比和比例 6年级笔记

在数学中，理解比例和比率的概念至关重要，因为它们构成了理解两个数字或数量之间关系的基础。对于六年级的学生来说，这两个概念，如比例和比率，在解决日常活动方面也很重要，例如计算成本、测量食谱、理解地图等。简单来说，这两个主题都是学生数学基础的关键概念，有助于他们培养解决问题和分析能力，这不仅对于考试来说是必不可少的，而且对于许多领域，尤其是科学、工程和金融领域的实际活动也非常重要。

比例简介

在数学中，比例通常指的是用除法作为比较的数学数字。比例比较的是两个单位相同、相似的事物或数量。它根据“一个量是另一个量的多少倍”来比较它们。符号“:”用于在数学中表示比例。当有两个数字“x”和“y”时，比例可以写成以下三种方式：

• x 比 y
• x/y
• x:y

在以上三种方法中，表达式都读作“x 比 y”。

让我们通过一些常见示例来理解这一点。

示例 1： 4 与 5 的比率是多少？

解答： 4 与 5 的比率是 4:5（或 4/5）。

示例 2：当 Ram 重 40 公斤，Ali 重 80 公斤时，Ram 的体重与 Ali 的体重的比率是多少？

解答：要确定 Ram 的体重和 Ali 的体重的比率，我们需要将 Ram 的体重除以 Ali 的体重。因此，Ram 的体重和 Ali 的体重的比率如下：

= 40 / 80

= 1 / 2（或 1:2）

示例 3：当一个班级中有 35 名男生和 25 名女生时，确定“总学生数中的男生人数”与“总学生数中的女生人数”的比率。

解答：要确定比率，我们首先需要计算学生总数。可以使用以下表达式计算：

学生总数 = 男生人数 + 女生人数

因此，学生总数 = 35 + 25 = 60

• 男生人数与学生总数的比率 = 35 / 60 = 7 / 12 = 7:12
• 女生人数与学生总数的比率 = 25 / 60 = 5 / 12 = 5:12

黄金比例

在数学中，黄金比例是指两个数字或数量之间约为 1.618 的比率。在黄金比例中，两个数量的比率与其和与较大数量的比率相同。

例如，如果任何两个数字“a”和“b”呈黄金比例，那么

(a + b) /a = a /b，等于 1.618。

分数与比例的重要区别

分数被认为是整体的一部分，其分母表示总份数。例如，1/3 表示 3 份中的 1 份。

比例是指两个不同数量之间的比较。例如，假设有 30 人，其中约 10 人认为驾驶是他们的爱好，20 人喜欢游泳。在这种情况下，喜欢驾驶的人数与总人数的比率 = 10:30。此外，喜欢游泳的人数与喜欢驾驶的人数之比为 20:10。

同一比例在多种情况下的应用

比例在许多情况下也可以相等。在以下两个示例中，比例是相等的：

• John 重 50 公斤，Jenny 重 100 公斤，则 John 的体重与 Jenny 的体重的比率为 50/100 = 1/2（或 1:2）。
• 班级中女生总数为 50 人，男生总数为 100 人。因此，女生人数与男生人数的比率为 50/100 = 1/2（或 1:2）。

因此，两个示例中的比例是相等的，即 1:2。

使用比例比较数量

如上所述，可以使用比例来比较数量。让我们通过一个例子来理解这一点：

示例：假设 John 工作了大约 8 小时，而 Jenny 工作了大约 2 小时。John 的工作时间是 Jenny 工作时间的多少倍？

解答：John 与 Jenny 工作时间的比率 = John 的工作时间 / Jenny 的工作时间

因此，比率为 = 8/ 2 = 4

这意味着 John 的工作量是 Jenny 的四倍。

条件：比较两个数量时，单位必须相同。

在根据比例比较两个数量时，单位必须相同。当存在不同单位时，我们必须先将它们转换为相同的单位，然后才能使用比例进行比较。

示例：如果 John 的身高是 175 厘米，Jenny 的身高是 1.35 米，则找出 John 和 Jenny 身高的比率。

解答：由于 John 和 Jenny 身高的单位不相同，因此有必要将它们转换为某个共同单位。John 的身高以厘米为单位，而 Jenny 的身高以米为单位。因此，我们将 Jenny 的身高转换为厘米。

