数字可除性测试 6年级笔记

在数学中，判断一个数是否能被另一个数整除的常用方法是进行实际除法，并确认余数是否为零。然而，这种方法很繁琐，尤其当数字很大时，会花费更多时间。幸运的是，有一些规则可以帮助我们检查一个给定的大数是否能被另一个特定的数整除。其中一个规则就是可除性测试或数字可除性测试。

可除性测试使我们无需进行实际的除法运算，就能在心算中检查一个给定的数是否能被另一个数整除。例如，假设一个小组有四位朋友，他们计划出去吃饭并平摊账单。当账单生成时，他们需要进行分摊，以了解账单金额是否能完美地分成四份，从而他们可以相应地计划后续的晚餐或其他活动。在这种情况下，可除性规则或测试就派上用场了。

数学中的可除性规则非常有效且重要，因为这些规则或测试有助于在不进行长算的情况下，更快地解决数学问题。这些可除性测试不仅能帮助我们知道一个给定的大数是否能被另一个数整除，还能帮助我们进行因数分解。

可除性测试简介（除法规则）

在数学中，可除性测试（也称为可除性测试、除法测试、可除性规则或除法规则）指的是一种特定的过程，在该过程中，可以在不进行完整除法的情况下，检查一个数是否能被另一个数整除。如果一个给定的数能被另一个给定的数整除，那么在这种情况下，商将是一个整数，余数为零。然而，值得注意的是，并非所有数都能被所有其他数完美整除。在这些情况下，余数不为零。

因此，可除性规则基于某些技巧，并充当了在不进行实际除法的情况下，找出是否一个数能被另一个数整除的快捷方式。通过这种测试，还可以通过考虑相应数字的数字来识别给定数字的实际除数。

可除性测试有助于节省用于长除法以找出数字倍数所花费的时间，也有助于轻松识别质因数分解。对于从2到20的数字，有一些预先指定的整除规则。在本主题中，我们将讨论一些省力进行数字除法的快捷技巧。

1的可除性规则

1这个数字没有特定的规则或条件来测试其可除性。每个数字，无论大小，都能被它整除。当任何数字除以1时，结果是它本身，无论数字是大是小。

示例：如果我们用1除以数字5，它就能被1整除。此外，数字5000也能被1整除。因此，无论给定的数字是小还是大，它都能被1整除。

2的可除性规则

当给定的数是偶数时，也就是说，给定的数在最后一位包含偶数，如0、2、4、6和8，那么这个数就能被2整除。

示例：假设我们有数字208和209。在这种情况下，数字208是偶数，因为它的最后一位（8）是偶数，而另一个数字209是奇数，因为它的最后一位（9）是奇数。因此，给定的数字208能被2整除，而数字209不能被2整除。为了检查给定的数（例如208）是否能被2整除，执行以下步骤：

• 考虑给定的数字（208），然后将最后一位数字（8）除以2。
• 如果最后一位数字（8）能被2整除，则给定的数字（208）能被2整除。

3的可除性规则

要测试数字3的可除性规则，我们需要检查给定数字的各位数字之和是否能被3整除。如果给定数字的各位数字之和能被3整除，那么给定或原始数字也能被3整除。

示例：假设我们有一个数字208，我们需要检查它是否能被3整除。这个数字有三位。如果我们将这三位数字相加（2 + 0 + 8），我们得到的结果是10。接下来，我们检查数字10是否能被3整除。由于数字10不能被3整除，因此数字208不能被3整除。

现在，我们来看另一个数字516。各位数字之和（5 + 1 + 6）为12，可以被3整除。因此，原始数字516也能被3整除。

4的可除性规则

要检查数字4的可除性规则，我们考虑给定数字的最后两位数字。如果给定数字的最后两位数字能被4整除，那么这个数字就是4的倍数，就能被4整除。

示例：让我们来看数字208，需要检查它是否能被4整除。由于最后两位数字，即08，能被4整除，因此给定的数字208也能被4整除。此外，另一个数字213，其最后两位数字（13）不能被4整除，因此它也不能被4整除。

