多边形 6年级笔记

引言

多边形是二维几何形状，具有有限数量的直边。这些边（也称为边）首尾相连形成。两个线段的交点处形成角，称为顶点或角。三角形是多边形的一个著名例子，因为它有三条边。尽管圆形是二维形状，但其弯曲的形状以及缺乏边和角使其无法归类为多边形。虽然所有多边形都是二维形式，但并非所有二维形状都是多边形。

无论我们是否意识到，多边形在我们的日常生活中很常见，并且可以以许多不同的形状出现。多边形的概念和重要性、它们的多种形式、多边形形状的真实世界示例、它们的属性和合适的公式已在下文进行了描述。

多边形

“polygon”一词来源于希腊语“poly”，意为“多”，和“gon”，意为“角”。顾名思义，多边形是一个由直线组成的闭合物体，这些直线决定了其内角。我们经常在环境中看到多边形；例如，蜂窝是一种六边形的多边形形式，称为六边形。每个多边形都有不同的结构，并根据其特征和边数进行分类。重要的是要理解，在二维空间中，每个多边形都是由有限数量的线段组成的闭合形式。

根据定义，“在二维平面内由线段而不是曲线组成的封闭图形称为多边形”。对于多边形，至少三条线段必须首尾相连才能形成一个封闭图形。因此，三角形或 3 边形是一个有三条边的多边形。有 n 条边的多边形称为 n 边形。简单来说，多边形是由线段组成的形状。下面显示了具有不同线段数量的不同多边形的示例

多边形的分类

根据其边和角的特征，多边形可以分为几种类型，例如

• 正多边形
  当多边形的所有边和内角都相等时，它被称为正多边形。正方形和等边三角形是正多边形的例子。
• 不规则多边形
  边和内角大小不同的多边形称为不规则多边形。这表明多边形是不规则的，因为边的长度不同或内角的度量不同。风筝、矩形和不等边三角形是不规则多边形的一些例子。
• 凸多边形
  任何内角都小于 180 度的多边形称为凸多边形。在这种类型的多边形中，顶点将向外指向形状的中心。凸多边形的一些例子包括三角形、正方形、正五边形和矩形。
• 凹多边形
  凹多边形有一个或多个大于 180 度的内角。这些多边形的顶点向内指向形状的内部，并且它们必须至少有四条边。
  值得注意的是，多边形的边数、角度和其他特征可以用来进一步定义它。

多边形的角

多边形具有相同数量的边和顶点。每个顶点都有一个相应的角度度量。内角和外角是角度分类的两个组。

多边形的内角

多边形的相邻边形成其内角，在正多边形中，这些内角彼此相等。边的数量等于内角的数量。如果已知正多边形的边数，则可以使用公式找到内角的度量。

可以使用以下公式获得基本 n 边形所有内角的和

• 内角和 = (n − 2) × 180°
  以弧度表示的公式如下
• 和 = (n − 2) π 弧度
  在这种情况下，“n”表示多边形的边数。
  例如，一个四边形的内角和确定如下
  对于 4 边多边形，其内角和 = (4 – 2) × 180°
  = 2 × 180°
  = 360°

多边形的外角

当正多边形的一条边沿顺时针或逆时针方向延伸时，延伸线与相邻边之间形成的角被测量为外角。正多边形的外角总是全等或相等的，它们的和总是 360°。当已知边数时，可以使用以下公式找到外角的度量

• 外角 = 360°/n，其中“n”表示多边形的边数。

当已知内角度数时，可以使用以下公式找到外角度数

• 内角 + 外角 = 180 度
  或
• 外角 = 180 度 – 内角

性质

我们可以根据多边形的属性轻松识别它。具体来说，下面列出的特征有助于确定一个形状是否是多边形

• 多边形在同一地点开始和结束，使其成为一个没有开放端的封闭形状。
• 它由直线或线段组成，使其具有平面形状。
• 这个二维物体没有深度或高度；它只有长度和宽度。
• 它有三条或更多条边。
• 多边形的角可以相同或具有不同的度数。
• 多边形的边可以具有相同或不同的长度。

多边形的边和角也有助于定义其特征

• 计算 n 边多边形所有内角和的公式是 (n – 2) × 180°。
• 公式 n(n – 3)/2 表示具有 n 条边的多边形中有多少条对角线。
• 从多边形的一个顶点连接对角线形成的三角形数量 = n - 2。
• 在正 n 边形中，每个内角的度数是 [(n – 2) × 180°]/n。
• 在具有 n 条边的正多边形中，每个外角测量 360°/n。

多边形的边

多边形的精确名称由其边数决定，因为不同的多边形具有不同数量的边。例如，三角形是具有三条边的多边形，而四边形是具有四条边的多边形。

多边形公式

对于多边形，有两个基本公式适用

• 多边形的面积
• 多边形的周长

让我们仔细看看多边形的这两个公式

1. 多边形的面积

多边形的面积定义为其边界内包含的空间量。根据多边形是规则的还是不规则的，使用几种方法来计算多边形的面积。例如，三角形（三边多边形）的面积等于其高和底乘积的一半。通常，面积以平方单位表示，例如 m²、cm² 或 ft²。值得注意的是，每种类型的多边形根据其分类和边数都有独特的公式。

