) = 70 - 35 = 35

所以，7 × (10 - 5) = (7 × 10) - (7 × 5)

因此，整数遵循分配律。

7. 乘以零

任何整数乘以零总是等于零。

示例

0 × 18 = 0

18 × 0 = 0

因此，0 × 18 = 18 × 0 = 0

所以，任何整数乘以0总是得到0。

8. 除以零

任何整数除以零都是未定义的。

因此，对于任何整数x，x ÷ 0是未定义的。

9. 减法和除法不总是得到整数

两个整数的减法不总是得到整数。

例如，7 - 2 = 5，这是一个整数。然而，1 - 4 = -3，而-3不是一个整数。这意味着整数在减法下不封闭。

同样，两个整数的除法不总是得到整数。

例如，4 ÷ 2 = 2，这是一个整数。但是2 ÷ 7 = 0.2，这不是一个整数。因此，整数在除法下不封闭。

什么是数轴？

数轴是数字在一条笔直、水平且等距的刻度线上的视觉表示。数轴左侧的数字较小，而右侧的数字较大。

让我们来看一些已解决的例子。

示例1：使用分配律

使用分配律计算11 × 25的值。

解决方案

11 × 25 = 11 × (20 + 5)

= (11 × 20) + (11 × 5)

= 220 + 55

= 275

示例2：求解表达式

计算 (4 + 3) + 2 的结果。

解决方案

(4 + 3) + 2 = 7 + 2= 9

前驱和后继

一个数的后继是它后面的下一个数，通过加1得到。

一个数的前驱是它前面的前一个数，通过减1得到。

例如，12的前驱和后继是

13 - 1 = 12 (前驱)

13 + 1 = 14 (后继)

整数存在于哪里？

数轴

数轴是一条无限长、笔直的线，表示所有整数。它从零开始，任意两个连续整数之间的间隔始终相同。

绘制数轴

1. 画一条直线，并在上面标记一个点为0。
2. 在0的右侧等距放置另一个点，并将其标记为1。
3. 0和1之间的空间称为单位距离。
4. 继续在相同的单位距离处向右标记点，将它们标记为2、3、4、5等。

这个过程可以无限期地进行，形成整数的数轴。

数轴上的运算

数轴上的加法

要计算1 + 2

从数轴上的1开始。

向右移动两步，每步一个单位。

你停在3。

所以，1 + 2 = 3。

数轴上的减法

要计算4 - 1

从数轴上的4开始。

向左移动1步，每步覆盖一个单位。

你到达3。

所以，4 - 1 = 3。

数轴上的乘法

要计算4 × 2

从数轴上的零开始。

一次向右移动四步。

重复此操作2次。

你到达8。

所以，4 × 2 = 8。

整数中的模式

整数可以用点排列成基本的形状，如直线、矩形、正方形或三角形。

以下是整数中模式的快速概述

• 每个数字都可以排成一条直线。
• 有些数字，例如6，可以排成矩形。行数应少于列数，并且矩形必须有多于一行。
• 像4和9这样的数字可以排成正方形。需要注意的是，每个平方数也是一个矩形数。
• 少数数字，如3和6，可以形成三角形。三角形必须是直角三角形，两边相等。行中的点数应从下到上递减，例如4、3、2和1，顶部只有一个点。

现在让我们详细了解这一点；

如果我们将数字1用一个点表示，数字2用两个点表示，我们可以用这些点形成不同的形状。这些是；

单点

只有一个点，无法形成任何图案。它仍然是一个单点。

直线

给出两点时，可以将它们连接起来形成一条直线。

延长线

再加一点仍然会形成一条直线。

除了一个点之外，任何数量的点都可以形成一条直线。

三角数

可以排列成三角形形状的数字称为三角形数。例如3、6、10、15和21。

平方数

当一个整数自乘时，得到一个平方数。平方数的例子包括4、9和16。

如果我们将两个连续的三角形数相加，结果总是一个平方数。例如

• 3 + 6 = 9
• 6 + 10 = 16
• 10 + 15 = 25

这里，6和10是连续的三角形数，16是一个平方数。

矩形数

可以排列成矩形图案的整数称为矩形数。

如果一个整数可以表示为两个不同整数（不包括1）的乘积，则它被视为矩形数。

例如，12是一个矩形数，因为它可以表示为

• 2 × 6 = 12
• 3 × 4 = 12

所有平方数都是矩形数，但并非所有矩形数都是平方数。

识别数字模式不仅有趣，而且有用。它有助于心算并提高对数字属性的理解。

什么是BODMAS？

在解决涉及多个运算的数学表达式时，我们必须遵循特定的优先级顺序

• 括号 - 首先解决括号内的表达式。
• 阶数 - 接下来是指数或幂。
• 除法 - 解决括号和阶数后执行除法。
• 乘法 - 在除法之后。
• 加法 - 在乘法之后解决。
• 减法 - 最后执行。

每个运算的首字母构成首字母缩略词BODMAS。

示例：求解数值表达式

2 + 8 × 7 − 20 ÷ 5 + (50 ÷ 2)

现在，根据规则，首先解决括号。

5 ÷ 2 = 25

现在是除法。

20 ÷ 5 = 4

之后，表达式简化为

2 + 8 × 7− 4 + 25

现在乘法

8x7 = 56

现在，表达式变为

2 + 56 − 4 + 25

下一步是加法。

2 + 56 + 25 = 83

最后一步是减法。

83 − 4 = 79

因此，最终答案是79。

关于整数的常见问题

Q1：什么是整数？

整数是正数，包括零，不带任何分数或小数。它们表示完整的值，而不是部分。整数集写为

W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Q2：整数可以是负数吗？

不，整数永远不是负数。它们从0开始，然后是1、2、3等。负数不属于整数。

Q3：整数的主要性质是什么？

整数具有特定的性质，包括

• 当它们相加或相乘时，它们仍然是整数。
• 它们遵循加法和乘法的交换律。
• 它们遵循加法和乘法的结合律。
• 它们满足乘法对加法的分配律。
• 0是加法单位元（加0不改变数字）。
• 1是乘法单位元（乘以1不改变数字）。

Q4：20是整数吗？

是的，20既是整数又是自然数。但是，-20不是整数，因为整数不包括负数。

Q5：哪些数字不被认为是整数？

负数、分数或小数都不是整数。例如

-2、-4、½、7/4、π (pi)等。

Q6：所有整数都是实数吗？

是的，整数是实数的一部分。实数包括

• 整数
• 自然数
• 整数
• 有理数和无理数
• 虽然所有整数都是实数，但并非所有实数都是整数。

Q7：所有自然数都是整数吗？

自然数从1开始到无穷大，而整数从0开始到无穷大。这意味着

• 所有自然数都是整数。
• 并非所有整数都是自然数（因为整数包括0）。