5的可除性规则

要测试数字5的可除性，我们检查给定数字的最后一位数字，看它是否是5或0。如果最后一位数字是0或5，那么这个数就能被5整除。

示例：数字10、120、195和2327645都能被5整除，因为这些数字的最后一位是0或5。然而，像19、199和518这样的数字，其最后一位不是0或5，所以它们不能被5整除。

6的可除性规则

数字6的可除性规则指出，如果一个给定的数能同时被2和3整除，那么它就能被6整除。换句话说，当这个数的最后一位是偶数，并且这个数的所有数字之和是3的倍数时，那么这个给定的数就能被6整除。

示例：假设我们有一个数字630，需要检查它是否能被6整除。由于这个数字的最后一位是0，所以它能被2整除。此外，这个数字也能被3整除，因为它的各位数字之和为6 + 3 + 0 = 9，可以被3整除。因此，由于这个数字能被2和3整除，它也能被6整除。

7的可除性规则

数字7的可除性规则比前面的数字可除性测试稍微复杂一些。它包括以下必须执行的步骤，以检查给定的数是否能被7整除：

• 首先，取给定数字的最后一位数字并将其加倍。
• 接下来，将得到的结果从剩余的数字中减去。之后，我们检查得到的结果是否为0或7的两位数倍数。
• 如果得到的结果为0或7的两位数倍数，那么在这种情况下，给定的原始数字就能被7整除。如果得到的结果是一个超过两位数的数字，那么我们就必须从头开始重复这些步骤，直到得到0或一个两位数。

示例：让我们来看数字1073，我们需要检查它是否能被7整除。所以，我们按照规则执行以下步骤：

• 首先，我们去掉最后一位数字，即3。我们将其加倍，得到结果6。
• 接下来，我们从剩余的数字（107）中减去得到的结果（6）。因此，107 – 6 = 101。
• 由于得到的值不是一个可识别的两位数，我们重复此过程。所以，我们再次取最后一位数字并将其加倍。因此，1 x 2 = 2。
• 现在，从剩余的数字中减去，即10 – 2 = 8。
• 最终得到的结果（8）不能被7整除，所以原始数字也不能被7整除。

8的可除性规则

要测试数字8的可除性规则，我们必须考虑给定数字的最后三位数字。如果最后三位数字能被8整除，那么这个给定的数就能被8整除。不幸的是，没有其他快捷方法来检查8的可除性；我们必须检查最后三位数字。

示例：假设我们有一个数字24344。这里，我们只考虑最后三位数字，即344。由于数字344能被8整除，因此数字24344也能被8整除。

9的可除性规则

数字9的可除性测试几乎与数字3的可除性测试相似。首先，我们必须检查给定数字的各位数字之和是否能被9整除。如果给定数字的各位数字之和能被9整除，那么这个数字也能被9整除。

示例：让我们来看数字78532，我们需要检查它是否能被9整除。所以，我们首先计算其各位数字之和，即（7 + 8 + 5 + 3 + 2）。这给了我们结果25，不能被9整除。所以，78532也不能被9整除。

10的可除性规则

检查一个数是否能被10整除很容易。数字10的可除性规则指出，任何给定的数字，无论大小，只要最后一位是“0”，就能被10整除。

示例：数字10、40、90、110、5000和6800都能被10整除，因为它们的最后一位是0。

11的可除性规则

数字11的可除性规则指出，当一个数字的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是0或11的倍数时，这个数也能被11整除。换句话说：

如果一个数字的奇数位数字之和 – 偶数位数字之和 = 0或11的倍数，则该数字能被11整除。

我们来看数字2143。要检查它是否能被11整除，我们执行以下步骤：

• 首先，我们必须将数字分成两组：偶数位的数字和奇数位的数字。因此，我们有两组数字，即24和13。
• 接下来，我们对每组数字进行求和，得到的值分别为6（2 + 4）和4（1 + 3）。
• 现在，我们通过减去计算出的和来求差值，即6 - 4 = 2。

根据规则，如果得到的差值能被11整除（或为0），则原始数字就能被11整除。然而，在这个例子中，得到的差值为2，不能被11整除。因此，数字（2143）不能被11整除。