Jenny 的身高（厘米） = 1.35 * 100 = 135 厘米

现在，John 和 Jenny 身高的比率 = John 的身高 / Jenny 的身高 = 175/ 135 = 35/ 27

等比

如果给定的比率相等，则这些比率称为等比。等比可以通过乘以和除以相同的数字来计算分子和分母。同一个比率可以有多个等比。例如，10:30（=1:3）和 11:33（=1:3）的比率是等比。

在讨论等比时，给定比率的值会发生变化，但它们代表了数量的相同部分。

示例： 2/4 的两个等比是多少？

解答：要确定 2/4 的等比，我们将给定比率的分子和分母都乘以 2。这给了我们：

• 2/4 = (2 * 2)/(4 * 2) = 4/8，这是 2/4 的等比。

为了得到另一个等比，我们将给定比率的分子和分母都除以 2。这给了我们：

• 2/4 = (2/2)/(4/2) = 1/2，这是 2/4 的另一个等比。

从上图可以看出，尽管相等部分的数量在变化，但比率是相等的，并且代表了圆的一半。

比例的最简形式

当分子和分母除 1 之外没有公因数时，则给定的比例称为比例的最简形式。

示例：确定给定比例 25:100 的最简形式。

解答：从给定的比例 25:100 中，数字 25 和 100 的公因数是 25。因此，我们将分子和分母都除以 25，即：

• 25/100 = (25/25)/(100/25) = 1/4

因此，比例 25:100 的最简形式是 1:4。

比例简介

当两个比例相等时，它们称为比例。如果 a、b、c 和 d 是数字，当 a/b = c/d 时，它们的比例就成比例。“::”或“=”符号用于等同两个比例。这也可以写成：

a:b :: c:d 或 a:b = c:d，读作“a 比 b 等于 c 比 d”。

示例：比例 2:4 和 60:120 成比例。我们也可以说 2、4、60 和 120 成比例。这可以写成：

• 2:4 = 60:120 或 2:4 :: 60:120

值得注意的是，当任何两个比例不相等时，则称这些比例不成比例。

示例：比例 2:5 和 60:15 不成比例。我们可以这样写：

• 2:5 ≠ 60:15

比例的极项和中间项

在比例中，第一项和第四项称为**极项**，第二项和第三项称为**中间项或均项**。

例如，取 a、b、c 和 d 的数字表达式，如：

• a : b : : c : d

在上述表达式中，按顺序书写的四个项称为**相应项**。项‘a’和‘d’是极项，而项‘b’和‘c’是均项。符号“::”称为比例。对于成比例的比例：

• 极项之积 = 中间项之积
• a * d = b * c

示例：检查数字或项 30、99、20 和 66 是否成比例。

解答：要检查数字是否成比例，我们可以通过等同比例或通过极项之积与中间项之积的等式来检查。让我们从两个方面来理解：

方法 1：通过等同比例

• 30:99 = 30/99 = 10/33 (=10:33)
• 20:66 = 20/66 = 10/33 (=10:33)

由于给定项的两个比例相等，因此比例成比例，即：

30: 99:: 20:66

方法 2：通过极项之积与中间项之积的等式

我们有四个项：30、99、20 和 66，其中 30 和 66 是极项，而 99 和 20 是中间项。根据规则，当极项之积与中间项之积相等时，则称这些项成比例。在本例中：