2. 多边形的周长

多边形周围的总距离，通过将其所有边的长度相加计算，称为其周长。如果一个多边形有 N 条边，则其周长可以如下计算

• 周长 = 边 1 的长度 + 边 2 的长度 + 边 3 的长度 +... + 边 N 的长度。

米、厘米或英尺等单位用于描述此量。

下面给出了各种多边形的面积和周长公式

三角形

• 面积 = ½ * (底) * (高)
• 周长 = a+b+c，其中 a、b 和 c 表示边的长度。

矩形

• 面积 = 长 * 宽
• 周长 = 2 * (长 + 宽)

Square

• 面积 = 边^2
• 周长 = 4 * (边)

梯形 (Trapezoid)

• 面积 = 边^2
• 周长 = 4 * (边)

平行四边形

• 面积 = 底 * 高
• 周长 = 2 * (相邻边对之和)

菱形

• 面积 = ½ * (对角线之积)
• 周长 = 4 * 边

六边形

• 面积 =(3√3)/2 * (边)^2
• 周长 = 所有六边之和

五边形

• 面积
• 周长 = 所有五边之和

三角形（3 边形）

最简单的多边形类型是三角形，它有三条边和三个顶点。三角形可以根据其角度和边分为许多不同的类型。关于三角形的一个有趣事实是，三角形的所有内角之和为 180° 或一个平角。

根据边的类型划分的三角形

• 等边三角形： 在等边三角形中，每个角都全等，并且每条边的长度都相等。这种类型的三角形的另一个名称是等角三角形。
• 等腰三角形： 等腰三角形的两条边的长度相等，并且它们相对的角也相等。
• 不等边三角形： 不等边三角形的三条边长度不同。

请参阅下图，了解这三种类型三角形之间的区别

根据角的类型划分的三角形

• 锐角三角形： 锐角三角形中的每个角都小于 90 度。
• 直角三角形： 直角三角形的三个角中有一个角正好是 90 度。
• 钝角三角形： 钝角三角形的一个角大于 90°。

上图中显示了根据其角度划分的三种不同类型的三角形。

四边形（4 边形）

有四条边的多边形称为四边形。换句话说，它是由四条线段连接而成，这些线段在顶点或角处相交，形成四个角。

像三角形一样，四边形也可以分为几类，例如矩形、正方形、菱形、平行四边形和梯形。四边形的分类如下图所示

多边形图表

下表显示了多边形如何根据其边数命名。每个多边形的边数决定了其独特的名称。例如，前缀“tri”（意为三）和“gon”（意为角）是 trigon（tri-gon）的来源，也称为三角形。这表明它是一个三角度的物体。

请看下表中根据边数排列的不同正多边形的名称

常见问题

问题 1：多边形有哪些特征？

答： 如果一个形状满足以下标准，则称为多边形

• 它必须是一个闭合图形，这意味着它在同一点开始和结束。
• 它必须有线段或直边。
• 它必须是一个以长度和宽度为特征的二维形状。
• 它必须有三条或更多条边。
• 多边形内的角度可以不同或相同。
• 边的长度可以不同或相同。

问题 2：如何判断一个多边形是否是正多边形？

答： 如果一个多边形满足以下条件，则将其归类为正多边形

• 所有边的长度必须相等。
• 每个内角必须全等。
• 所有外角也必须全等。

问题 3：圆形可以归类为多边形吗？

答： 不，圆形不归类为多边形，因为它不符合定义多边形的标准。圆形没有三条或更多条直边（边），也没有内角或外角。因此，可以得出结论，圆形不是多边形。

问题 4：11 边形叫什么名字？

答： 一个 11 边形被称为十一边形。这个词来源于两个希腊词：“hendeka”，意为十一，和“gon”，意为角。这两个词合在一起指代一个有十一条边的形状。

问题 5：多边形总是闭合图形吗？

答： 是的，多边形总是闭合图形，因为它们由三条或更多条直线组成，这些直线连接回起点。要使一个形状符合多边形的条件，它必须是一个闭合图形。这个特征是识别多边形的关键标准之一。

问题 6：所有三角形都算作多边形吗？

答： 是的，所有三角形都算作多边形，因为它们符合多边形分类的所有必要标准。无论是等边三角形、等腰三角形还是不等边三角形，三角形始终满足以下条件

• 形状在同一点开始和结束。
• 它由线段或直线组成。
• 它有二维：长度和宽度。
• 它至少有三条边。
• 角度可能相同或不同。
• 边的长度可能相等或不同。

这些点证实所有三角形都符合多边形的条件。

问题 7：什么是正多边形？

答： 当已知单个外角的度数时，要找到正多边形的边数，可以使用以下公式

问题 8：如何确定多边形的边数？

答： 当已知单个外角的度数时，要找到正多边形的边数，可以使用以下公式

边数 (n) = 360 ÷ 外角

问题 9：凹多边形和凸多边形如何区分？

答： 凹多边形和凸多边形之间的区别如下

• 凹多边形至少有一个内角是反角，指向内部。相反，凸多边形没有大于 180° 的内角。
• 凹多边形必须至少有四条边，而凸多边形至少可以有三条边。
• 在凹多边形中，某些对角线可能部分或完全延伸到外部，而在凸多边形中，所有对角线都保持在内部。
• 值得注意的是，所有凹多边形由于其不相等的内角都是不规则的，而凸多边形有时也可以是规则的。

问题 10：正多边形和不规则多边形有什么区别？

答： 正多边形的特点是所有边的长度相等，所有角的度数相等。相反，不规则多边形的边和角的长度和度数各不相同。