还有一些其他规则可以用来检查数字是否能被11整除。它们如下：

1. 在检查11的可除性时，如果给定数字的位数是偶数，则将第一个数字相加，然后将剩余的数字减去最后一个数字。得到的结果必须是11的倍数（或0）；否则，原始数字不能被11整除。
   示例：例子中的数字3784有四位，是偶数。因此，我们将第一个数字相加，并将最后一个数字从剩余的数字中减去，得到78 + (3) - (4) = 77。由于77是11的倍数（11 x 7 = 77），数字3784能被11整除。
2. 如果给定数字的位数是奇数，那么在这种情况下，将第一个数字和最后一个数字都从剩余的数字中减去。如果得到的值为0或能被11整除，则该数字能被11整除。
   示例：让我们来看例子中的数字82907，它有五位，是奇数。因此，我们将第一个数字和最后一个数字从剩余的数字中减去，得到290 - (8) - (7) = 275。由于275能被11整除，数字（82907）也能被11整除。
3. 对于任何给定的数字，从最右边的数字到最左边的数字，将数字分成两位一组，然后将形成的组相加。我们重复这个过程，直到得到一个最小的值。如果相加得到的最终值能被11整除（是11的倍数）或为0，则给定的数字能被11整除。
   示例：让我们来看数字3774。要检查它是否能被11整除，我们从最右边的数字到最左边的数字将数字分成两组，然后将这些组相加，得到37 + 74 = 111。重复此过程后，我们得到1 + 11 = 12。由于12不能被11整除，数字（3774）不能被11整除。
4. 要检查任何给定的数字是否能被11整除，将最后一个数字从剩余的数字中减去。我们重复这个过程，直到得到一个最小的值。如果得到的值能被11整除或为0，则给定的数字能被11整除。
   示例：让我们以数字9647为例。要检查它是否能被11整除，我们将最后一个数字从剩余的数字中减去，得到964 - 7 = 957。重复此过程后，我们得到95 - 7 = 88。由于88能被11整除（11 x 8 = 88），给定的数字（9647）能被11整除。

12的可除性规则

数字12的可除性规则指出，当一个给定的数能同时被3和4整除时，那么这个给定的数也能被12整除。

示例：让我们来看数字5864。要检查它是否能被12整除，我们需要检查它是否能被3和4整除。

首先，我们计算给定数字的所有数字之和，并检查得到的值是否能被3整除。

• 所有数字之和 = 5 + 8 + 6 + 4 = 23，不能被3整除。所以，即使这个数字能被4整除，它也不能被12整除。

接下来，我们取给定数字的最后两位数字，并检查得到的数字是否能被4整除。

• 最后两位数字 = 64，这使得给定的数字能被4整除。

由于给定的数字（5864）不能同时被3和4整除，它不能被12整除。

13的可除性规则

数字13的可除性规则比其他数字稍微复杂一些。要测试13的可除性规则，有必要考虑给定数字的最后一位。将数字的最后一位乘以四，然后加到剩余的数字上。这个小的计算应该重复，直到只剩下一个两位数。最后，我们必须检查这个两位数是否能被13整除。如果得到的两位数能被13整除，那么在这种情况下，给定的数字就能被13整除。

示例：假设我们有一个数字2795，我们需要检查它是否能被13整除。因此，根据规则，我们将数字的最后一位乘以四，然后加到剩余的数字上，直到得到一个两位数值，如下所示：

• 2795: 279 + (5 x 4)
  : 279 + (20)
  = 299; 因为这是一个三位数，我们重复这个过程。
• 299: 29 + (9 x 4)
  :- 29 + 36
  = 65 (两位数)

由于得到的两位数值能被13整除（因为13 x 5 = 65），所以数字（2795）也能被13整除。

17的可除性规则

要检查17的可除性，必须将数字的个位数乘以5，然后从剩余的数字中减去。这个过程重复进行，直到得到的值变小。如果得到的值能被17整除，那么原始数字也能被17整除。

示例：让我们来看数字14484。要检查它是否能被17整除，我们将其个位数乘以5，然后从剩余的数字中减去，直到得到最小的值，如下所示：

• 14484: 1448 - (4 x 5)
  = 1448 - (20)
  = 1428; 因为它仍然是一个大数字，我们重复这个过程。
• 1428: 142 - (8 x 5)
  = 142 - 40
  = 102

