三角形 6年级笔记

引言

在几何学中，三角形被定义为一个具有三个顶点和三条边的三边多边形。角和性质，即三角形内角和为180度的性质，是三角形的基本特征。

用符号∆ABC表示一个称为ABC的三角形，其中它的顶点是A、B和C。在欧几里得几何的背景下，三角形是由位于同一平面内的三个不共线点形成的二维图形。

定义

如引言中所述，三角形是一种特殊类型的多边形，以三条边为特征。两条边相交的点称为三角形的顶点，这两条边之间形成一个角。这个概念是几何学领域的基础。

包括勾股定理和三角学在内的几项主要原理都依赖于三角形的性质。三角形可以根据边的长度和边形成的角分为多种类型。

三角形形状

它是一个封闭的、二维的形状，是一个三边多边形。 三角形的每条边都是一条直线。两条直线相交的点称为顶点。因此，三角形有三个顶点，每个顶点形成一个角。

三角形的角

三角形有三个角，由两条在公共点（称为顶点）相交的边形成。这三个内角的和总是180度。当三角形的一条边被延长时，它会形成一个外角。相邻的内角和外角是互补的，这意味着它们的和等于180度。

举例说明，我们用∠1、∠2和∠3来表示三角形的内角。当三角形的边向外延伸时，会形成三个外角；它们分别是∠4、∠5和∠6，分别与∠1、∠2和∠3相邻。

三角形的组成部分

三角形由几个部分组成。它有三个角、三条边和三个顶点。请参考下面所示的PQR三角形，它标示出了三角形的边、顶点和内角。

在上图中所示的三角形中

• 三条边是PQ、QR和RP。
• 三个角是∠PQR、∠QRP和∠RPQ。
• 三个顶点是P、Q和R。
• 注意：三角形所有角的总和等于180°。

三角形的性质

与其他几何形状一样，三角形也有独特的性质。三角形的一些主要性质如下；

• 三角形由三条边、三个顶点和三个内角定义。
• 根据角和性质，三角形的三个内角之和总是180°。
• 根据三角形不等式定理，三角形任意两边之和总是大于第三边。
• 勾股定理指出，在直角三角形中，斜边的平方等于其他两条边平方之和；（斜边² = 底² + 高²）。
• 与最大角相对的边是三角形中最长的边。
• 根据外角定理，三角形的外角等于两个内相对角之和。

三角形的分类

三角形可以根据边的长度和形成的角进行分类。

按边长分类的三角形类型

三角形可以根据边的长度分为不同的类型

1. 等边三角形： 这是一个所有边长度都相等的三角形。因此，这个三角形中所有的内角也都相等。例如，每个角都将是60度。

2. 等腰三角形： 这个三角形有两条边长度相等。与相等边相对的两个角也相等。例如，边AC和BC相等，角A和B也相等。

3. 不等边三角形： 在这个三角形中，所有边的长度都不同。因此，三个角也彼此不同。

按角度测量分类的三角形类型

三角形可根据其角度值分为以下几类

1. 锐角三角形： 当一个三角形的所有角都是锐角时，就称为锐角三角形，意味着每个角都小于90°。

2. 直角三角形： 当一个三角形的一个角等于90°或直角时，它就称为直角三角形。

3. 钝角三角形： 如果一个三角形的一个角大于90度，就称为钝角三角形。

要记住的重要事项

• 在等边三角形中，所有三个内角都等于60°。
• 在任何三角形中，三个内角之和为180°。
• 每个三角形都有两个锐角。
• 一边长和一边相等的三角形称为等边三角形或等角三角形。

三角形的周长

三角形边界的总长度称为周长。它是三角形三边长度之和。

• 周长 = 所有边长度之和

对于标记为ABC的三角形，边为AB、BC和AC，周长可计算如下

• 周长 = AB + BC + AC

三角形面积

三角形的面积是指它在二维平面上占据的空间。面积可能因三角形的具体尺寸而异。要确定面积，我们需要知道三角形的底边长度和高度。测量结果以平方单位表示。

对于底边表示为“B”，高表示为“H”的三角形，可以使用以下公式计算面积

公式

• 三角形的面积 = 底和高乘积的一半
• 面积 = × 底 × 高

示例

问题： 计算一个底为8厘米，高为18厘米的三角形的面积。

解答： 三角形面积的公式是面积 = × 底 × 高。

因此，面积 = × 8 × 18 cm²

= × 144

= 72 cm²

用海伦公式求三角形面积

当给出三角形所有边的长度时，使用此公式。

它有两个重要步骤

1. 通过将给定三角形的周长除以2，求出半周长。

三角形的周长是其边界的总长度。要确定周长，必须将三角形三条边的长度相加

P = a + b + c

• 三角形的半周长定义为其周长的一半，用“s”表示
  s = (a + b + c)/2
  其中，a、b、c表示三角形的边长。
  步骤2：在海伦公式中使用半周长值
  A = √[s(s – a)(s – b)(s – c)]
  在此方程中，“s”代表三角形的半周长。
• 对于直角三角形，勾股定理提供了一种使用以下公式求斜边长度的方法
  斜边² = 底² + 垂边²

例题： 考虑一个边长为3厘米、4厘米、5厘米的三角形，其中底为4厘米，高为3.2厘米。我们需要计算这个三角形的面积和周长。

解答： 令三角形的边长

a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm

三角形的高为3.2厘米。

使用三角形面积公式，我们得到

面积 = 1/2 × 底 × 高

A = 6.4平方厘米。

接下来，为了计算三角形的周长，我们使用公式

P = a + b + c

P = 3 + 4 + 5

P = 12 cm。

常见问题

问.1. 写出三角形的定义。

答： 三角形是一个封闭的几何图形，在二维平面上有三条边和三个角。

问.2. 三角形的角和性质是什么？

答： 根据角和性质，三角形的三个内角之和总是等于180度。如果我们用∠A、∠B和∠C表示三个角，那么关系可以表示为

∠A + ∠B + ∠C = 180度。

问.3. 三角形的外角有什么性质？

答： 外角性质指出，与任何内角相邻而在三角形外部形成的角的总和是两个相对内角之和。