三维形状 6年级笔记

引言

在几何学中，三维形状是具有三个维度：长度、宽度和高度的实心物体。相比之下，二维形状只有两个维度，即长度和宽度。在日常生活中，您可以找到三维物体的例子，例如圆锥形的冰淇淋、立方体形状的盒子或球。

几何学是数学的一个分支，涵盖了各种形状及其特征的研究。几何学主要有两种类型：平面几何和立体几何。平面几何侧重于直线和多边形等可以在纸上绘制的平面形状。而立体几何则主要侧重于立方体、圆柱体和球体等三维形状的研究。数学中不同类型的三维形状，包括立方体、长方体、圆柱体和球体，以及它们的定义、性质、公式和示例，如下所示：

三维形状

可以测量三个方向的形状称为三维形状，或称为实体。它们具有长度、宽度和高度（也可称为深度或厚度）。这些形状是三维几何学的一部分，与二维形状不同，因为它们具有厚度。您可以在日常生活中看到许多这些形状的例子，例如管子、二十面体、富勒烯和球体。

实体形状

在数学中，实体形状是具有深度、宽度和高度的 3D 对象。让我们来看一些这些形状的例子。您可以在日常生活中看到许多实体形状，例如手机、书本以及您周围的更多物品。

三维形状的面、边和顶点

三维形状的主要特征包括顶点、面和边。平面部分称为面。两个面相交的线段称为边，三个边连接的点称为顶点。

三维形状

以下是具有特征的三维形状列表：

1. 立方体

立方体是一种具有 6 个正方形面的三维形状。以下是它的一些特征。

• 它有八个顶点。
• 所有边都相等。
• 它有六个面。
• 它有十二条边。

公式

• 体积 = a³（立方单位）
• LSA = 4a²（平方单位）
• TSA = 6a²（平方单位）

2. 长方体

长方体，通常称为长方棱柱，有 6 个矩形面。长方体中的每个角都是直角，即 90 度。长方体有 12 条边、8 个顶点和 6 个面。

公式

• 体积 = a³（立方单位）
• LSA = 2h(l + w)（平方单位）
• TSA = 2 (lw + wh + lh)（平方单位）

3. 棱柱

这种三维形状有两个相等的端面和 5 个面。它的长度方向具有相同的横截面。由于其三角形横截面，棱柱通常被称为三角棱柱。它没有曲线，有 6 个顶点、9 条边和 5 个面（两个三角形和三个矩形）。

公式

• 棱柱的表面积 = 2（底面积）+（底面周长 × 长度）平方单位
• 棱柱的体积 = 底面积 × 高（立方单位）

4. 棱锥

棱锥是一个具有三角形外侧面并在棱锥顶部汇聚成一个点的实心物体。棱锥底部的形状不固定；它可以是正方形、四边形、三角形等。例如，正方形棱锥的特征是其正方形底部和四个三角形面。它有 8 条边、5 个顶点和总共 5 个面。

公式

• 棱锥的表面积 =（底面积）+（1/2）×（周长）×（斜高）平方单位
• 棱锥的体积 = 1/ 3 ×（底面积）× 高（立方单位）

5. 圆柱

圆柱体是一种具有两个圆形底面、由一个曲面连接的三维形状。圆柱体有 2 条边、2 个平面圆形面、1 个曲面，没有顶点。

公式

• TSA = 2πr(h+r)（平方单位）
• 体积 = πr²h（立方单位）

6. 圆锥

圆锥有一个顶点和一个圆形底部。它从圆形底部逐渐缩小到其顶部，称为顶点。圆锥体有一个顶点、一条边、一个圆形平面和一个曲面。

公式

• 体积 = (1/3)πr²h（立方单位）
• TSA = πr(l + r)（平方单位）
• CSA = πrl（平方单位）

7. 球体

球体是一种完全圆的三维形状，其表面上的每一点到中心（即中间点）的距离都相等。从中心到表面的距离称为半径。球体有一个曲面，没有边，也没有顶点。

公式

• 体积 = (4/3) πr³ 立方单位
• TSA = 4πr² 平方单位

三维形状的体积和表面积

三维形式由两个特定度量定义，即：

• 表面积
• 体积

表面积是三维物体表面的总面积。它用 'SA' 表示，单位是平方单位。表面积有三种类型：

• 曲面面积 (CSA)：这是三维物体所有曲面的面积。
• 侧面面积 (LSA) 包括所有曲面和平面（不包括底面积）的面积。
• 总表面积 (TSA) 包括物体所有表面的面积，包括底部。

三维物体的体积是物体所占据的总空间。它用 'V' 表示，单位是立方单位。

已解决的问题

示例 1：边长为 5 厘米的立方体的体积是多少？

解决方案

边长 a = 5 厘米。

立方体体积的公式是 V = a³ 立方单位。

因此，V = 5³ = 125 cm³

因此，立方体的体积是 125 cm³。

示例 2：计算半径为 4 厘米的球体的总表面积（π = 3.14）。

解决方案

半径 r = 4 厘米（给定）

球体总表面积的公式是：

球体 TSA = 4πr² 平方单位。

代入数值，我们得到：

球体 TSA = 4(3.14) (4)² cm²

计算得到：

球体 TSA = 803.84 cm²。

因此，球体的总表面积是 803.84 cm²。

示例 3：计算尺寸为 5 厘米 × 8 厘米 × 10 厘米的长方体的体积。

解决方案

长方体的尺寸为 5 厘米 × 8 厘米 × 10 厘米。

长方体体积的公式是长 × 宽 × 高 (lbh)，单位是立方单位。

因此，长方体的体积计算为 (5)(8)(10) cm³。

V = 400 cm³

因此，长方体的体积是 400 cm³。

示例 4：边长为 3 厘米的立方体的表面积是多少？

解答：立方体的边长已知为 3 厘米。

使用公式：

立方体表面积 = 6a²，其中 a 代表边长。

因此，

SA = 6 (3)² 平方厘米

SA = 54 平方厘米。

示例 5：计算半径为 4 厘米、高为 8 厘米的圆柱体的体积。

解答：圆柱体的尺寸如下：

半径 = 4 厘米，高 = 8 厘米

圆柱体的体积使用公式计算：V = πr²h

= 22/7 x (4)² x 8

= 402.2 立方厘米。

常见问题

问 1. 在数学中，3D 形状是指什么？

答：在数学中，三维形状，通常称为实体，具有三个维度：长度、宽度和高度。这些形状可以是多面体和曲面体。

问 2. 二维形状与三维形状有何区别？

答：二维形状，称为平面形状，只包含两个维度：长度和宽度。相比之下，三维形状，称为实体，具有三个维度：长度、宽度和高度。

问 3. 3D 形状的特征是什么？

答：3D 形状的三个主要特征是面、边和顶点。面是指实体的平面表面，边是两个面连接的线段，顶点是两个边连接的点。