极项之积 = 30 * 66 = 1980

中间项之积 = 99 * 20 = 1980

此处，极项之积与中间项之积相同，即 1980。因此，给定的项 30、99、20 和 66 成比例。

单位法

单位法是一种特定的方法，它有助于确定一个单位的价值，然后确定其余单位的价值。

示例：当 3 个灯泡的价格为 320 卢比时，6 个灯泡的价格是多少？

解答：由于三个灯泡的价格是 320 卢比，则一个灯泡的价格 = 三个灯泡的价格 / 3 = 320/ 3

6 个灯泡的价格 = (320/ 3) * 6 = 640 卢比。

因此，6 个灯泡的价格是 640 卢比。

单位法的应用

单位法在各种领域都有应用，包括：

• 转换：此方法有助于将一个单位转换为另一个单位。例如，从千米到米的转换，从一种货币到另一种货币的转换等。
• 距离、速度和时间：此方法也用于使用速度作为因子来计算距离或时间。
• 购物：当已知一个商品的成本时，此方法也可用于确定多个商品的成本。
• 时间和工作：单位法有助于根据工作速率找到完成工作所需的时间。

已解决的例子

1. John 花了 2 小时行驶了 80 公里。John 花多长时间行驶 40 公里？

解答：我们假设 John 可能需要 'x' 小时来行驶 40 公里。在这种情况下，已知量之间的比例为：

• 80: 2 :: 40: x 或 80/ 2 = 40/ x

因此，80x = 80 或 x = 1 小时

John 将花费一小时行驶 40 公里的距离。

2. 假设一家电子商务平台上的 2 件衬衫的价格是 200 卢比。在这种情况下，5 件衬衫的价格是多少？

解答：由于两件衬衫的价格是 200 卢比，则一件衬衫的价格等于两件衬衫的价格除以衬衫数量（即 2）。

这意味着：

一件衬衫的价格 = 200/ 2 = 100 卢比。

因此，5 件衬衫的价格 = 一件衬衫的价格 * 衬衫数量

= 100 * 5

= 500 卢比。

5 件衬衫的价格将是 500 卢比。

3. 确定数字 16、48、17 和 51 是否成比例。

解答：要检查数字是否成比例，我们可以使用两种方法：第一种是通过等同给定数字的比例，第二种是通过等同极数之积和中间数之积。

方法 1：计算给定数字的比例，我们得到以下比例：

16 与 48 的比率 = 16/ 48 = 1/ 3 (=1:3)

17 与 15 的比率 = 17/ 51 = 1/ 3 (=1:3)

给定数字的两个比例都相等；因此，给定的数字成比例。

方法 2：对于给定的数字，我们有极项 16 和 51，中间项 48 和 17。

极项之积 = 16 * 51 = 816

中间项之积 = 48 * 17 = 816

由于极项之积与中间项之积相等，因此给定的项（或数字）成比例。

通过这两种方法，我们得到相同的结果，即：

• 16: 48:: 17: 51

常见问题解答

1. 比例和比率在数学中起什么作用？

在数学中，比例和比率是基础概念，有助于培养学生在多个主题中的基础技能。这两个概念对学生理解相关主题（如斜率、恒定变化率和其他一些主题）很重要。所有这些主题对于理解代数概念至关重要。

2. 您将如何定义比例和比率的基本规则？

当存在两个同类数量（如数字）时，比例有助于比较它们。对于任何给定的两个数字“a”和“b”，比例公式定义为 a/b 或 a:b。当任何两个或多个给定比例相等时，它们称为成比例。

3. 您对分数有什么理解？

分数被定义为整体的一部分，或者我们可以说，任何数量的等份。

4. “单位法”是什么意思？

单位法是一种用于计算单个单位价值的方法。一旦知道一个单位的价值，就会相应地找到其余所需的价值。

5. 定义“黄金比例”。

对于给定的两个数字“a”和“b”，当它们的和（a + b）除以较大数字（a）的比率等于较大数字除以较小数字（a/ b）的比率时，则给定的比例称为黄金比例。