由于得到的值能被17整除（因为17 x 6 = 102），所以数字（14484）也能被17整除。

19的可除性规则

通过将数字的个位数乘以2，并将得到的结果加到剩余的数字上，如果最终值是19的倍数，那么原始值也能被19整除。

示例：让我们来看数字16188。将个位数（8）乘以2，然后将得到的结果（16）加到剩余的数字（1618）上。

• 16188: 1618 + (8 x 2)
  = 1618 + (16)
  = 1634; 因为它仍然是一个大数字，我们重复这个过程。
• 1634: 163 + (4 x 2)
  = 163 + 8
  = 171; 我们再次重复这个过程。
• 171: 17 + (1 x 2)
  = 17 + 2
  = 19

由于得到的两位数值能被19整除，所以数字（16188）也能被19整除。

值得注意的可除性性质

可除性的一些性质允许我们测试任何给定数字是否能被其他数字整除。它们如下：

1. 如果一个给定的数能被另一个数整除，那么它也能被该数的所有可能因数整除。例如，数字36能被12整除。由于2、3和4是12的因数，数字36也能被这三个数整除。
2. 如果一个给定的数能被两个或多个互质数整除，那么这个给定的数也能被这些互质数的乘积整除。例如，数字70能被两个互质数2和5整除。这两个数的乘积是10（2 x 5 = 10），而70也能被10整除。
3. 如果一个给定的数是两个特定数的因数，那么它也是这两个特定数的和与差的因数。例如，数字5是数字75和30的因数。它也是它们之和105（75 + 30）和之差45（75 - 30）的因数。
4. 如果一个特定的数是另一个数的因数，那么它也是该数倍数的因数。例如，数字3是15的因数，而数字90是15的倍数。这里，数字3也是90的因数。

结论

总而言之，可除性测试（也称为可除性规则）有助于我们进行大的计算，并简化数字。这些规则可以定义为快捷技巧，用于通过检查数字的各位数字来理解一个给定的数字是否能被一个除数整除，而无需进行长除法。

常见问题解答

1) 定义数字的可除性测试。

在数学中，数字的可除性测试可以定义为一种快捷方法，用于在不进行完整除法的情况下，找出是否一个特定的数能被某个特定的除数整除。当一个给定的数能被另一个特定的数整除时，商通常是一个整数，余数为零。

2) 2和5的可除性规则是什么？

2的可除性规则指出，给定数字的最后一位（或个位数）必须是偶数或2的倍数。例如：2、4、6、8、10……等。

对于任何给定的数字，要检查它是否能被5整除，我们检查该数字的个位数是否为0或5。如果是，那么这个给定的数就能被5整除。

3) 写出7的可除性规则及示例。

要检查7的可除性，将数字的个位数加倍，然后从剩余的数字中减去，直到它成为一个可识别的两位数，然后检查它是否是7的倍数或零。这个过程应该重复，直到数字变小。当过程得到的结果是0或7的倍数时，这个数就被认为能被7整除。例如，让我们来看数字147。这里，我们将个位数加倍（7 x 2 = 14），并将其从剩余的数字（14）中减去，得到结果0（因为14 – 14 = 0）。因此，这个数字能被7整除。

4) 9的可除性规则是什么？

9的可除性规则指出，给定数字的各位数字之和必须能被9整除。例如，取数字2979，其各位数字之和（2 + 9 + 7 + 9）得到结果27，能被9整除。因此，数字（2979）也能被9整除。

5) 你将如何解释13的可除性规则及示例？

要检查13的可除性，必须将数字的个位数乘以四，然后加到剩余的数字上。这个过程重复进行，直到得到的值变小。如果得到的值能被13整除，那么原始数字就能被13整除。例如，让我们来看数字1092。我们将个位数（2）乘以4，然后将得到的结果（2 x 4 = 8）加到剩余的数字109上，得到最终值117（109 + 8 = 117）。由于最终得到的值（117）能被13整除，所以数字（1092）也能被13整除。